图像处理中的数学——从傅里叶变换到滤波

对音乐更直观的理解是这样的:

图1是音乐在时域的样子，图2是音乐在频域的样子。

频率为，如果横轴为频率，纵轴为幅度，则频域图像为

正弦函数是单一频率的，在频域中只用一条竖线表示。我们期望的是把时域的信号转换成单一频率的正弦函数组合，这样就可以在频域用竖线表示，完成从时域到频域的转换。

如果任何一个波形都可以变换成一个常数和几个正余弦函数的线性组合，我们就可以完成从时域到频域的变换。用数学公式表示如下:

所以问题就变成了，对于任何波形，我们能不能找到一组系数，让上面的等式成立？

在1807年发表的论文中，法国数学家傅立叶提出了一个当时很有争议的结论:任何连续的周期信号都可以由一组适当的正弦曲线组成。

随着频率的增加，合成波形更接近方波。当n趋近于无穷大，即频谱范围无穷大时，可以无限趋近于方波。

从频域的角度来看

对于做图像处理的人来说，每一幅数字图像都是一组信号，也就是说做图像处理相当于做信号处理。由于信号具有频域特性和时域特性，连接时域和频域的通道是傅立叶变换。

图像频率特性分析

光谱上的每个像素代表一个频率值，振幅是通过对像素的亮度进行编码得到的。对于图像，图像信号的频率特性如下:

注意:这里的低通滤波是指留下低频波，滤除高频波。示意图是一个居中的频谱，即从频谱中心到周围频率由低到高。示意图显示，滤波点中心周围的中低频和高频被留下。我们知道低频对应的是图像中变化不明显的部分，所以图像变得非常模糊。这在图像处理中也称为平滑滤波。

与平滑相比，锐化图像的效果明显是增强了图像的边缘。