眼中的文字与文字中的智慧——多视角下的数学文化摘录

-从多个角度摘录数学文化-注1

大寨一中？高源街

序

学数学是“好好学+考”和“计算+逻辑”。所以目前中学数学教育尖子生的模式是基础扎实，知识面窄，没有很强的创造能力就能攻克难题，动手和应用数学解决实际问题的能力差。他们比较“争强好胜”但对事物缺乏“好奇心”，所以缺乏创新能力。

数学是人类文化的重要组成部分。数学课程应反映数学的历史、应用和发展趋势，以及数学家的思想体系、审美价值、创新精神和数学在人类文明发展中的作用，从而在学生中逐步形成正确的数学观。

数学不仅是一门科学，也是一种文化，即“数学文化”；数学不仅仅是一些知识，更是一种素质，即“数学素质”。数学文化是现代人文素质的重要组成部分。

齐教授说:“没有现代数学，就没有安全带文化；没有现代数学，文化注定要衰落。"

一门科学的历史是这门科学最珍贵的部分，因为科学只能给我们知识，而历史可以给我们智慧。

如果我们谈论数学史，我们和我们的学生都能感受到数学的美好和深刻，了解数学的过去、现在和未来，为数学的停滞而担忧，为数学的进步而鼓掌。

感受数学的跌宕起伏，也可以感受数学家平凡而伟大的人格魅力，体会数学家从事数学研究的喜怒哀乐，在数学道路上的磕磕绊绊，以及对数学执着追求的精神。

介绍

什么是数学？

问题是数学的核心。哈尔莫斯。

一个例子比十个定理更有效。牛顿

哲学与数学的统一:一个美丽的梦想。笛卡尔

数学家对自然着迷。没有迷恋，就没有数学。-诺尔斯

古往今来的数学大猜想！——华·

伽利略:数学是上帝用来书写宇宙的词。

爱因斯坦:数学是一门艺术，如果你和它交朋友，你就会明白你永远离不开它。

毕达哥拉斯说:“数字统治宇宙。”

科学理论(高斯):“数学，科学的女王；数论，数学女王。”

从数学的学科结构来看，数学是模型。

从数学的过程来说，数学就是推理和计算。

从数学的表现形式来看，数学是一种符号。

从数学对人的指导来说，数学就是方法论。

从数学的价值来说，数学是工具。

数学的特点

内容的抽象

推理的严密性和结论的清晰性

应用的广泛性

数学文化概述

狭义的“文化”仅指知识，指有文化的人说自己有知识；另一方面，广义的“文化”是人类物质财富和精神财富的积累。(9页)

数学不仅仅是一系列数字符号，它还包含着人文精神的内涵，体现了人类求真、勇敢、合作、奉献的精神。这些都是人文精神的升华，这是一种文化的体现。(9页)

数学文化的主要特征是:

思维(2)量化(3)发展(4)实用(5)教育(10页)

数学文化的内涵:

数学文化的理性精神

数学文化的人文精神

数学文化应用的体现

数学文化的相对稳定性和连续性

数学文化的反思、批判与完善

数学文化的世界？(第10-12页)

数学文化的价值；

数学是一种精确的思维工具。

数学是一种科学语言。

数学是推理的艺术。

数学是人类文化的重要组成部分(13-14页)

数学学科中的数学文化

2.1?由黄金分割产生的数学问题

1.黄金数字是“上帝赐予的数字”，是“美丽的数字”，也是“美丽的密码”。这个“美丽密码”里还有很多“秘密”有待揭晓。(20页)

2.黄金分割是转型，但千变万化，殊途同归。无论从哪个角度看，都精致而恰到好处；无论从哪个方面看，都有着深刻的内涵、隽永的意义和永恒的魅力。(27页)

3.黄金分割体现了科学与艺术的统一，感性与理性的统一，形象思维与逻辑思维的统一，是人类认识世界的杰作。黄金分割是上帝给的一个“美丽密码”。(27页)

