我第一次见到数学大师安德雷·柯尔莫哥洛夫。
1作品:博大精深
2作为导师和教育者的个性和风格
3修养与家庭和谐:作为孩子，丈夫，父亲。
4安德雷·柯尔莫哥洛夫和其他同行理论家的交集
5安德雷·柯尔莫哥洛夫中学
谢谢
7参考资料/进一步阅读材料
数学大师安德雷·柯尔莫哥洛夫是一个高贵、善良、善良的人，有着“温文尔雅的绅士形象”(在伊藤清)。他不是像希尔伯特那样迟钝的天才(安德雷·柯尔莫哥洛夫非常崇敬)，而是聪明人中最敏捷的一个。他的学生，沃尔夫奖获得者西奈:“……他巨大的智力和巨大的能量……”。他是一位魅力导师，培养了约70名博士，包括著名的格尔丰德、西奈、阿诺德和莱文(因NP获得图灵奖；此外，快牌发明者、图灵奖获得者霍尔也是柯老、奥布霍夫、牟宁等大师级学生的联合培养学生，其中20多人成为院士。
从20世纪60年代中期开始(写完关于科尔莫戈罗夫复杂性的文章后)，安德雷·柯尔莫哥洛夫主要把自己的精力和心血贡献给了数学教育，创办了著名的安德雷·柯尔莫哥洛夫中学，亲自编写教材和授课(每周多达26小时)，挖掘和培养了一大批专家，其中许多人成为了院士。解决庞加莱猜想的佩雷尔曼就是这里的毕业生。
我记得几年前读过一本小册子。在《混沌分形漫谈》一书中，丁九老师把安德雷·柯尔莫哥洛夫比作中国的孔子。事实上，他们都有许多优秀的学生，几十名优秀的学生，以及成千上万其他受他们教育和影响的学生。他们都成功地建立了学校。还有一点:每个人都有非常强壮的身体和惊人的战斗力。
众所周知，的研究领域很广，几乎涵盖了数学的所有领域(只是没有华先生最喜欢的数论)，包括:概率论与随机过程、数理统计及其应用、泛函分析、拓扑学、微分方程、湍流论、动力系统与经典力学、信息论、混沌、函数的距离论、描述集理论、数理逻辑与数学基础、火力论(武器的)。他在这些领域的研究成果不仅应用于数学本身的发展和开辟新的领域，而且在物理学、化学、生物学、地球物理学、大气物理学、冶金学、结晶学、机器学习神经网络等学科都有极其重要的应用。如果一个研究方向对某些人来说不够高，安德雷·柯尔莫哥洛夫可以把这个领域由一个人改造成一个像样的学科，建立一个学校，带领其他人播种、收获、拓展。
列个表感受一下什么是博大精深:
要了解安德雷·柯尔莫哥洛夫的工作，可以打开施普林格出版的三卷文集:第一卷《数学与力学》专门讨论确定性现象；第二册《概率论与数理统计》，涉及随机过程和混沌现象；第三卷《信息论与算法论》，基本思想是有序与随机、混沌之间没有明确的界限。关于物理系的背景，可以看看科尔莫戈罗夫为纪念安德雷·柯尔莫哥洛夫百年诞辰而出版的《物理学遗产》。自相似随机场:从Kolmogorov到重整化群讨论了安德雷·柯尔莫哥洛夫在动力系统中的遗产对重整化群的影响。(Sinai:“有时人们强调，统计物理学和量子场论中基于标度不变性思想的强大重整化群方法，其根源之一是Kolmogorov湍流理论”)
我在业余时间读过很多科学家的回忆录，在博士期间无数次的茶歇和小组会上听到更多来自几位导师的理论家的故事:他们中有很多是高贵的导师，也有一些像父亲一样关心自己的弟子，但我仍然认为科尔莫·戈洛夫和他的学生之间的友谊和温暖是老师、朋友和父亲的最好叠加。
柯大师的几十个学生中，有20多个已经成为俄/苏科学院院士。
加尔方德院士(巨人级，沃尔夫奖):“数学是一个整体，是科尔莫·戈洛夫教的...数学仍可视为一个整体，这在很大程度上归功于科尔莫·戈洛夫。”
