论文:概括在数学中的应用
数学对象的一般化是一个与特殊化相反的过程。如果物体A和B同相，B称为A在D下的推广积，例如从圆到椭圆，从圆的直径到圆的弦，从x4+AX2+B = 0形式的四次方程到x4+A1x3+A2X2+A3X+A4 = 0形式的四次方程。从阿贝尔群到环，从线性度量空间到线性拓扑空间，从群到拓扑群等。属于非平凡标准下的概括(标准是什么，后面会涉及)。对于关于对象X的命题(或一个一般的陈述)，用一个更一般的对象代替X，并适当调整陈述，就可以得到泛化命题。
比如“有无穷多个自然数n，使得2n+1和3n+1是完全平方数”可以概括为“有无穷多个自然数n，使得对于给定的自然数m，Mn+1，(m+1) n+65433。
需要指出的是，在推广一个命题时，如何看待命题中涉及的对象，直接影响到推广命题的真实性。比如，如果把“三角形内角之和等于180”中的“三”换成一个一般的自然数n(n≥3)，那么“N边形内角之和等于180”这个广义命题显然不是。但如果将180写成(3-2) × 180，然后将3改为N，则广义命题“N个多边形的内角之和等于(n-2) 180”成立。
与特殊化一样，泛化也是多向的、有度的(有层次的)和有条件的，以及从特殊对象A到一般对象b的具体路径的多样性，同时，对于一个数学对象来说，它既是泛化的起点，也是泛化的终点——不同方向泛化的终点。
概括是多向的，来自于对象概括的多面起点。出发点既包括客观因素，也包括主观因素。客观因素指的是对象构成的各个方面，主观因素指的是对对象的解释——如何看待一个给定的对象，其中包括人的主观能动性的发挥。从不同的起点出发，可以得到不同的泛化产品。
示例1 A=34这个对象有两个基本组成部分:底数为3，指数为4。如果4推广到变量X，A推广到3x；把3推广到变量x，A推广到x4.3x和x4，没有特殊和一般的关系，是把A推广到不同方向的产物。
组件的泛化导致对象本身的泛化。值得指出的是，部件的泛化在任何情况下都不能导致对象的泛化。对象实际上可以看作是由一些部件按照一定的约束条件组成的系统，一个部件的变化在一定程度上受到其他部件的制约，部件的变化并不是绝对自由的。比如2-1推广为x-1后，X受index -1的如下约束:X ≠ 0。泛化只有在一定范围内才有意义。这符合“凡事都有个度——保持其质量”的哲学道理。组件的泛化不仅会导致对象的泛化，还会导致组件之间关系的弱化，而这就是一种重要的泛化方式:弱抽象。这个我们后面会详细讲。这里我们只举一个例子来说明，这也是多向性泛化的原因之一(作为一个系统，一个物体有两个基本组成部分:元素组成部分及其连接。组件和连接的变化是对象变化的两个基本客观方面)。
2.通用应用
概括是经济思维的一条道路。概括有利于提高思维效率。一般问题解决了，特殊问题往往也能解决。一般物体的特征是特殊物体所具有的。当人们理解了一般物体的特性后，就不需要一一证明特殊物体具有这种性质了。只要清楚这些物体是特殊的，我们就可以断言它们一定具有这种性质。这样，对一个一般对象的认识(就其特征而言)实际上包括了对许多相关方面的特殊对象的认识，即一个相当于许多，从而节省了人们的思维力。比如人们知道“对于实数A，a2≥0”后，就不需要验证22 ≥ 0，1.52 ≥ 0，(-0.02)。...诸如此类。事实上，完成这个验证程序是不可能的，因为实数的数量是无限的，甚至是不可数的。而且，如果人局限于这种验证工作，最后也只会得到一些经验。没有无限，就不会有宇宙科学(庞加莱语)。没有概括，人就不会从穷过渡到无限，数学就不会产生，其他科学也不会产生。
需要指出的是，一般客体对特殊客体的替代是在某一方面，而不是在任何方面。实际上，一个特殊的物体之所以被称为特殊物体，是因为它有自己的特点或“个性”。比如a2≥0中的A只可行替换2(22≥0)，2的其他性质(比如偶数)不一定是从A导出的.
