数学论文的设想
工程量优化。
针对第一个问题，为了得到挖渠的土方量，本文将其分为三段进行比较。
Hermite插值和三次样条插值，最后对已知数据点进行分段三次Hermite插值拟合，得到关于渠道的曲线方程y f x。，运河曲线方程的积分为
渠道长度为14550 7650 21 dx yL，通过MATLAB得出渠道长度为m 5.7522。
因此，最终解为挖渠总土方量为:3 m135405LSV？。
针对第二个问题，在第一个问题的基础上，本文建立积分的上限函数模型:let 7650 a？,
1x满足1 2 1。
六
x
a
V
S y dt？找到i x后，1 ix？满足1 2 1
六
我
我
x
x
V
这将
将总土方量分成六份，得到7 .8736x 1？，2 .9862x 2？，10956 x3？，12116 x4？,
13353x 5？然后确定六分仪的坐标y和x。
针对第三个问题，运河沿线的公路上有三个变量，分别是k ji x，x，x，为了使
运输工作量最小，因此本文建立了无约束规划模型，并用MATLAB求解，得到最小运输量。
数量是4 81027.7 m？。两条公路施工时运河的位置坐标分别为7.5167，9296B和4.311683c。
关键词:埃尔米特插值MATLAB积分上限函数无约束规划
一.问题的重述
在某个区域挖了一条运河，就知道了运河经过的几个点。
第一个问题是解决渠道建设的总石量；
问题2:如果将渠道分为六段，每段土方量相同，分段点应取在哪里？
设置；
问题3:修建一条与运河平行的道路。河道开挖的土方将运至A(9500，4000)。
为了方便运输，计划在运河沿线的道路上选择两个点修建一条通往A的临时道路，以便
土方运输总工作量最小。
二、问题的分析
针对第一个问题，这个问题需要挖水渠的总土方量，主要目的是知道水渠的截面积。
目的是找出运河的长度。已知渠道通过的几个点的位置，为了得到渠道的长度，本文
认为可以通过插值拟合得到渠道曲线，通过曲线积分得到渠道长度。插值和拟合
方法有很多，样条插值会更平滑，但可能不会保持原来的形状，考虑到应该更好的保留。
渠道的形状，所以本文选择Hermite方法进行插值拟合。
对于第二个问题，运河要分成六等份，每一段的土方量都是一样的。这个问题是函数的逆问题。
因此，为了解决这个问题，在已知渠道曲线函数的情况下，本文可以考虑使用积分上限函数。
求解，从而确定x点，进而得到y点。
为了解决第三个问题，要修建道路运输土方，尽量减少运输的工作量。这个问题
为了规划问题，在第二个问题中，本文知道X与土方量V有关系，并且由于运输功
数量等于土方量和距离的乘积。因此，本文采用无约束规划模型来最小化工作量。
只是价值。
第三，模型假设
1.修建的两条临时公路都是直线。
2.沿着运河的道路函数曲线与运河的曲线函数大致相同。
四。xf渠道曲线方程的符号描述
五、土方量
s通道横截面积l通道长度
第九运河上的点的横坐标
伊利运河上该点的纵坐标。
IW土方运输工作量
1L临时公路2L临时公路
动词 （verb的缩写）模型的建立和求解
5.1问题1
5.1.1插值和拟合
从运河经过的已知点画一个散点图(图1)。
0.8 0.9 1.1.1.2 1.3 1.4 x 10 4
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
5500
6000
6500
7000
X/m
Y/m
运河散布图
图1。运河散布图
方法1。已知数据点通过Hermite方法进行插值。3设已知函数数xfy？在1 n？不同节点上的函数值ii xfy n 10 x，L，x，x？n，L，1，0i？和导数值i' i' x fy？，要求多项式xH最多2 n +1次，这样i i yxH？我是xH？n，1，0i埃尔米特插值多项式为:？？2 ' i i i i i i H x h x x a y y y？
其中，
2
n
ij 0j j i
j i x x xx h，？n ij 0j j i i x x 1 a .