2.2?神秘的无限世界

1.无限是一个永恒的谜，数学是一门无限的科学。(27页)

2.无穷既是实无穷，也是潜无穷。无限本身就是一个矛盾，既是一个需要无限逼近的过程，又是一个可以研究的实体。正如我国著名数学家许立志教授所说，“现实中的无限和潜力中的无限只是一个硬币的两面。”(34页)

希尔伯特说:“无限不仅是人类最伟大的朋友，也是人类心灵安宁的最大敌人。”(36页)

2.3?勾股定理赏析

1.勾股定理的证明是论证数学的开始。它是历史上第一个把形状和数字联系起来的定理，也就是第一个把几何和代数联系起来的定理，也是数学家认为探索外星文明和与外星人交流的最佳“语言”。(47页)

2.中国的数学文化传统体现了重视应用、数形结合、以计算为主的务实精神。(47页)

2.4?-一首没完没了的歌。

1.德国数学家康托尔曾指出:“圆周率的精度可以作为衡量一个国家数学水平的标志。”(48页)

2.计算价值。除了上面提到的几何法、解析法和计算机，还有一种不需要复杂计算的奇特方法——实验法。(56页)

3.圆周率如迷宫，让人流连忘返；皮就像一首朦胧的诗，像一曲悠扬的地域乐章，又像一座云雾中的山峰，让人遐想、陶醉、奋进、攀登无止境！(第61页)

2.5?中国剩余定理

1.《舒舒九章》中说:“数学是微妙的，不容易窥见其一斑。我穷的时候雄心勃勃，觉得自己很梦幻。还好我了解到我不会隐瞒。”(65页)

2.6?七桥问题和一笔

1.所谓“图论”，就是用直观的图形和数学方法研究组合关系的一门新学科。(69页)

2.7几何中的三大作图问题

1.厚重的石墙和坚固的牢门禁锢了阿拉克萨戈拉行动的自由，却禁锢不了他自由的思想。(73页)

2.8?两个超越无理数的和

1.在这个公式中，“五朵金花”中，0和1来自算术，I来自代数，E来自分析。它们同时奇妙地盛开着。两个最著名的超越数E齐头并进，实数和虚数溶于一炉。称之为“数学中最美的公式”是当之无愧的。(86页)

2.9?莫比乌斯带和克莱因瓶

1.莫比乌斯带是将长方形纸带的一端扭曲，然后先连接起来制成的。(87页)

2.莫比乌斯带，多么简单，却又极其深刻，它在工业和科技领域有着如此多奇妙的应用，同时也给科学家、哲学家、艺术家和作家带来了如此多新奇的想象。所以我们说，莫比乌斯带是科学的艺术形象，也是艺术形象的科学。(94页)

第三章？数学史书籍中的数学文化

3.1?欧几里得和《几何原本》

1.毕达哥拉斯学派师从泰勒斯，主张用数学解释万物，提出“万物皆有数”。从具体事物中抽象出数学，建立自己的理论体系。(95页)

2.《几何原本》内容介绍:当时的数学知识是通过公理方法系统化的。理论概要全书共分13册，包括5个公设、5个公理、119个定义、465个命题，构成了历史上第一个数学公理体系。每卷的内容大致可以分为以下几类。

第一卷？几何基础？

第二卷？几何代数

第三卷？圆的？

第四卷？正多边形

第五卷？比例理论？

第六卷？相似的图形？

八九卷？初等数论？

第10卷？不常见的测量？

第11、12和13卷？立体几何(第97-98页)

3.《几何原本》是现代科学出现的一个主要因素。伟大科学成就的取得，一方面需要经验与实验相结合，另一方面需要细致的分析和演绎推理。(98页)

爱因斯坦在赞美《几何原本》时说:“世界第一次见证了一个逻辑系统的奇迹。这个逻辑系统一步一步精确地推进，它的每一个命题都是不容置疑的——我说的是欧几里得猜想推理的这一惊人胜利，它使人类理性获得了未来成就所必需的信心。(99页)

