一篇关于寻找数学函数的论文
所谓函数思想的应用，就是针对一个实际或数学问题，构造相应的函数，从而更快更好地解决问题。构造函数是函数思想的重要体现，函数思想的应用要善于把握事物在运动过程中不变的规律和性质。
下面简单介绍一下利用函数思想解决方程、不等式、级数、参数取值范围等问题。
第一，用函数的思想解决方程问题
函数和方程不仅是两个不同的概念，而且密切相关。如果一个函数可以用一个解析表达式来表示，那么这个表达式就可以看成一个方程；二元方程的两个未知数之间有对应关系。如果这个对应是单值的，那么这个方程也可以看作是一个函数。一个方程的两端可以分别看作函数，方程的解就是两个函数像的交点横坐标。所以很多与方程相关的问题都可以用函数思想来解决。
例1证明:无论A取什么实数，方程x2-(a2+a) x+a-2=0必有两个不相等的实根。
解析:如果用常规方法解决这个问题，判别式△是关于A的一元四次多项式，符号不好判断。如果用函数思想来分析问题的意义，设函数f(x)=x2-(a2+a)x+a-2。为了证明命题，我们只需要证明函数y=f(x)的像与X轴有两个交点。因为它的开口是向上的，所以我们只需要找到一个实数X0就可以使f (x0)
例2已知关于X的实系数二次方程x2+ax+b=0有两个实根α，β。事实证明:
(I)如果| α|
(II)如果2 | a |
|β| & lt；2;
分析:从表面上看，这个问题是一个方程问题，如果用纯方程理论处理，方程根的分布与参数A、B的关系是非常复杂的；如果用函数的思想来分析，把方程根的分布问题转化为函数像与X轴的交点，就能抓住本质。
解答:这个问题的(一)和(二)的结果是
2 | a | & lt4+b
{ & lt= = & gtα,β ∈(-2,2)
| b | & lt四
设函数f(x)=x2+ax+b( I)由二次函数的图像可知。
f(2)>0
α，β∈(-2，2)= = & gt；{ f(-2)>0
|b|=|α？6?1β| & lt；44+2a+b & gt；02a & gt；- (4+b)
= = & gt{ = = & gt{
4-2a+b & gt；02a & lt；4+b== >2 | a | & lt4+b和| b |
㈡如果{ = = > { = = >；{然后
| b | & lt4 4-2a+b & gt；0 f(-2)>0α，β在(-2，2)以内或者在(-2，2)以外，如果α，β在(-2，2)以外，那么| α？6?1β| = b & gt；4，与| b |相同
二、用函数思想证明不等式。
例3假设a、b、c都是正数，a+b >；c，
公元前
验证:-+-->-
1+a 1+b 1+c
公元前
解析:不等式左右两边结构相似:-，-，-，因为。
1+a 1+b 1+c这可以和函数f (x) = x/(1+x) (x >)联系起来；0)单调性。
证明先验函数f(x)= x/(1+x)(x >；0)单调性。
x 1 & gt；0，x2 & gt0，我们不妨设置x1
那么f (x1)-f (x2) = -。
1+x 1 1 x2(1+x 1)(1+x2)∵x 1 & gt；0，x2 & gt0∴1+x 1 & gt；0，1+x2 & gt；0
和\x 1
x1- x2
∴-& lt；0
(1+ x1)(1+ x2)
也就是f (x1)
∴函数f(x)在(0，+∞)上单调增加。
∵a+b & gt；c & gt0 ∴f(a+b)>；f(c)a+b c
也就是，-->；-
1+a+b 1+ca b a b
∵-+-& gt；- + - = -
1+a 1+b 1+a+b 65438+a+b 1+a+b a b c
∴ - + ->-
1+a 1+b 1+c例4已知A，B，X，Y都是实数，a2+b2=1，x2+y2=1。验证:ax+by≤1。
解析:在已知条件下，如果平方和等于1，我们可以联想到正弦和余弦的平方关系，然后利用函数的有界性来证明。
