音乐和数学的关系是如何体现的？它们是如何相互作用的？

古希腊的音乐和比例的关系，题主自己在问题的描述中也有提到，我就不说了。其实古希腊早期，包括中世纪的作曲家、理论家，都是被当做科学家的。早期音乐大概有“作为理论的音乐”和“作为实践的音乐”两大分类。前者从纯理论的角度研究音乐，后者从演奏方法的角度研究音乐。许多以前的研究与数学不谋而合。

此外，从很多音乐创作手法和理念来看，也与数学息息相关。比如早期的音乐，一开始把时长分成三个部分，后来分成两个部分展示；以及各模仿部分比例的确定(清晨音乐在我们今天的乐谱上是没有杠线的，所以声音之间的时间比例在当时是更为本质的乐理和创作元素)；八度和五度的早期使用，三度和六度逐渐加入的过程，以及一直避免三度的思想；黄金分割的音乐高潮技巧；此外，一个实际的音乐作品的例子是杜费的《努珀·罗萨勒姆·弗洛雷斯》。这幅委托作品是献给佛罗伦萨大教堂的。它的音乐结构包含各种数学比例，暗示了教堂的建筑结构。比如talea的6: 4: 2: 3的比例就是教堂穹顶的中堂、耳堂、后殿和高度(真不知道怎么翻译-_-)的比例，等等。

巴洛克时期发展起来的各种复调技法，在某种程度上是数字的游戏。比如主题上的反思，逆行和反思逆行。

在整个巴洛克时期、古典时期和浪漫主义时期普遍存在的功能和声也与数学模型密切相关。比如V-I(i)可以建立一个新的声调，或者传统的变调都是在关系密切的声调之间转移，或者“第一个变调”和“模进式变调”的区别(音阶不变或者音程不变)本质上是长期以来从一个数理逻辑推导出来的。

20世纪初，勋伯格打破传统调性体系后，无论是自由无调性还是序列音乐，再到后来的八度音乐，都是以“集合或集合”理论为基础的。这个“音集”就是把一个音高组合的素材数字化，然后通过各种方式的变形和变奏来发展。另外，无论是十二音的完全矩阵，八度音阶的移调，还是梅仙自己限定的移调调式，只要涉及到调式或者音阶的移调，都和数学有着密切的联系。其他的音乐创作手法，比如新复杂性，从根本上构思在更多变的音符比例上，乐谱都是这样的:

后来电子音乐发展起来，很多电子音乐“创作”的软件或程序本身就是一种编程行为而不是传统的“音乐创作”思维，比如Max。

综上所述，只要是以音程和音阶及其移调为基本音乐理论基础和创作素材的音乐作品，都与数学思维密切相关。