西奈院士(1956年级，沃尔夫奖)回忆了一次和他的老师科尔莫戈罗夫1959(以及同年级的希尔亚耶夫(院士))的旅行:“在...我们走了30公里，我问安德烈累不累，他回答说如果他有东西吃，可以再来(当时。).....我们之间的年龄差距完全不存在。似乎我们在和同行一起旅行，只是更有经验和好奇心。.....当我们沿着大峡谷行进时，Kolmogorov教我们在山边潜水。不久前，Alik Shiryaev成为Kolmogorov在staer cke Lov研究所的同事。站在水边，安德烈对阿利克说(当然是开玩笑):跳进来，阿利克，不然我就解雇你。”
西奈:“[在Kam的著作中] Kolmo Golov引入了拟正则系的概念，现在大家都称之为K系。事实上，有一段时间，所有人都使用Kolmogorov系统这个名称。但Kolmogorov本人主张缩写K-system。这是科尔莫·戈洛夫谦逊的一个很好的例子。俄语中，准系统的第一个字母是k。”
Dynkin(年级1945，后来在美国，美国科学院院士):“Kolmo Golov从来不在人前说任何人的坏话。”
阿诺德(院士，沃尔夫奖):“几乎不可能理解科尔莫·戈洛夫先生的讲座，但他们充满了荒诞的想法。”
阿诺德回忆KAM说:“当科尔莫戈罗夫建议我自己选择一个主题时，我想选择一个与他的工作完全正交的领域。这是非常困难的，因为他的工作涉及如此广泛的领域。.....我面对23个希尔伯特问题，把它们一个个整理到笔记本里。问题16，……如果写出圆的映射等价于一个旋转的傅里叶级数，马上得到解的问题和旋转数的小分母问题……这时，Kolmogorov正好在莫斯科大学开了一门课，讲授哈密顿体系的小分母技巧，后来发展成了现在的KAM理论。所以我觉得我完全独立做题的尝试是彻底失败的。”
阿诺德评价科尔莫·戈洛夫是院长和导师:
“科尔莫·戈洛夫老师有着伟大而幸福的一生。
科尔莫·戈洛夫、庞加莱、高斯、欧拉和牛顿:五代人将我们与科学的曙光分开。
普希金曾说，虽然方式完全不同，但他对年轻人和俄罗斯民间文化的影响比整个教育部都要大。科尔莫·戈洛夫对数学也有同样的影响。
我从学生时代就认识安德烈·尼古拉耶维奇。他当时是莫斯科大学数学和力学系主任。当时是数学力系和俄罗斯数学的鼎盛时期。科尔莫·戈洛夫和彼得罗夫斯基院士的领导是第一位的，所以数学体系达到了前所未有的水平，以后也很难达到。"
尼科尔斯基院士(柯大师早期的学生之一):“我想[科尔莫·戈洛夫]的所有学生都会为被这位伟大的数学家召集到一起而感到幸运，他坚持并重视朴实无华、富有同情心和公正。”
格涅登科院士回忆说:“对安德雷·柯尔莫哥洛夫的所有学生来说，与安德雷·柯尔莫哥洛夫一起做研究的岁月是难忘的。最难忘的是每周日的郊游。安德雷·柯尔莫哥洛夫邀请他所有的学生(研究生或本科生)和其他导师的学生参加这次郊游。郊游时，我们讨论了当前数学(及其应用)的问题，以及一些与绘画、建筑和文学有关的问题。”
尼科尔斯基院士回忆了卫国战争中柯大师的一件事(德军受压，民众从莫斯科撤至喀山，动乱工作在喀山期间完成):“1941年8月，卫国战争开始后不久，我被派往莫斯科挖一条南北延伸数百公里的坦克防线。我不知道我的命运将走向何方。就在我离开之前，我通过学院秘书向科尔莫·戈洛夫提交了一些关于我博士答辩的材料。不幸的是，德军在10年初突破了我们的坦克防御，坦克方面的工作也就停止了，所以我最后来了，留在了莫斯科。数学研究所的一些成员仍在那里，疏散工作尚未完成。科尔莫·戈洛夫也在莫斯科。但恐慌在18年6月6日爆发:人们以为德军会立即攻占这座城市。我得知科尔莫·戈洛夫和我们的主任索博列夫院士在前一天晚上匆匆离开了莫斯科:65438年6月+10月65438+5月5日的晚上，他们接到电话，通知他们必须立即去帕维列茨站，只带着他们的随身行李——一辆专列正等着把他们从莫斯科带到喀山。10月下旬，我和阿纳托利·伊万诺维奇(1958年当选苏联科学院院士)也来到喀山。