使用MATLAB获得插值曲线(图2)。
0.8 0.9 1.1.1.2 1.3 1.4 x 10 4
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
5500
6000
6500
7000
埃尔米特插值曲线和原始数据点
X/m
Y/m
埃尔米特插值曲线原始数据点
图二。埃尔米特插值曲线和原始数据点
方法二。已知数据点的样条差分插值。三
定义样条函数:
数学上，具有一定光滑度的分段多项式称为样条函数。具体来说，给定区间A和b的划分。
0 1 1nn :a x x x x b
如果函数()sx满足:1。每个单元格之间，1，(0，1，1)辛？上()sx是k次多项式；
2.()sx在a和b上有1 k？阶连续导数。
那么()sx叫关于除法？的k-样条函数，其图形称为k-样条曲线。01，，，n x x x表示
是样条节点，1 2 1，，，n x x x？它叫做内节点，而0，n xx叫做边界点，这样整个样条函数
写成(，)p Sk？，称为k样条函数空间。
显然，折线是一条线性样条曲线。
如果() (，)p sx S k，那么()sx是关于分区的？的k次多项式样条函数。k次多项式
样条函数的一般形式是
1
01 ( ) ( ) !！我知道你在说什么？
其中(0，1，，)i ik和(1，2，1) jjn？是任意常数，并且
()，()，(1，2，1) 0，KJJJK JXXXXXNXX本文用3 k？的情况:它是一个三次样条函数。三次样条函数:对于划分0 1 1nn :a x x x x b在a，b上，则
1 2 3 3 32
3 0 1
1 ( ) ( ) ( ,3) 2!3!3!n j jp j aa s x x x x x x S？
在…之中
3 3( )，()，(1，2，，1) 0，jj j j x x x x x x j n xx
三次样条函数差:
因为3()(，3) ps x S包含3 n？一个待定系数，所以应该需要3 n？插值条件，已经
已知插值节点i x和对应的函数值()(0，1，2，)IIF X Y I N，这里是1 n？一个条件，
还需要两个边界条件。
常用的三次样条函数有三种边界条件:
(1) 3 0 3()，()n s a y s b y .由这个中间边界条件建立的样条插值函数称为()fx。
完全三次样条插值函数。
特别，0'0 n yy？，样条曲线在端点处处于水平状态。
If () fx？不知道，能不能求3() sx？和()fx？在端点处大致相等。此时此刻
0 1 23，，，x x x x作为节点做一个三次牛顿插值多项式()a Nx，用1 23，，，N N N N N X X X？左毅
一个三次牛顿插值多项式()b Nx，要求
( ) ( )，())ab s a N a s b N b
这个边界条件建立的三次样条称为()fx的拉格朗日三次样条插值函数。
(2) 3 0 3 3()，()s a y s b y .特殊的0 nn yy称为自然边界条件。
(3)3333(0)(0)(0)(0)SASB，(33 (0) (0) s a s b此处需要？)
这种情况称为周期条件。
用MATLAB进行三次样条插值，得到插值曲线(图3)。
0.8 0.9 1.1.1.2 1.3 1.4 x 10 4
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
5500
6000
6500
7000
X/m
Y/m
三次样条插值曲线和原始数据点
三次样条插值曲线原始数据点
图3。三次样条插值曲线和原始数据点
Hermite插值与三次样条插值的比较
五
：
SPLINE提供的函数s(x)的构造方法与PCHIP中的函数p(x)完全相同，只是
O x
y
凌晨0点？
1M
2M
1nM？
n BM？
图4
然而，X(j)处斜率的选择方法不同。
样条函数s(x)在X(j)中的二阶导数d 2s(x)也是连续的，由此得出如下。
结果:
(1)样条更光滑，即D 2s (x)连续。
(2)如果数据是平滑函数的值，则样条更精确。
(3)如果数据不平滑，PCHIP没有超调，波动也不大。
(4)建立PC HIP的难度较小。
(5)这两个函数的估计难度是一样的。
三次样条比Hermite插值光滑，样条的二阶导数是连续的，而Hermite插值是一阶的。
导数连续性。不连续的二阶导数意味着不连续的曲率。人的眼睛可以察觉图形
曲率的不连续性。另一方面，Hermite插值是保形的，而样条插值不一定是保形的。
通过比较Hermite插值和三次样条插值，在这个问题上没有明显的区别。变得更好。
为了保证图形的形状，减少误差，本文采用了Hermite插值。
5.1.2求解渠道长度
当边数无限增加时，圆的周长可以由圆的内接正多边形的周长的极限来确定。
类似的方法可以用来建立平面连续曲线的弧长，利用定积分计算弧长。
设AB为曲线弧的两个端点。在弧AB上取点:
0 1 21 1、、、、、、I N N A M M M M M M M B，并以此连接相邻点的多段线(图
4)。
当点数无限增加且每段为1ii MM时？当它们都收缩到一点时，如果这条折线的长度
1
1
n
二
我
嗯？极限存在，那么这个极限叫做曲线弧AB的弧长，这个曲线弧AB叫做
