黎曼构想的黎曼猜想

ζ(s)= 2γ(1-s)(2π)s-1 sin(πs/2)ζ(1-s)

从这个关系式不难发现，黎曼ζ函数在s=-2n (n为正整数)取零——因为sin(πs/2)为零[注3]。复平面上使黎曼ζ函数值为零的这一点称为黎曼ζ函数的零点。所以s=-2n (n为正整数)是黎曼ζ函数的零点。这些零点分布有序，性质简单，故称为黎曼ζ函数的平凡零点。黎曼ζ函数除了这些平凡零点外，还有许多其他零点，它们的性质远比平凡零点复杂，它们被称为非平凡零点。黎曼ζ函数的非平凡零点的研究是现代数学中最困难的课题之一。黎曼猜想就是关于这些非平凡零点的猜想。

黎曼猜想:黎曼ζ函数的所有非平凡零点都位于复平面上Re(s)=1/2的直线上。

这是黎曼猜想的内容，黎曼在1859中提出。黎曼猜想从表述上看，似乎是一个纯复变函数命题，但实际上是一个关于素数分布的神秘运动。

证明黎曼猜想的尝试

黎曼1859在他的论文&中；Uuml第一任总理的任期是一年。ouml& ampszlige '提到了这个著名的猜想，但这不是本文的中心目的，他也没有试图去证明它。黎曼知道zeta函数的非平凡零点对称分布在直线S =&上；frac 12；+it，并且他知道它的所有非常零点一定位于0 ≤ Re(s) ≤ 1的区域内。

1896年，雅克·阿达玛和查尔斯·让·德·拉·瓦莱-普桑独立证明了直线Re(s) = 1上不存在零点。连同黎曼已经证明的关于非常零点的其他特征，它表明所有非常零点必定在区域0中

1900年，大卫·希尔伯特将黎曼猜想纳入他著名的23个问题中，黎曼猜想和哥德巴赫猜想一起构成了希尔伯特表上的第8个问题。当被问及如果他在500年后醒来会做什么时，希尔伯特有一句名言，他的第一个问题将是黎曼猜想是否被证明了。(德比郡2003:197；萨巴格2003年:69；Bollobas 1986:16)。黎曼猜想是唯一一个被列入克莱数学学院千年奖数学问题的希尔伯特问题。

在1914中，高德菲·哈罗德·哈代证明了直线Re(s) = & frac12中有无穷多个零点；走吧。然而，仍然有可能在其他地方存在无限数量的非常零(可能是最重要的一个)。后来，哈代和约翰·恩瑟·利特伍德在1921中的工作(临界线定理)和塞尔伯格在1942中的工作是计算临界线上的零点Re(s)= & frac 12；的平均密度。

近几十年来，工作的重点是清楚地计算大量零的位置(希望找到反例)，并对临界线外的零的比例设定一个上限(希望将上限降低到零)。

在过去的几十年里，许多数学家声称证明了黎曼猜想，但截至2007年，仍有少量证明没有得到验证。但它们都受到数学界的质疑，大多数专家都不相信它们是正确的。艾希特大学的马修·r·沃特金斯(Matthew R. Watkins)汇编了一份这些严肃或荒谬说法的清单，在arXiv数据库中可以找到这些说法的一些其他证明。