什么是筛选？(数论中的一种古老方法)

在数论中广泛使用的一种初等方法起源于古代的埃拉托色尼筛法。所谓筛选法，可以描述为:①给定“筛选集”。这是一个集合族□ (□),依赖于某个参数□。每个集合□ (□)由有限个(可重复的)整数组成，当□→∞时，元素的个数趋于无穷大。②给定“筛子”。这是由每个给定的□ (□)模□,不同素数和不同剩余类□ (□)的无穷集合组成，其中1 ≤□ (□) 0，命题{□-1，□-1}被证明。如果把□1(□)改成set □2(□)={□-□，质数□<□□□}，那么，根据□的存在性，对于一个足够大的偶数，可以推出命题{1，□-1}。筛论主要研究筛函数的性质，尤其是筛函数的上下界估计。根据□ (□) /□是平均意义上的“小”还是“大”，对应的筛选方法称为小筛选法或大筛选法。以上例子都是小筛法。大筛法是Linnik在研究模的正最小二次非剩余时提出的。他证明了对于任何筛□和□ (□)，必有□□□只要□，其中□ (□) = {м +□，1 ≤□≤□}, □ 1是正常数，且□□ (□)不大于□。因为□ (□) ≥□□□□是“非常大”，林尼克把他的方法称为“大筛选法”。小筛法虽然历史悠久，但在具有重要理论价值的数论研究中并未得到应用，主要是因为很难得到筛法函数所需的上界估计，尤其是正下界估计。1920左右，V. Braun首先改进了Eratostheny筛法，证明了命题{9，9}成立，所有孪生素数的倒数组成的级数收敛，开辟了用筛法研究数论的新途径。他的方法被称为布鲁姆方法。20世纪40年代，B.J. Rossell对Bronson筛法进行了改进，提出了所谓的Rossell筛法，但大约20年后才引起人们的重视。这两种小筛选法具有很强的组合数特征，所以也叫组合筛选法。1950左右，A. Selberg利用求二次型极值的方法，对Eratostheny筛选法进行了很大的改进。他的方法叫做塞尔伯格(上限)筛选法，非常简单，应用起来也很方便。在研究许多著名的数论问题时，如命题{□，□}和素数在等差数列中的分布(即Bron-Tichmash定理)，小筛法取得了丰富的成果，并进一步发展了自己。A.A. Bukes Tabu引入的组合法和P.Kuhn引入的加权法也对小筛法理论做出了重要贡献。小筛法本身是初等的，但必须结合高级的分析方法才能应用于某些问题的研究，如命题{1，□}的研究。尤卡特、里奇、伊万尼克等。利用现有的小筛选理论，只在最简单的情况下得到筛选函数的最佳估计。小筛理论的发展远未结束。A. Renee在1947首先改进了大筛法。在1965中，K. F. Roth和E. Bombieri做了很大的改进。Renee用他的方法估计了Dirichlet □函数的零密度，并结合Bloom筛法证明了命题{1，□}，其中□是一个待定的大常数，为大筛法的应用开辟了新的途径。E. Bombieri发现大筛法可约化为估计指数之和的均方上界，其中□使大筛法成为现代解析数论中的重要工具。在1966中，H. Davenport和H. Halberstam进一步将大筛法归类为□的估计的上界，其中□为任意复数，而□□大筛法的上界估计的证明一直比较复杂。在1967中，P. X .加拉格尔用非常初等的微积分方法给出了一个非常简单的证明。1974年，H.L. Montgomery和R.C. Vaughn利用泛函分析的对偶原理将大筛法简化为双线性估计，并证明了最佳估计□因此大筛法失去了原来神秘的外表，成为初等分析工具，在黎曼□函数、狄利克雷□函数的零密度估计、素数在等差数列中的平均分布、Bron-Tichmash定理。通常的筛选方法总是指小筛选法。我国数学家在小筛法和大筛法的理论和应用方面都做出了很大的贡献。在1957中，王元证明了命题{2，3}。1962年，潘承东证明了命题{1，5}。1966年，陈景润证明了命题{1，2}(证明全文发表于1973)，这是公认的筛分理论最杰出的应用成果。陈景润在其一些重要著作中提出的思想和方法对现代小筛分法的进步产生了重要影响。