可以很长。
由于光滑曲线的弧长是可以计算的，所以可以用定积分来计算弧长。
让曲线弧通过参数方程:
()，()xt t yt？？？
给，哪里()，()tt在，
在连续导数上，和()()tt，不同时是零，现在。
计算曲线弧的长度。取参数t为整数变量，其变化区间为，
。对应于，
任何小间隔
，t t dt？小弧段的长度s？大约等于对应弦22的长度()()xy？，因为
()()()x t dt t dx t dt？？
()()()y t dt t dy t dt？？
所以，s？(弧长差)的近似值，即弧长元素为
2 2 2 2 2 2 2 2 2()()()()()()()()ds dx dy t dt t dt t dt
所以弧长是
22 ( ) ( ) s t t dt？
当曲线弧由直角坐标方程组成时
()()y f x a x b？
给定，其中()fx对ab有一阶连续导数，则曲线弧由参数方程定义。
()
()xx
a x b
y f x？
所以弧长是
21b a s y dx？？
通过对插值后得到的运河的曲线函数进行积分，得到运河的长度。14550 7650 21 dx yL用MATLAB求解得到m 5.7522？L
5.1.3求解土方量
已知运河的长度和横截面积。
然后:
2m 1822810？
3m135405LSV？
5.2问题2
设函数()fx在区间ab上连续，设x是ab上的一点。观察()fx在ax上的定积分在除法之间。
()
x
a f x dx？
首先，因为()fx在ax上仍然是连续的，定积分是存在的。这里，x的意思是
定积分的上限就是积分变量。因为定积分与积分变量的符号无关，它是
为了清楚起见，可以把积分变量换成其他符号，比如T，那么上面的定积分就可以
写入
()
x
一个f t dt？
若上限x在区间ab内任意变化，定积分对x的每个给定值都有对应的值，于是在ab上定义了一个函数，记为()x？：
()()()x a x f t dt a x b？
()x？它是上积分函数。
本文对第二个问题建立了积分上限函数模型:
21
六
x
a
V
S y dt？以起点a为积分下限，得到第一积分上限，即第一平分线。
平分线为积分下限，得到第二积分上限，即第二平分线，以此类推。改变产品
分上下限，确定五个等份，将渠道分成六等份，每一段土方量相同。
用MATLAB求解(见附录8.2)，平分线坐标为:4.5214，7.8736，2.4797，2.9862，6.419710956，2.3730，1265438+。
每段土方量为:3 m8.1253。
5.3问题3由问题2可知，土方量V与渠道曲线函数有关系。先建立xFV？模型。
运河沿线道路存在三个变量k ji x，x，x，待建临时道路需要保证运输工人。
工程量最小，因此，D点左侧开挖的土方运至B点，D点右侧开挖渠道。
土石方全部运至C处，最后土石方从B、C处运至A处(示意图见图4)。
y = f(x)
(xk)
(许继)D
(xi)
L2
L1
A
C
B
图4。渡槽内临时公路施工示意图
运输工作量等于土方量乘以运距，所以对于运河曲线上的运输工作量，本文
建立的模型是:
以i 0 x ~x段为例，假设该段运河长度为
不，不，不，不
，该段土方量为
SL
n V V，V i 0i0 i0？
,
然后:
)LnL(V)L2L(V)LL(VW i0 i0 i0
)n21(LVVLn i0？？
n2 1n
就餐券
什么时候？i 0 i 0 x x
2
x
x
2 i0 dx y 1 dxy 1S 2 1 LV 2 1 W，n
同理可以得到1kjkijw，w，w。
然后:
iji01kjk1 WWWWW
14550 14550 2 2 2 2 11111122 kk J k k xx x x x x x S y dx y y dx y y dx J ii x 2x x 7650 2x 7650 2d xy 1 dxy 65438
2 0k 2 0k 14550 x 22 0i 2 0i
x
7650
2 2y yxxdxy 1 syyxxdxy 1 SW
j
j
为了最小化运输工作量，即1 W和2 W之和，本文建立了无约束限界。
抽奖型号:kj2kji1x，x，xwx，x，xwmin？
即:
？？？？2 0i 2 0i x 7650 2 2x 2 2x 7650 2y yxxdxy 1 dxy 1 2 1 dxy 1 2 1Min j j j I I
沙奇霍科
？2 0k 2 0k 14550 x 2 214550 x 2 2 x 2y yxxdxy 1 dxy 1 2 1 dxy 1 2 1 jkk j
用MATLAB求解:(程序代码见附录8.3)
最小运输工作量为:4 81027.7 m？B和C的坐标分别为:7.5167，9296B和4.388811683C。
不及物动词该模式的优点和缺点
优势:
1.通过比较Hermite插值和三次样条插值，得到了渠长得分。
不要是7522.5m和7524.438+0 m，这个问题没有明显区别。
2.对于运输规划问题，精确反映最优解。
缺点:
1，对于插值函数的曲线积分，曲线的导数是近似的，存在一定误差。
2.规划问题的计算量很大。使用MATLAB算法的优势并不明显。