复变解析函数的定义

复变函数是指以复数为自变量和因变量的函数，相关理论是复变函数论。解析函数是复变函数中的一种解析函数，复变函数论主要研究复数域中的解析函数，所以通常称为解析函数论。

复数的概念起源于求方程的根，在求二次和三次代数方程的根时，出现了负数的平方根。很长一段时间，人们无法理解这种数字。然而，随着数学的发展，这类数字的重要性日益显现。

复变函数理论产生于18世纪。1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数积分导出的两个方程。在他之前，法国数学家达朗贝尔已经在他关于流体力学的论文中得到了它们。

因此，后来人们提到这两个方程，称之为“达朗贝尔-欧拉方程”。在19世纪，柯西和黎曼研究流体力学时，对上述两个方程进行了更详细的研究，所以它们也被称为柯西-黎曼条件。

复变函数的性质

复函数有许多有趣的性质，其中最重要的是它们是解析的。这意味着它们在复平面上是无限可微的，并且满足柯西-黎曼方程，即纯虚函数的实部和实函数的虚部都是连续可微的。

此外，由于极角和模的存在，复变函数还具有周期性、奇偶性和解析延拓性。复变函数中的一些重要概念包括:极点、零点、留数等。