喀山第一次见面，老师邀请我晚上去他家喝茶。他和朋友阿列克山大罗夫院士、月经别墅住在一个人多的地方。房间的一个角落被两个书架隔开，用于研究:这个书架后面的角落里诞生了许多伟大的发现，它们在世界各地的学术机构的特别收藏中流芳百世。那天，喝完茶，老师走到书架后面，回来了——你猜怎么着——拿着我的稿子，深深地打动了我。他说这些材料足够写一篇博士论文了，并建议我停止博士研究，开始准备答辩(我本来打算再读两年)，这在当时有战争的情况下更是难能可贵。不仅如此，老师后来还说了类似阿纳托利·伊万诺维奇的话。两个月后，我们俩顺利完成了博士论文答辩。
但是，回想起来，在这些艰难的岁月里，最让我难忘的是65438年6月+65438年10月+5月那个悲伤的夜晚，老师匆匆离开莫斯科的家时，还不忘把我论文的初稿放在行李箱里。他本可以在那里多放一条保暖裤——很多人都这么做了。这只是科尔莫·戈洛夫对学生的温暖的人道主义关怀的一个例子。我们所有人(不是少数人)都会一辈子记住我们的老师，直到生命的尽头。"
A. G. Vitushkin院士(一位盲人数学家和柯老的博士生)描述说，当他第一次见到柯大师时，“我问我的两篇文章能否提交给《多克拉迪》杂志。刚听完结果的形式，安德雷·柯尔莫哥洛夫用他惯常的“嗯……”沉思了一下，然后说:“结果是对的，我知道如何推导它。“啊！我有点沮丧。亚历山德罗夫院士也恰好在那里。他安慰我说:“别灰心，安德雷·柯尔莫哥洛夫什么都知道。一周后，我去询问Kolmogorov的决定，我再次感到惊讶:他已经逐字更正，并在打字机上打了一份副本。"
雅格洛姆院士(柯老师战前博士生，湍流方向):“我也是的学生，经常问我同一个问题，谁是更伟大的数学家，我还是？“我要么回答‘安德雷·柯尔莫哥洛夫’，要么说‘你给的集合(盖尔方德，安德雷·柯尔莫哥洛夫)是部分有序的，但不是完全有序的’。盖尔·方丹当然是一位数学巨人，但安德雷·柯尔莫哥洛夫更有力量。”
科尔莫·戈洛夫温暖体贴，但也是一种鞭策。Shireyaev院士写道:“Kolmogorov的学生，他们被编号，在严重事件中陈述他们是多么幸运成为他的学生。无论如何，他们总是补充说这也是一个巨大的责任。不断有压力要完成尽可能多的工作，以便在与Kolmogorov的下一次会面中，他们能够告诉他他们的进展。我的一个朋友把他对Kolmogorov的态度描述为“恐慌的尊重”。"
Kolmogorov的名字，Andrei nikolayevich，是《战争与和平》中Andrei nikolayevich Bolkonsky公爵的名字——这是她母亲的遗愿(难产而死)，Kolmogorov的祖父家族其实是个贵族。Kolmogorov的两次月经收养了他。尤其是维拉·月经，爱他如己出，一直没有结婚。科尔莫·戈洛夫也把她当成自己的母亲，让她骄傲，孝顺，陪伴她直到去世(薇拉月经去世，享年87岁)。
对了，关于Kolmo Golov的一件趣事:天生左撇子，小时候就开始练右手，最终双手都能从事写字等精细活动。
1910年，薇拉·雅科夫列娃和她的养子搬到莫斯科，安德烈·尼古拉耶维奇在那里加入了私立雷普曼预备小学(十月革命后改名为第23小学)。安德雷·柯尔莫哥洛夫多次提到这所由一群具有民主思想的知识分子创办的小学的优美和谐的氛围。就学费而言，也是最便宜的之一(虽然他们家物质上很富裕，但他们信奉托尔斯泰的学说:工作、劳动、道德自强)。