证明:∫a2+B2 = 1，x2+y2 = 1。
∴设a=sinα，b=cosα，x=sinβ，y=cosβ。
那么ax+by=sinαsinβ+cosαcosβ。
=cos(α-β)≤1
∴ax+by≤1
第三，运用函数思想解决数列问题。
一个序列可以看作一个定义域为正整数集N*(或其有限集{1，2...n})。当自变量从小到大取值时，数列的通项公式也是对应函数的解析式。所以数列的一些问题可以用函数思想来解决。
例5等差数列中，前n项为Sn，已知SP = Q，SQ = P。
(p，q∈ N*且p≠q)，求sp+q。
解析:这个问题的常规解法是用求和公式建立方程组，然后求a1和D，再求Sp+q，但是计算非常复杂。如果我们考虑等差数列的前n项之和是关于n的二次函数，并且没有常数项。因此，可以考虑目标函数Sn = AN2+BN (A和B是待定系数)来优化问题求解过程。
解法:设Sn = AN2+BN (A，B为待定系数)。
那么Sp=ap2+bp ∴ap2+bp=q (1)
Sq=aq2+bq ∴aq2+bq=p (2)
(1)-(2)整理(P-Q)暂挂，以及(D)
f(-2)& lt；0 2 x2+2x-3 & gt；0 √7 - 1 √3 + 1
{ = & gt{ = & gt-& lt；x & lt-
f(2)& lt；0 2 x2-2x-1 & lt；0 2 2√7 - 1 √3 + 1
∴x的取值范围是(-)。
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(二)构造一个二次函数，找出变量的范围
例7实数a，b，c，d已知，满足a+b+c+d=5。
A2+b2+c2+d2=7，求a的范围。
解法:构造一个关于x的二次函数。
f(x)=(x - b)2+(x - c)2+(x - d)2
=3 x2 - 2(b + c + d) x+(b2 + c2 + d2)
∵f(x)≥0 ∴△≤0
即4(b+c+d)2-12(b 2+ c2+d2)≤0。
即4( 5-a)2-12(7-a2)≤0。
∴2a2-5a+2≤0
∴1/2≤a≤2
∴a的取值范围是[1/2，2]，开头的话和中间的一些还是不错的。具体来说，坐标满足分辨率函数的点必须在函数图像上，而函数图像上的点的坐标必须满足分辨率函数。因此，要判断平面直角坐标系中的一个点是否在函数图像上，只需将该点的坐标代入分辨函数进行检验即可。2.求两个函数交点的坐标，即求由两个分辨函数组成的二元方程组的解。3.在解决有关函数的问题时，要注意运用平面直角坐标系中X轴与Y轴的直角、勾股定理等平面几何知识，要能熟练地找出函数与坐标轴的交点坐标。5.根据函数的概念、性质和图像，进行形与数、形与方程、形与不等式的变换，是一种重要的方法。函数的概念在数学中占有重要的地位。在整个中学函数教学的主线上起着承前启后的关键作用。函数的概念及其思想方法已成为中学数学教学的主线之一。函数概念的学习是学生从对现实世界中具体数量关系的认识到对抽象数量关系的认识的飞跃。然而，由于函数概念的复杂性，它成为初中教学中的一个难点。在前人研究的基础上，从函数的概念出发，从函数概念的定义、表达、应用三个方面考察了初中生对函数概念的理解，并对结果进行了比较分析，得出以下结论:1。初中生对函数概念的本质理解不深，不能完全理解自变量X与因变量Y的关系，这关系到在新课标要求下培养学生。2.学生对图形和图表表示的函数的识别发展明显滞后于对解析表达式表示的函数的识别。3.初中生应用函数概念的能力较低。4.初中生对函数的认知发展水平存在差异，但总体上无明显差异:(1)初中生在利用解析式描述函数概念方面优于初中生；(2)高二学生在图表和图像的应用上优于高三学生。本文对研究成果进行了深入分析，并结合教学实践，对现阶段初中函数概念教学提出以下改进措施:(1)加强对函数概念本质的理解；(2)加强函数表示形式之间的转换；(3)注意日常生活中的函数模型。这些也可以用~