证明:实对称正定矩阵的行列式不大于其对角元素的乘积。
关于正定实对称矩阵行列式的一个结论
(长江师范学院数学系，重庆408100)
杨石先
由于百度文字编辑的限制，下面可能很难读懂。建议你自己找原版。如果你真的不行，给我留言，我会传给你的。
基于测量矩阵和分块矩阵的知识，本文得出以下结论。
得到了定型实对称矩阵的行列式与其主对角元素之间的差别
方程式。
关键词:实对称矩阵度量矩阵埃尔米特正交化块
矩阵行列式
实对称矩阵是高等代数中的一个重要内容，所谓固定实。
对称矩阵是正定、负定、半正定、半负定矩阵。我们先回去吧。
考虑本文将使用的关于实对称矩阵的一些结论:
性质1:实对称矩阵A正定的充要条件是可逆方阵的存在。
矩阵c使a = c' C。
性质2:实对称矩阵A是半正定的当且仅当它是全部。
主表达式和从属表达式都大于或等于零。
性质3:实对称矩阵A为负定(半负定)的充要条件是-A。
是正定的(半正定的)。
性质4:在N维欧氏空间中，一组基ε1，ε2，？，εn
A=的度量矩阵
(aiji)，其中aiji = (ε i，ε j)是实对称矩阵，矩阵A是正定的。
性质5:在N维欧氏空间中，两组基ε1，ε2，？，εn
而η1，η2，？，ηn
的度量矩阵分别是a和b，那么a和b是契约的，即如果(η1，η2，
，ηn ) =(ε1，ε2，？，εn)C，则有B=C'AC。
本文要证明的主要定理是:
定理1: A = (aiji)是n阶正定矩阵，则有detA≤
n
k=1
* akk
为了证明定理1，我们首先证明一个引理:
引理:ε1，ε2，？，εn
是n维欧氏空间的一组基，ε1，ε2，？，εn
名著
超ermite正交化成为η1，η2，？，ηn，记G(ε1，ε2，？，εn)是ε1，ε2，
，εn
的度量矩阵，证明:
detG(ε1
,ε2, ?，εn)=detG(η1，η2，？，ηn)=|η1|2
|η2|2
？|ηn|2
证明:假设A来自ε1。
,ε2
, ?，εn
到η1，η2，？，ηn
转移矩阵，即:
(η1 ,η2, ?，ηn)=(ε1，ε2，？，εn)A
那么G(η1，η2，？，ηn)= A′G(ε1，ε2，？，εn)A ( 1)
根据问题的意思η1，η2，？，ηn
是由ε1，ε2，？，εn
通过埃尔米特正交化
来，所以有:
η1
=ε1;
η2
=ε2-
(ε2 ,η1)
(η1,η1)
η1
ηn
=εn-
(εn，η1)
(η1,η1)
η1
- ?-
(εn，ηn- 1)
(ηn- 1，ηn- 1)
ηn- 1
所以我们知道A是上三角矩阵，主对角线上的元素都是1，也就是说，
A=
1 * ?*
0 1 ?*
# ?
0 0 ?
$ % % & amp
'(()
1
同时，一个' =
1 0 ?0
* 1 ?0
# ?
* * ?
