研究课题功能的主线在各章节中是如何体现的？

十六、十七世纪，欧洲资本主义国家相继崛起，为了争夺霸权，急需发展航海和军火工业。为了发展航海，需要确定船只在海里的位置和地球上的经纬度；为了战斗，我们还需要知道如何使炮弹准确命中，这就促使人们去研究各种“运动”以及各种运动中的数量关系，这就为函数概念的产生提供了基础。

17世纪中期，笛卡尔引入了变量(变量)的概念，公式化了解析几何，从而打破了仅限于方程的对未知的认识。后来牛顿和莱布尼茨独立建立了微分理论。这一时期，随着数学内容的丰富，各种具体的函数大量出现，但函数并没有被赋予一个普遍的定义。牛顿在1665年开始学习微积分后，一直用“流利”这个词来表达变量之间的关系。1673年，莱布尼茨在一篇手稿中第一次使用了“流利”这个术语。他用一个函数来表示任何随曲线上点的变化而变化的量。(定义1)这可以说是函数的第一次“定义”。例如，切线、弦和法向的长度以及水平和垂直坐标相等。后来，这个术语被用来代表权力，即X、X2、X3、...显然，“功能”这个词的原意是非常模糊和不准确的。

人们不会满足于这样一个不准确的概念，数学家们对函数做了进一步的讨论。

二、函数概念的发展和完善1。基于“变量”的函数概念，由约翰·瑞士科学家、莱布尼茨学生伯努利在1718中给出了明确的定义:变量的函数是由这些变量和常数组成的解析表达式。(定义2)并且这里给出了函数的符号φx。这个定义第一次使函数具有解析性。

18世纪中期，著名数学家达朗贝尔和欧拉研究弦振动时，觉得有必要给出函数的一般定义。达朗贝尔认为函数是指任何解析公式，在1748年欧拉将其定义为:函数是任意绘制的曲线。(定义3)在此之前，在1734中，欧拉也给出了一个函数的符号f(x)，我们沿用至今。

其实这两种定义(定义1和定义2)就是现在常用的函数的两种表达方式:解析法和镜像法。后来由于傅立叶级数的出现，沟通了解析表达式与曲线之间的关系。但是用解析表达式来定义函数显然是片面的，因为很多函数是没有解析表达式的，比如狄利克雷函数。

1775年，欧拉在《微分学原理》一书的序言中给出了更广泛的定义:如果某些变量以这样一种方式依赖于其他变量，即当后者变量发生变化时，前者变量也发生变化，那么前者变量称为后者变量的函数。(定义4)这个定义只是简单地反映了函数中的辩证因素，体现了从“自变”到“因变”的生动过程，但没有提到两个变量之间的对应关系，因此没有反映出真正意义上的科学函数概念的特征，而只是函数概念科学定义的“雏形”。

函数是研究物体运动而衍生出来的概念，所以前几个函数概念的定义只承认变量之间的关系，比如自由落体的落体距离，单摆运动的振幅，都可以看作时间的函数。显然，仅从运动中变量“变化”的角度出发，对函数概念的理解是有一定局限性的。比如对于常数函数，不做解释。

19世纪初，Lacroix正式提出，只要一个变量依赖于另一个变量，前者就是后者的函数。1834年，俄国数学家罗巴切夫斯基(лобачевский)进一步提出了函数的定义:x的函数是这样一个数，它对每个x都有一定的值(定义5)这其实是一个“列表定义”，好像有一个“表格”，其中一列是x值，另一列是对应的y值。这个定义指出了对应(条件)的必要性，表明了函数“对应”的思想，而“对应”概念是函数概念的本质和核心。

19世纪法国数学家柯西给出了更明确的定义:有两个相互关联的变量，其中一个变量的值可以在一定范围内任意变化。这样的变量称为自变量，另一个变量的值随着自变量的值而变化。这个变量称为因变量，作为自变量的函数称为因变量。(定义6)

在1829中，狄利克雷给出了所谓的狄利克雷函数:当X为有理数时，y = 1；x无理数时Y=0。这个函数并不复杂，但无法解析表达。这个思想是数学从过去的研究“计算”向后来的研究“概念、性质、结构”转变的开始。在1837中，他将函数定义为:在某一变化过程中，有两个变量X和Y..如果对于X在一定范围内的每一个定值，Y都有一个唯一的定值按照一定的对应关系与之对应，则称Y为X的函数；x称为独立变量。(定义7)这个定义的好处是直接强调和突出了“对应”关系，抓住了概念的本质属性。只需要有一个规则，使得这个函数定义域中的每一个值都有一个确定的Y值与之对应，不管这个规则是公式还是图像还是表格或者其他形式；它的缺点是省略和简化了功能变化的生动思想。

