数学物理方程的主要课容量是多少?急!!!不少于1500字。伙计们,救命啊,
人们对偏微分方程的研究是在微分学产生后不久开始的。比如18世纪初对弦的横向振动的研究,以及后来对热传导理论、流体力学、对位函数的研究,都得到了相应的数学物理方程,相信都是有效的解。到19世纪中期,偏微分的一般理论从对个别方程的深入研究中逐渐形成,如方程的分类和特征理论,这就是经典偏微分方程理论的范畴。
但在20世纪,随着科学技术的不断发展,科学实践中提出了新的数学物理方程问题,电子计算机的出现为实现数学物理方程的研究成果提供了有力的手段。因为数学的其他分支(如泛函分析、拓扑学、群论、微分几何等。)也得到了迅速发展,它为进一步研究偏微分方程提供了强有力的工具。因此,在20世纪,对数学和物理方程的研究取得了前所未有的进展,而且这些发展呈现出以下特点和趋势:
1.许多自然科学和工程技术中提出的问题的数学描述大多是非线性偏微分方程。即使对某些线性偏微分方程进行近似处理,随着研究的深入,也必须重新考虑非线性效应。研究非线性偏微分方程要困难得多,但会对线性偏微分方程的已有结果提供许多有益的启示。
第二,在实践中,很多因素相互结合,相互影响。因此,其数学模型多为非线性偏微分方程。如反应扩散方程、流体动力学方程、电磁流体动力学方程、辐射流体方程等。数学上称为双曲-抛物方程。
第三,数学物理方程不再只是描述物理、力学等工程过程的数学形式。目前,在化学、生物、医学、农业、环保,甚至经济等社会科学领域,都不断提出一些非常重要的偏微分方程。
四、一个实际模型的数学描述,除了描述过程的方程(或方程式)外,还应有确定的求解条件(如初始条件和边界条件)。传统上,这些条件是线性的,逐点表示。然而,现在提出的许多定解条件是非线性的,尤其是非局部的。非局部边值问题的研究是一个新的非常有意义的领域。
5.与其他数学分支的关系。比如几何上提出了很多重要的非线性偏微分方程,比如极小曲面方程,调和映射方程,方程等等。泛函分析、拓扑学、群论等现代工具广泛应用于偏微分方程的理论研究。例如,空间为研究线性非线性偏微分方程提供了强有力的框架和工具。广义函数的应用使经典的线性微分方程理论更加系统和完善。然后,随着计算机的广泛应用和计算方法的迅速发展,特别是有限元的广泛应用,偏微分方程的研究得以实现,并在实践中得到检验。
用数学方法处理应用问题时,首先要建立合理的数学模型,很多情况下是偏微分方程。模型的建立是一个相当复杂的过程。
教学大纲和章节的基本要求
第一章波动方程
教学要点:
通过本章的教学,学生可以初步了解数学方程的方法和特点,掌握方程的求解,以及所表达的物理意义。
1.使学生理解波动方程的推导方法。
2.理解定解的条件和意义。
3.掌握分离变量法求解初边值问题。
4.可以解高维波动方程的柯西问题。
5.明确波的传播和衰减的含义。
6.利用能量不等式确定方程解的唯一性和稳定性。
教学时数:20小时。
教学内容:
第一节方程的推导和定解条件
第二节达朗贝尔公式和波的传播
第三节初边值问题的分离变量法
第四节高维波动方程的柯西问题
第五波的传播和衰减
第六节能量不等式和波动方程解的唯一性和稳定性
评估要求:
第一节方程的推导和定解条件(理解和应用)
第二节达朗贝尔公式和波的传播(理解)
第三节初边值问题的分离变量法(理解和应用)
第四节高维波动方程的柯西问题(理解与应用)
第五节波的传播和衰减(理解)
第六节能量不等式和波动方程解的唯一性和稳定性(理解和应用)
第二章热传导方程
教学要点:
通过本章的教学,使学生初步了解热传导方程是用物理原理建立的,初边值问题可用分离变量法求解,柯西问题可用傅里叶变换求解,定解问题的解的唯一性和稳定性可用极值原理确定。
教学时数:15小时。
教学内容:
第一节热传导方程及其定解的推导
第二节初边值问题的分离变量法
第三节柯西问题
第四节极值原理、定解解的唯一性和稳定性
评估要求:
第一节热传导方程及其定解的推导(理解)
第二节初边值问题的变量分离(理解和应用)
第三节柯西问题(理解与应用)
第四节极值原理、定解解的唯一性和稳定性(理解与应用)
第三章调和方程
教学要点:
通过本章的教学,学生可以建立调和方程,明确确定解的条件,掌握格林公式及其应用,理解格林函数,利用强极值原理判断第二边值问题解的唯一性。
教学时数:15小时。
教学内容:
第一节建立方程和定解条件
第二节格林公式及其应用
第三节格林函数
第四节:强极值原理,第二边值问题解的唯一性
评估要求:
第一节方程的建立和定解条件(应用)
第二节格林公式及其应用(理解和应用)
第三节格林函数(理解)
第四节强极值原理,第二边值问题解的唯一性(理解与应用)
第四章是二阶线性偏微分方程的分类和总结。
教学要点:
通过本章的教学,使学生掌握二阶线性方程的分类方法、二阶线性方程的特征理论和三类方程的特征。
教学时数:12小时。
教学内容:
第一节二阶线性方程的分类
第二节二阶线性方程的特征理论
第三节三类方程的比较
评估要求:
第一节二阶线性方程的分类(记忆和理解)
二阶线性方程组的特征理论(记忆和理解)
第三节三种方程的比较(记忆和理解)
第五章积分理论
教学要点:
通过本章的教学,使学生了解一阶偏微分方程的概念和特征理论,明确二元线性双曲型方程的柯西问题和定解,掌握两个级数的求解。
教学时数:10小时。
教学内容:
第一节简介1。一阶偏微分方程的例子2。一阶方程和高阶方程的关系,
第二节是双自变量一阶线性偏微分方程的特征理论。
第三节含两个自变量的线性双曲型方程的柯西问题
第四节双自变量线性双曲型方程的其他定解
第五节两个系列解决方案(应用)
评估要求:
第一节介绍1。一阶偏微分方程的例子2。一阶方程和高阶方程的关系,(理解)
第二节双自变量一阶线性偏微分方程的特征理论。(记忆和理解)
第三节双曲型线性方程组的柯西问题(记忆和理解)
第四节二元线性双曲型方程的其他定解(记忆和理解)
三。推荐教材和参考号
1.《数学物理方程》,顾超豪主编,第2版,高等教育出版社,2002年。
2.《数学物理方程》,吉洪诺夫主编,黄克谷译,第2版,高等教育出版社,1961。
3.《数学物理方法》,南京工程学院数学教研组编,高等教育出版社,1982。
4.《高等数学》,四川大学数学系编,第4版,人民教育出版社,1979。