$ % % & amp
'(()
1
，所以detA'=
detA=1 .由(1)式可知:
detG(η1，η2，？，ηn)= det(A′G(ε1，ε2，？，εn)A)
= detA′detG(ε1，ε，？，εn) detA
=detG(ε1，ε2，？，εn)
因为η1，η2，，ηn
是正交向量组，所以G(η1，η2，？，ηn)是对的。
角度矩阵，以及:
detG(η1，η2，？，ηn)=|η1|2
|η2|2
？|ηn|2
即:detG(ε1，ε2，？，εn)=detG(η1，η2，？，ηn)=|η1| 2
|η2 | 2
| η n | 2，证完了。
定理1的证明:根据题意，A = (aiji)是n阶正定矩阵，所以依赖于性质。
质1知道可逆方阵c的存在，所以a = c' c .设矩阵c的n列向量分别为
是α1，α2，？，αn，利用乘除的快速矩阵有:
a = C′C =
α1
′
α2
′
αn
$ % % % & amp
'((()
′
(α1 ,α2, ?，αn)=
α1
′α1
α1
′α2 ?α1′αn
α2
′α1
α2
′α2 ?α2′αn
αn
′α1
αn′α2
αn′αn
$ % % % & amp
'((()
=
(α1,α1) (α1,α2) ?(α1，αn)
(α2,α1) (α2,α2) ?(α2，αn)
(αn，α1) (αn，α2)？(αn，αn
$ % % % & amp
'((()
)
( 2)
因为矩阵是可逆方阵，α1，α2，？，αn
是线性独立的方向
数量组也可以看作Rn。
一组基，则矩阵A为α1，α2，？，αn
的度量矩阵。假设α1，α2，？，αn
执行Hermite正交化以获得向量。
β1，β2，？βn由引理的条件可知:
det A=|β1|2
|β2|2
？βn|2
因为β1，β2，？，βn
是由α1，α2，？，αn
通过埃尔米特正交化
来，它们有如下关系:
β1
=α1 ;
β2
=α2-
(α2,β1)
(β1,β1)
β1
βn
=αn-
(αn，β1)
(β1,β1)
β1
- ?-
(αn，βn- 1)
(βn- 1，βn- 1)
βn
- 1。
用β1，β2，？，βn
表示α1，α2，？，αn
有:
α1
=β1 ;
α2
=β2+
(α2,β1)
(β1,β1)
β1
αn
=βn+
(αn，β1)
(β1,β1)
β1
+?+
(αn，βn- 1)
(βn- 1，βn- 1)
βn
- 1
因为β1，β2，？，βn
两两正交，所以有:
|α1|=|β1|;
|α2|= β2+
(α2,β1)
(β1,β1)
β1
=|β2|+
(α2,β1)
(β1,β1)
β1
≥|β2|;
|αn|= βn+
(αn，β1)
(β1,β1)
β1
+?+
(αn，βn- 1)
(βn- 1，βn- 1)
βn
- 1
=|βn|+
(αn，β1)
(β1 ,β1)
β1
+?+
(αn，βn- 1)
(βn- 1，βn- 1)
βn- 1
≥|βn
|
所以:det A=|β1|2。
|β2|2
？βn|2
≤|α1|2
≤|α1|2
|α2|2
？|αn|2，
从公式(2)很容易知道|ak|2=akk，
即，det A≤
n
k=1
∏akk，证完了。
我们知道一个半正定矩阵的行列式A=( aij)一定大于或等于。
在零，当det A >时0，a一定是正定的；联立半正定矩阵a的主对
角线上的元素akk(1≤k≤n)都是非负实数，所以当det A=0时，
不等式det A≤
n
k=1
* akk
明显成立。综上所述，定理1有:
推论1: A=( aij)是n阶半正定矩阵，那么det A≤
n
k=1
* akk .
对于半正定或负定矩阵A=( aij)，我们知道-A是半正定或
正定，所以:
推论二:A = (aiji)是n阶半负定(负定)矩阵，当n为偶数时，有
det A≤
n
k=1
* akk；当n为奇数时，存在det A≥
n
k=1
* akk .
证明了如果A =(AIJ)是半正定矩阵，那么-A=(- aij)是半正定矩阵。
通过推论1是:
det (- A)≤
n
k=1
∏(- akk)
$(- 1)ndetA≤(- 1)n
n
k=1
* akk
$
det A≤
n
k=1
∏akk，n是奇数，
det A≥
n
k=1
∏akk，n是偶数。
%
'
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'
（
,
完成证书。
参考资料:
[1]北京大学数学力学系。高等代数(第三版)[M]。北京:
高等教育出版社，2003。