矩阵的秩是如何定义的，为什么？

这样定义的根本原因是矩阵的行秩和列秩是相等的(证明了n+1个N维向量可以线性相关)。

矩阵的秩的几何意义如下:通过在N维线性空间V中定义线性变换，可以证明任意线性变换在给定的一组基下可以与一个N阶矩阵一一对应；而且还保持线性；换句话说，由所有线性变换组成的空间结束了

扩展数据:

A=(aij)m×n的非零子公式的最大阶数称为矩阵A的秩，记为rA，或rankA或R(A)。

特别规定了零矩阵的秩为零。

很明显，rA≤min(m，n)很容易得到:如果A中至少有一个R阶子公式不等于零，且在R <当min(m，n)时，A中所有r+1项全部为零，那么A的秩为R。

从定义中可以直接得出n阶可逆矩阵的秩为n，可逆矩阵通常称为满秩矩阵，det(a)≠0；不满意秩矩阵是奇异矩阵，det(A)=0。

从行列式的性质来看，矩阵A的转置AT的秩与A的相同..

奇异值分解非常有用。对于矩阵A(p*q)，有U(p*p)，V(q*q)，B(p*q)(由对角矩阵和增广的行或列组成)，满足A = U*B*V b * v。

u和V是A的奇异向量，B是A的奇异值..AA’的特征向量形成u，特征值形成B’B，A’A的特征向量形成v，特征值(同AA’)形成BB’。因此，奇异值分解与特征值问题密切相关。

如果A是复矩阵，B中的奇异值仍然是实数。

SVD提供了关于A的一些信息，比如非零奇异值的个数(B的阶)与A的阶相同，一旦确定了阶，U的前k列就构成了A的列向量空间的正交基。

百度百科-矩阵排名