爱因斯坦为什么能发现广义相对论？
本月是爱因斯坦场方程发表100周年。场方程是广义相对论的顶点，也是爱因斯坦科学生涯中最耀眼的成就。时空曲线通过这些方程与物质的能量和动量相关联。1915 165438+爱因斯坦10月25日提交给普鲁士的。
年科学院
柏林的一篇四页纸的论文，这是爱因斯坦场方程的首次亮相。这篇论文被收入《爱因斯坦文集》第六卷(CPAE 6；
21)。爱因斯坦是怎么得到这些方程的？他后来坚持认为引力方程“只能通过纯归一化原理(广义不变性)才能得到”，这与爱因斯坦后半期探索统一场论的策略是一致的。但是，用这种表述来描述爱因斯坦是如何建立广义相对论的场方程的，这是一种高度误导。
在6月19115的四个星期四，爱因斯坦向柏林的普鲁士科学院提交了四篇通讯短文(CPAE)。
6;21, 22, 24,
25)。在165438+10月4日的第一篇论文中，爱因斯坦将1913中发表的场方程替换为一组新的方程，在更多类型的坐标变换下保持相同的形式。在第二篇论文中，爱因斯坦采用了一个关于物质性质的大胆假设，这使他能够将第一篇论文中的方程变成一组广义* * *变量方程。
–
即方程的形式在任意坐标变换下仍能保持不变。在165438+10月25日的第四篇文章中，他用一种不同但更有说服力的方法得到了一组新的场方程，同样具有广义* * *可变性。在第三篇文章中，他根据第二篇文章中的场方程，给出了关于“失去的43弧秒”(水星近日点的进动与牛顿理论下的观测相比，每100回归线年相差43弧秒)的解释。第四篇文章中对场方程的修改并不影响这一解释。
在165438+10月的第一篇文章中，从旧的场方程到新的场方程，爱因斯坦给大家的感觉是他把一座大教堂夷为平地，然后在废墟上重建了一座风格完全不同的新教堂。旧的场方程是基于物理学原理。新的场方程，爱因斯坦希望它的读者相信，根据数学原理，“确实是微分学的胜利”(CPAE
6;21)。仔细研究爱因斯坦的四篇文章以及他给出的相关回应。打个比喻，爱因斯坦在1913场方程的基础上布局了一个框架，然后小心翼翼地把构成爱因斯坦场方程的拱顶石放在上面。
缺少* * *变化
在1913 11之前的三年里，爱因斯坦和数学家马塞尔·格罗斯曼(Marcel
Grossmann)合作的时候已经在思考第一篇论文中的场方程了。1912当年的两个同学回到了母校ETH。
苏黎世).他们合作的笔记收录在苏黎世笔记里。如6月第一篇1915 11所回忆的，笔记中记载他们“怀着沉重的心情”放弃了对基于黎曼张量的场方程的寻找。令他们沮丧的是，这些方程的物理解释有问题。1965438+他们在2003年6月共同发表的一篇文章(CPAE
4;13)采用专门设计的场方程来绕过那些问题。这篇文章的标题是Entwurf(《草案》，广义相对论和引力理论大纲)，里面的理论和场方程也被命名为“草案理论”和“草案场方程”。
“草案理论”具有广义相对论数学形式体系的所有基本要素，但由于“草案场方程”的变异非常有限，爱因斯坦没有称之为“广义相对论”，而是谨慎地称之为“广义相对论”。
爱因斯坦遇到的部分困难是从1912年底到1916年底。他把运动的广义可变性和广义相对性混合在一起。举个例子，如果两个城市之间的最短路径是大圆上的一条弧，但这条路径在另一张地图上也可以表示为一条直线，这个操作就相当于“广义* * *变换”。但是无论在任何地图上显示什么形状，那条弧线总是最短的。同样，广义* * *变性也不能使时空中所有不同的路径相等，不能使所有不同的运动状态相等。
所以从某种意义上来说，广义* * *变率的1915438+01月的场方程的建立是一场毫无意义的胜利。虽然广义相对论的名字有误导性，但它确实是一个关于引力的强有力的新理论。在等效原理的基础上，爱因斯坦在1918中给出了这一理论的成熟形式，即时空几何和引力都要用度规张量场来表示。
坐标的定义