基于“集合”的函数概念

函数的概念是随着数学的发展而发展的。函数的定义在数学的发展中不断改进、抽象和完善。20世纪70年代，德国数学家G .康托提出了集合论。进入20世纪后，随着集合论的发展，函数的概念也有了新的进展。它最终摆脱了数域的束缚，扩展到更广阔的研究领域，实现了概念的现代化。

20世纪初，美国数学家Weblan给出了函数的如下定义:如果变量Y的集合与另一个变量X的集合之间存在这样一种关系，即存在一个完全确定的Y值对应于X的每一个值，则称Y是变量X的函数..(定义8)从这个定义开始，函数概念一直是基于集合的，而前七个定义是基于变量(数)的。

随着时间的推移，函数被明确定义为集合之间的对应关系，定义为:A和B是两个集合。如果A的任一元素按照某种对应关系在B中有唯一的元素，这样的对应关系就成为从集合A到集合B的函数(定义9)根据映射的概念，这个定义从“映射”的观点建立了函数的概念，可以这样描述:集合A到集合B的映射f: a → b称为集合A到集合B的函数，简称函数F。(定义10)以上三个定义打破了数域的束缚，将集合中的元素变得抽象，可以是也可以不是数，而是其他一切有形或无形的东西。比如X是所有三角形的集合，Y是所有圆的集合，F可以是每个三角形到其外接圆的映射。

新函数的定义可以这样理解:一个函数是一个对应关系(规则)，对于某个范围(集合)内的元素，根据这个对应关系(规则)确定另一个元素。这样，函数的概念就从狭义的“变”转化为广义的“对应”，函数就是对应(规则)。

与初级阶段相比，用“对应”(“规则”)来理解函数概念，揭示了函数概念的本质，但至少不符合我们使用未定义术语的意图。因为什么是“对应”，如何理解“规则”，都需要定义。比如规则不一样，功能就不一样吗？比如f(x)=x和f(x)=(1+x)-1当然是不同的规则，但是定义的是同一个函数。

为了解决这一矛盾，在20世纪初，特别是20世纪60年代以后，广泛采用了只涉及“集合”概念的函数定义，但并没有将集合定义为原始概念。这个定义是:设A和B是任意两个集合，F是笛卡儿集合A× B的子集，满足以下条件:①对任意a ∈ A，有一个B ∈。然后称f为a到b的函数，写出f: a → b .(定义11)这个定义使用了“关系”的概念，给出了一个只涉及原概念“集合”的函数的一般定义，即不需要使用“对应”，避免了“规则”的解释。只要集合论适用于所有数学领域，这样给出的函数定义总是适用的。堪称最现代的定义。

迄今为止，给出了“函数”最完美的定义(定义11)。作为数学中最基本的概念之一，基础已经直接建立在集合上，也就是把函数看成是一个集合到另一个集合的对应，这其实和“映射”是一样的。

三、新旧定义的比较新定义(基于集合的定义称为新定义，基于变量(数)的定义称为旧定义。)和旧的定义，两者有两个重要的区别:(1)旧的定义是基于“变量”的基本概念，而新的定义是基于“集合”的基本概念。什么是变量？通常理解为一个单位选定后可以衡量的东西，比如长度、质量、时间等。一方面，这种认识过于模糊，只能举例说明，难以精确；另一方面，因为涉及大小与大小的关系，所以过于狭窄，不能体现应用的普遍性。其次，即使不存在什么是“量”的问题，但作为变量，它必须在一定范围内取值(不一定是数值)，这实际上是一个不得不预先假定的集合A(构成函数的定义域)。所谓“变量取值”，本质上是一种变相的“A属于A”的迂回说法。可见变量的概念已经包含了集合的思想。

⑵旧定义中“因变量”是函数，新定义中“对应”是函数。函数概念的本质不是因变量随方便量“变化”，而是两个集合之间有一定的对应关系。显然，新定义能更直接地揭示函数的本质。