概括是学术研究的一条道路。它带领人们从特殊走向一般。比如65，438+07世纪法国数学家帕斯卡在65，438+06岁时发现的帕斯卡六边形定理(现称)就经历了一个推广的过程(如果一个六边形内接于一条圆锥曲线，那么每两条对边相交形成一条三点* * *线)。首先，他研究了特种兵。然后，通过投影和剖视实现了从圆到圆锥曲线的推广，证明对所有圆锥曲线都有效。再比如，对于数学大师希尔伯特，人们往往把他和形式主义、公理化方法联系在一起，认为这是他思想的精髓。其实他还有一条很重要的研究道路——从特殊到一般——概括。著名数学家韦尔在为英国皇家学会撰写的一篇文章中说，“在掌握一个具体问题和形成一个普遍的抽象概念之间，希尔伯特总能幸运地取得平衡。”“在解决特殊问题时，希尔伯特总能敏锐地抓住向他揭示一般关系的迹象。在学习数论期间，希尔伯特阐述了关于类域的一般定理和一般互易定律。这也是说明上述因素的一个极好的例子”。“希尔伯特的对数域理论...是在1892-1898期间学习的。论文问世后，从特殊到一般一步步展开，涉及许多有用的概念和方法，揭示了“本质的内在联系”。拉格朗日和汉密尔顿也从特殊中发现了一般。
泛化有助于增强认知的普遍性，扩大认知的范围，这是显而易见的。因为泛化的直接体现是对象外延的扩展，这也是泛化的目的之一。由于事实(或观念)适应面的增加，为这种观念在大范围内的应用奠定了基础。比如把闭区间上连续函数的有界性定理和介值定理推广到一定程度后，就可以用在很多领域。公式意思是解方程x2+5x-7 = 0
之后就可以求解任意二次系数为1的实系数二次方程(例如x2-3x-5 = 0)。在更具体的概括手段中，象征和抽象是增强认知普遍性的两种重要方式。
数学(主要)是一种(符号化的)语言，其特点是广泛使用各种符号，并且随着历史的发展，这一特点日益强烈地表现出来(例如希尔伯特的形式观点提出后，这一趋势进一步加剧)。或许可以说，数理逻辑尤其重要。数学内容(对象、命题等)的概括。)伴随着数学语言——或文字的变化(例如实数→复数；连续函数→勒贝格可积函数；等等。)，或者语义变化(比如普通微积分中的连续函数→拓扑学中的连续函数，也叫连续函数，但前者比后者更特殊)。函数的概念和级数收敛的概念在历史上也经历了一个从狭义到广义，即从特殊到一般的过程。在一定程度上可以说，符号的引入为泛化奠定了语言学基础。比如，在F. Vieta有意识、有系统地使用字母之前，代数(方程组理论)基本上就是语言表达的代数。在那个时代，方程是用语言描述的，而不是像AX2+BX+C = 0这样简洁的形式写出来，人们处理的方程只是各种用语言表达的非常具体的方程。在大卫引入符号之后，情况发生了实质性的变化。他用字母来表示未知量及其幂。今天也用字母来表示所谓的一般系数(常量变量)。通常他用辅音字母代表已知量，元音字母代表未知量。借助符号可以给出一个二次方程的通式AX2+BX+C = 0，是一类方程的* * *谐音，是一般元素，不是具体方程。当方程推广后，人们可以考虑它的通解，寻求二次方程的解。这就导致了人们对解方程认识的升华。在这里，显而易见的是，从文字代数到符号代数的转化，从对个别方程的研究到对一般方程的研究，都是以符号的引入为基础的。另一方面，引入符号有时是为了具体拓展已有的认识范围，引入的符号是形式上增加的新元素。这经常出现在添加元素为完整的原则的应用中。比如自然数{65438+，在2，…，n，…}的范围内，加法和乘法是封闭的，畅通无阻的，而它们的逆运算，减法和除法却不是。为了消除或突破这种限制，人们引入符号0，-1，-2，…, -n，…，使得A+x = b总是可解的，也就是减法是闭的(消除no)使得加法和乘法原来的规律就是相应方程的形式解。当然，符号不能随便引入，对应区间的一般元素都是广义的。在这里，引入的符号是推广的直接实施者，推广是数学普及的一种重要形式。
以抽象的形式扩大知识范围的主要手段是公理化(公理可以看作是对具体事物的特征进行分离和概括的产物)，包括形式的现代公理化。人们研究了公理系统之后，各种具体系统(满足公理)的相应性质就清楚了。代数结构是典型的公理化。公理给定的对象，不管其具体构成要素如何，只要要素之间的关系满足公理，这种对象就是抽象的，因为它是由自然定义的(不是对象制约自然，而是相反)。公理系统的结论适用于任何满足这些公理的具体系统，而具体系统得出的结论只适用于自身(对其他系统是否也成立需要验证)，因此公理结论更具有普适性。
概括有助于增强理解的深刻性(普遍性和深刻性是科学的两个基本特征)。人们概括不仅仅是为了概括，更是为了更好更深刻地理解特殊性。
准确、清晰是认知加深的重要标志。概括有利于认知的准确性。例如，关于矩阵的秩rk，高等代数中有以下定理:
对于矩阵An×m1，Bn×m2，有
max{rk(A)，rk(B)}≤rk(A，B)
≤min{n，rk(A)+rk(B)}。
用高等代数的常用方法是不可能给出rk(A，b)的表达式的，但借助于逆矩阵的推广——广义逆矩阵，我们可以做到这一点，实现rk(A，b)公式的准确性:
rk(A，B)=rk(A)+rk[(I-AA+)B]
=rk(B)+rk[(I-BB+)A]。
其中I是单位矩阵，A+和B+分别是A和B的Moore-Penrose逆。在这里，概念的泛化导致了命题的精确化和量化。
概括是系统学习的一种方式。如果人们把某一学科或教材的概念和命题列出来，按照从特殊到一般的顺序列出来，有助于人们系统地记忆，有助于系统地学习。理论上，这个表对科研也有一定的指导作用。我们将在下一节详细解释这些。