1942年，科尔莫·戈洛夫与安娜·德米特里耶夫娜·科尔莫戈罗娃结婚，她是他从小学就认识的同学和好朋友。安娜的儿子奥列格·伊瓦舍夫·穆萨托夫就这样成了科尔莫戈罗夫的女婿。
Kolmo Golov:“如果有一个更好的世界，在这个世界里，人们与死者团聚，获得永生，我当然最想见到抚养我长大的祖父和祖母，他们的爱和善良对我的整个生活来说已经足够了。”“当然，我愿意约见敬爱的老师”
Shiryaev院士:“……在海滩上，Kolmo Golov听到我10岁的儿子告诉一个女孩，她撒谎了。科尔莫·戈洛夫纠正他说:男孩子不能这样跟女士说话。你可以说:恐怕你可能偏离了事实。”
在生命的最后六年里，科尔莫·戈洛夫饱受疾病的折磨(眼疾，帕金森病)。他的博士生、大学生和科尔莫·戈洛夫中学的学生自发帮助柯师傅的妻子和医护人员照顾他，陪伴他。几年来，阿诺德把这段时期描述为“...和老师在一起的时光总是愉快的”。
安德雷·柯尔莫哥洛夫和冯·诺依曼都是1903的超级巨星，他们的广度和深度水平相当，研究兴趣也有重叠。他们分别在东方和西方，却有一个有趣的交集:1954年，在荷兰阿姆斯特丹的国际数学家大会上，安德雷·柯尔莫哥洛夫做了开幕演讲(内容是著名的KAM)，冯·诺依曼做了闭幕演讲，这也说明了他们崇高的地位(他们的相似让人想到了我们的迪克大叔和兰道)。但由于特殊的政治背景，冯·诺依曼也参与了曼哈顿的规划和政治，两大巨头并没有直接交流。
苏联理论物理大师朗道:朗道非常尊重和欣赏科尔莫戈罗夫的工作(两人分别是苏联最伟大的数学家和理论物理学家)，包括概率论，特别欣赏科尔莫戈罗夫在湍流和KAM方面的工作。但这也意味着Kolmogorov的概率论在物理学中用处不大。但近年来概率随机方向的学者获得了几个沃尔夫奖和玻尔兹曼奖，再比如2022年世界数学家大会的1小时报告，其中35%是柯领域的大师或者主讲人是重传的弟子。让历史继续评判吧。
伊藤清(沃尔夫奖获得者)在《安德雷·柯尔莫哥洛夫对数学的看法和成就》中写得非常感人:“当我得知苏联伟大的数学家A·N·科尔莫戈罗夫教授于1987年10月20日以84岁的高龄逝世时，我感到像失去了支柱一样悲伤和孤独。学生时代(1937)看过他的名著《概率论的基本概念》，我决定学习概率论50年。对我来说，科尔莫·戈洛夫是我的数学基础。……
科尔莫·戈洛夫在几乎所有的数学领域都提出了独到的见解，引入了新的方法，成就非常辉煌。但是，当我遇到他的时候，我对他不修边幅、温文尔雅的绅士形象印象深刻，这可能是一个伟大数学家的形象。
我想我基本上已经把Kolmogorov的论文读好了。在写这篇稿子的时候，我对他的整个研究成果进行了直接或间接的考察。不得不佩服其研究的广度和深度。"
诺维科夫院士(菲尔兹+沃尔夫奖获得者)把科尔莫·戈洛夫当做自己的老师，对自己影响很大。在《回忆A N .科尔莫戈罗夫》中，他写道“众所周知，少校把科尔莫戈罗夫视为我们这个时代最伟大的数学家……不干涉。年轻一代的科学事务，但在困难的情况下为他们提供各种帮助。他帮助我从事各种事业，以此来支持我。
"
机器学习理论的创始人瓦普尼克院士说，“科尔莫戈罗夫是我的英雄”。他也是Kolmogorov Golov奖2018的获得者。我推荐在YouTube上看他的演讲。Vapnik最著名的作品——描述机器学习方法能力的VC维度，灵感来自于Kolmogorov关于复杂性(epsilon capacity等)的工作。).