爱因斯坦和格罗斯曼在6月19113的文章中开始考虑场方程。爱因斯坦后来为什么放弃了？长期以来，历史学家认为他们两人当时并不知道“坐标条件”(如何选择坐标系)。如果有两种场方程，一种具有广泛的* * *可变性，另一种只在有限种类的坐标系中具有* * *可变性(例如牛顿理论下的泊松方程)，那么如果我们比较它们，就必须在后者保持* * *可变性的坐标中考虑前者。这些坐标应该满足四个度量张量场方程。如果适当地给出坐标条件，可以消除方程中许多具有广泛* * *可变性的项，只留下一个度规张量场的二阶微分，它将退化为弱静态场中的牛顿场方程。亚伯拉罕·派斯(Abraham
Pais)在他著名的爱因斯坦科学传记中写道，“爱因斯坦仍然需要认识到。。。坐标的选择只是出于某种习惯或定义，不需要任何物理内容。”
派斯没有检查苏黎世的纸币。事实上，爱因斯坦将度规张量场的四维散度设置为零，并在5438+01年6月的第一篇文章中，利用这个条件和他的场方程的二阶微分消除了不必要的项，从而证明了他的场方程具有正确的牛顿极限。因此，《苏黎世笔记》似乎无可辩驳地证明了派斯的上述说法是错误的。
但是，为什么爱因斯坦在165438+10月的第一篇文章中放弃了场方程？约翰·诺顿(John
诺顿)是第一个研究苏黎世笔记的人，诺顿在他的《广义相对论的起源》中写道。
相对论)认为可能是因为闵可夫斯基的时空度规张量场在旋转坐标系中不满足赫兹条件，即度规张量场的四维散度不为零。令诺顿不解的是，为什么爱因斯坦认为这将是一个问题。所以，派斯说的也不完全错。
在1915 11月之前，爱因斯坦使用坐标条件的方式与现代的方式有着根本的不同。用现代的方式，大家都知道“坐标条件”一定是“规范条件”。选择哪种等价度量张量要看是否方便解题，不同的问题适合不同的坐标。但在“苏黎世笔记”和“理论草案”这一整类中，爱因斯坦采取了一刀切的做法:用一个坐标条件来解决所有问题。
在《广义相对论的起源》中，提到了坐标的定义。坐标的定义不同于坐标条件，坐标条件是理论的一部分。利用理论中坐标的定义，使得基本场方程不再具有广泛的* * *可变性和广义的* * *可变性，而成为一个消去许多项后的截断方程。“坐标限制”和“坐标条件”的另一个区别是，爱因斯坦期望“坐标限制”完成双重任务:他希望通过“坐标限制”使场方程具有正确的牛顿极限，同时保持动量和能量守恒。
爱因斯坦对“坐标限制”的运用，让他遇到了一个问题:旋转度规张量不满足赫兹条件。他预计，在没有物质的情况下，旋转的度规张量就是场方程的解，由此旋转坐标系中的惯性力可以解释为引力。“11月张量”本身在旋转度规下是可以消去的，但是如果旋转度规不满足赫兹极限，那么在赫兹极限下截断后剩余的张量部分是不能消去的。在5438年6月+065438+10月写第一篇文章的时候，爱因斯坦意识到，把它剪掉根本不是事。后来他利用赫兹条件，证明了基于“11月张量”的场方程具有正确的牛顿极限，也就是说，他的场方程被允许变换到旋转坐标系中。显然，在1915438+01这一个月里，爱因斯坦使用赫兹条件的方式和现代使用“坐标条件”的方式是一样的。
在苏黎世笔记中，爱因斯坦研究了“11月张量”截断后得到的目标场方程的* *可变性。赫兹极限似乎没什么可琢磨的。四维度规张量必须为零的条件只在线性变换下发生变化。按照爱因斯坦的说法，* * *变性可以有更广的范围。在给洛伦茨(亨德里克
A.洛伦兹)(海角五号；467)爱因斯坦称这些转换为“非自主转换”。
改造)”，在1914的文章中(CAPE 6；2,
9)称为“适应于度规张量的适应坐标系之间的对齐变换”。
坐标)”。对于普通(或自动)变换，新坐标只是旧坐标的函数，而对于非自动变换，新坐标是旧坐标和旧坐标度量张量的函数。
在爱因斯坦的最终理论中，坐标限制和非自动变换的概念都被滚到一边去了。但在《苏黎世笔记》和《理论草案》等文章中，爱因斯坦的核心关注点是保证自己的坐标在足够多的非自愿变换下仍能保持* * *可变，从而实现了一个任意运动的相对论原理。目标本身其实是虚幻的。