一篇200字的论文
三阶魔方的转换概率
王,成都市玉林中学2065438年级12班
一.导言:
魔方,又称魔方。是匈牙利布达佩斯建筑学院的Erno吗?6?1是rubik教授在1974年发明的。魔方发明后不久就风靡全球,人们发现这个小立方体真的很神秘。当一个大立方体的一边平移旋转时,其相邻边的单一颜色被破坏,形成新的图案立方体,然后再改变,形成每边由不同颜色的小方块组成。据专家估算,三阶魔方的变化总数约为4.3?6?11019。
二阶和三阶魔方变换的限制条件
因为旋转魔方的时候,一次旋转会破一层,也就是21个色块,所以需要考虑很多限制。也就是魔方永远不会出现。
第一,魔方不能单独转动一个棱镜块。
假设我们为六个中心色块设定了自己喜欢的方向,我们设定了一个坐标系。这个坐标系的原点是魔方的体心。坐标有明确的正负方向。我们可以看到,魔方的每个边色块都有一条边,分别对应水平、前后、垂直x、Y、Z、Y、Z轴,每条边都有四条平行的边。我们用一个指向正方向的箭头标记所有四条边。现在,如果你有一个魔方,你可以这样做。我们现在设想空间中有这样一个坐标系和12个箭头。考虑任意曲面的旋转,(我这里不考虑三个中面的旋转,(因为,1,这移动了坐标系,2,中面的旋转可以等价于两边的旋转。),这个时候我们不考虑魔方和魔方的颜色,把它当做透明的。我们只考虑箭头。任何曲面每旋转90度,我们都会改变两个箭头的方向(从正到负)。我们只看结果,不考虑旋转的过程,也不区分箭头从何而来。把脸转90度是魔方的原子操作,只能同时改变两个箭头的方向。所以最后不能让其他块不变,只翻转1个箭头,也就是不可能只翻转一个棱镜块。
第二,不能单独翻转一个字符块。
首先,我们考虑四个数1234的排列。1234变成4123,是所有数字右移一位的变换。想想魔方。每次你把一个面转90度,四个角和四个边都被转化了。
1234变更为4123。我就简称为(1234),其实很好记,就是1到2,2到3,3到4,4到1。如果(1432)是1到。
(1234)由“交换两个数”的若干变换组成。答案(1234)=(12)(13)(14),(12)的意思是1到2,2到1。
具体来说,我们看到1234变化的过程如下:
6?1 (12) 2134
6?1 (13) 3124
6?1 (14) 4123
只是变换(1234)。所以我们知道(1234)是奇数次交换得到的。
任何变换都可以通过几次两两交换得到。因为对于2413这样的目标排列,我该怎么做呢?内在真理涉及群论的初步。这可能叫循环群,我不确定,因为我没看过书。1234全部用4排列!=24,有24个1234的变换。它们形成一个群体,一堆元素。
首先你要知道角色块的方向是怎么定义的。因为字符块会在八个不同的位置,但是它只有三个方向,我该怎么定义一个移动坐标,准确的标注这三个方向呢?首先让你的眼睛穿过一个字符块的顶点和整个魔方的中心,你会看到一个y,以你的眼睛为轴,这个字符块可以旋转,有三个位置。如下所示:
0 120 240
试着转动一边,看看色块在新位置的朝向。如果你把一个魔方的右边转90度,你会发现离你眼睛最近的那个字符块的方位转了120度。盯着这个色块,再转一圈,就转到底了。为了仍然呈现一个Y,我们可以在这一刻把魔方的底部向上翻,然后我们发现这个字符块又转回0,以此类推。关键是,如果观察任意一边和四个字符块的90度旋转,它们旋转的角度之和一定是360度的整数倍,正好是120+240+240+120。因为旋转一个曲面是最小的原子操作,无论我们经过多少步,我们所有的字符块的角度变化之和是360*n,所以我们不能只旋转一个色块120度或者240度,而其他色块不变,所以我们证明为什么不能单独旋转一个字符块。
第三,不能随便调换一对色块。
1.闭包:A和B是一个群中的元素,A * B也是。
2.还有元素E(实际上是类比乘法中的1)。a*e=e*a=a
3.每个元素A都有唯一的逆A-1,A * A-1 = A-1 * A = E。
4.约束定律(a*b)*c=a*(b*c)
6?1首先,1234是一个排列,对应的是一个变换,也就是不变。我用(1)来表示,符合第二个定义的就是元素E。
6?1是封闭的,这是显而易见的,因为只有24种排列和相应的变换,不可能用完。
6?有1个逆,就是每一步反过来再反过来,而且一定在这24个变换之中。
6?1结合律看似相当麻烦,其实很明显,因为(a*b)*c和a*(b*c)都是先表示A,再表示B,再表示c .所以它们组成一个群,
为什么?其实我也说不上来现在组个团是什么感觉。我只是说我可以利用群的一些性质。知道这种结构的一些特点。也可以用分析组的一些视角和思路来分析这个系统。首先,我们来看看这24个转变。
6?1 (1),偶数
6?1 (12)、(13)、(14)、(23)、(24)、(34),奇数。
6?1 (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234).
这是15,还剩9。如果不明白是什么意思,就看前面。我说的a (243)就是2比4,4比3,3比2的意思。他将1234的1左移,将234的三位数左移一位,成为1342。很明显,
6?1 (1234),(1432),奇数
6?1 (14) (23)、(13) (24)、(12) (34)偶数。
还剩四个。他们是
6?1 (13) (12) (24), (12) (14) (13), (14) (23) (65438)
我们把奇两两交换构成的变换称为奇变换,反之亦然,实际上是为了标记群元素的奇偶性。我们看到两个奇变换运算得到偶变换,而两个偶变换运算永远得不到奇变换。
这样的偶数变换实际上构成了一个子群。也就是说,他们的经营是封闭的。他们是
6?1 (1),偶数
6?1 (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234).
6?1 (14) (23)、(13) (24)、(12) (34)偶数。
这12个元素构成了一个子群。我好像觉得哪里不对,呵呵。但是前面写的都是对的。我以后可能会用到,回到为什么不能只换一对色块。
为什么?因为一个原子操作,把一个面旋转90度,做成四个角(1234)或者(1432)是三个互换的奇变换,四个边也是三个互换的奇变换,所以他的变换对所有色块的整体效果是偶变换。所以对于所有色块的排列,我们能达到的是偶数变换,而只切换一对色块就是奇数变换。不可能实现。因此,我们证明为什么不能只切换一对色块。
(至此,我们终于完成了魔方变化总数的完整证明,充分必要:)
1.计算魔方有多少种变化。
2.基于对上述局限性的证明,得出了计算三阶魔方变化总数的公式:
第四,总结。
三阶魔方变化总数的原因是这样的:六个中心块定向后,我们无法翻转魔方,它们只是形成一个坐标系。在这个坐标系中,8个字符块全部按8排列!而且每个字符块有三个方位,所以是8!* 38,12个棱镜块全部排列,每个有两个方位,就是12!*212,所以乘法是分子,分母上3*2*2的意思是保持其他色块不动,不允许改变一个字符块的方向,改变一个棱镜色块的方向,单独交换一对棱镜色块或一对字符块的位置。