在柏克莱工作的统计学家内曼多次邀请安德雷·柯尔莫哥洛夫访问柏克莱大学，安德雷·柯尔莫哥洛夫也愿意访美，但他未能成行。莱曼在《统计回忆录——我的伙伴》中描述道:“我在$ TERM的第二年计划了一项活动，我对此充满期待。”安德烈·n·科尔莫戈罗夫(Andrei N. Kolmogorov)的长期访问令人兴奋不已，他被许多人认为是当今最伟大的数学家。...尼曼很了解科尔莫戈罗夫，并多次试图带他去伯克利访问，但都没有成功。这一次，形势看起来很有希望。事实上，1974–75年的大学目录将Kolmogorov列为客座教授。让我如此自信的是，在他预定抵达的几个月前，Kolmogorov派出了他的年轻同事Igor Zhurbenko作为先锋，....所有这些准备工作进展顺利，但不幸的是，在最后一刻，Kolmogorov出现了严重的健康问题，不得不取消访问。"
许(很多人认为在中国，许先生与华先生、陈先生齐名，当年并称为“西南联大三杰”)把数学家划分为三流。他说:“一流的数学家是有天赋的，他们能够开拓新的领域，比如像安德雷·柯尔莫哥洛夫、冯·诺依曼和韦纳这样的人，他们是我们力所不及的。二流数学家是通过刻苦学习，认真消化整理前人的东西，并在此基础上有所发现而成的。像秦心这样的数学家就属于这一类，他的著作《公用事业论的数学方法》和《信息论基础》就是消化和整理的成果。这种作品对后世影响很大。在此基础上，年轻人可以快速进入科学前沿。中国缺少一批做这种工作的人。三流数学家只对一两个问题有一点点贡献，不能像二流数学家那样系统地工作。剩下的就是一个不入流的数学家。”
那个著名的典故:1963学生大会，美国统计学家雅各布·沃尔福威茨:“我来苏联的一个特殊目的是确定安德雷·柯尔莫哥洛夫是一个人还是一个研究机构。”
………
这所学校面向全国招收数学、物理方面有天赋的学生，完全免费。对贫困家庭的学生也给予补贴。虽然俄罗斯在某些年份出现了许多经济困难，但这种情况直到现在都没有改变。安德雷·柯尔莫哥洛夫中学生的成功率相当高，这是有目共睹的。到80年代末90年代初，当年的几个学生都成了科学院院士。
有一本书叫《透视中的科尔莫戈罗夫》，他的学生回忆了他的很多故事。有一件事让我印象很深，那就是在苏联非常危险的民族主义时期，为了争取犹太学生的权益，安德雷·柯尔莫哥洛夫戴上了他所有的勋章，到政治和人事部门去游说，争取为学生打伞(我国的钱三强先生在特殊时期也是这样做的)。
向中学生推荐安德雷·柯尔莫哥洛夫主编的小册子(所有章节的作者都是人，网上有电子版和中文版，译者都是国内的专家，文笔流畅):数学，它的内容、方法和意义。
感谢Shiryaev院士允许我翻译他的长文Kolmogorov，Andrei Nikolaevich，即以下引用1。
1 1989-Shiryaev-Kolmogorov院士，安德烈·尼古拉耶维奇，长文
2《透视的柯尔莫哥洛夫》中不仅有几位学生的回忆，还有柯尔莫哥洛夫写的长文《牛顿与当代数学思想》和《对P·阿列克山大洛夫的回忆》。
3《莫斯科数学的黄金岁月》，整本书一大半都提到了科姆洛格洛夫！
4《物理学中的柯尔莫哥洛夫遗产》，pdf格式。
5 Kolmogorov的数学遗产，pdf格式。
6“优等生希尔伯特问题及其解决者”本杰明·h·扬德尔，pdf格式。
7尼可尔斯基院士-伟大的科尔莫戈罗夫，文章
8 1988-Tikhomirov-a . n . Kolmogorov的生活和工作，长文，俄文。
9 1988-阿诺德-关于安德烈·尼古拉耶维奇·科尔莫戈罗夫的几句话
10伊藤清-安德雷·柯尔莫哥洛夫的数学观与成就
龚光禄教授-安德雷·柯尔莫哥洛夫，纪念文章。
12潘玉林博士-流体力学的故事-Golov，一篇很有意思的文章。
13节选自科尔莫戈罗夫的日记，节选自柯大师的日记英译本
14选集第一、二、三卷
15一本关于KAM的科普书，KAM的故事友好地介绍了经典的柯尔莫哥洛夫-阿诺德-莫泽理论的内容、历史和意义，中文版叫做KAM的故事。
Kolmo Golov写的，中国学生容易读懂的书；
《实分析导论》
《测度、勒贝格积分和希尔伯特空间》
函数理论与泛函分析初探
数学-它的内容，方法和意义，英文版数学-它的内容，方法和意义，卷1，2和3。
概率论导论是概率论的基础理论，不涉及测度论。
本文无意也没有能力评论哪一位科学巨人更伟大或最伟大，只想呈现《我的英雄》，力求立体丰富。
因为学习和工作的原因，很多年前我就知道了英雄们的大名和辉煌业绩。另一方面，2020年中美贸易战和疫情之后，西方媒体的攻势和舆论的控制，让我想更多地了解苏联杰出科学家的经历和贡献。显然，他们的知识和高尚的品格应该得到更好的理解。舆论控制能力强的西方制造了一些所谓的个性化科学家，推行附属价值观，在中国已经不匹配了。
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