《几何原本》有以下缺陷:

这个定义是不精确和严格的。

公理系统是不完整的

整本书体系不完整。

这本书的结构不合理。

有些校样是局部的(99-100页)

《几何原本》在中国的翻译和传播不仅仅是知识的传播，更是一种科学方法的传播。(第103页)

徐光启在数学方面的成就；

本文论述了中国数学在明代落后的原因。

讨论了数学应用的普遍性。即(1)天文历；(二)水利工程；(3)气质；(4)武器和军事工程的艺术；(5)会计和财务管理；(六)各种建设项目；(7)机械制造；(8)领域测量；(9)医学；(10)制造时钟泄漏等定时器。

几何元素的翻译。(第103页)

梁启超称《几何原本》为“精金美玉的不朽之作”。(第104页)

为了进一步宣传《几何原本》，徐光启写了《几何原本杂谈》。开头他说:“好好学习，就有理由去做一件事。这本书恰如其分，可以使读书人摆脱傲慢，实践关怀；学习者从自己的规律中学习，做出自己聪明的思考。”他很崇拜这本书，“认为”这本书有四点:不用怀疑(怀疑)、不用推测(猜测)、不用尝试(实验)、不用改变(改变)；有四种不可能:无法摆脱(离开或失踪)、无法反驳(反驳)、无法减少(减少)、无法改变前后顺序。”(第104页)

欧几里德主张学习必须循序渐进，勤奋努力。我们不赞成机会主义和急功近利，也反对狭隘的实用观。(第106页)

几何元素的结构特征；

？首先是一个封闭的演绎系统。

？二是内容抽象。

？第三种是上面提到的公理化方法。(第107页)

3.2?刘徽与《九章算术》

1.九章算术的内容非常丰富。全书采用习题集的形式，共有246道与生产生活实践相关的应用题，根据内容的不同分为九章，这就是《九章算术》书名的由来。这些问题每一个都有提问(题目)、回答(答案)和技巧(解题步骤和方法)。有的是一题一技，有的是多题一技，有的是多技。“舒”其实是一种可用的算法，以计算为工具，是一种计算布局的算法。(第108页)

2.“九章”的名称和主要内容

？第一章？田方

？第二章？玉米

？第三章？衰退

？第四章？韶光

？第五章？商业工人

？第六章？平均损失

？第七章？过剩或不足

？第八章？等式

？第九章？毕达哥拉斯学派(108页)

3.刘徽《割包皮》:“割得细，损得少。割之，割之，使之不能割，则与圆合，无所失。”(第115页)

4.《九章算术》的数学思想和文化意义；

(1)开放式感应系统

(2)算法泛化

？(3)建模方法

？(4)中庸思想的体现

？(5)与儒家经典的关联(121-122页)

3.3?周易与二进制

1.易经包括易经和易经。(第123页)

2.易经最大的特点是改变了易经的人文文化:从迷信到理性，从巫术到哲学。(第133页)

3.易经向我们展示了一幅全新的宇宙全貌，在“父”、“天”、“母”的指挥下，宇宙生生不息，生化不息，充满无限生机和活力。(第133-134页)

4.《周易》的文化价值；

？(1)易学长河

？(2)宇宙图景

？(3)数学的起源

？(4)伟大的思想

？(5)文化种子(133-134页)

第四章？数学史料中的数学文化

4.1?悖论与三次数学危机

1.通常的反叛形式是:“如果你承认一个命题是正确的，你就会推断它是错误的；如果你认为它不正确，你就会断定它是正确的。”悖论往往直接导致“数学危机”。(第135页)

2.几个著名的悖论:(1)骗子悖论；(2)上帝全能的悖论；(3)理发师悖论；(第136页)

3.赫贝索斯悖论与第一次危机：贝克勒悖论和第二次数学危机；

罗素悖论和第三次数学危机。(137-141页)

4.2?几何与代数之间的桥梁——解析几何

1.笛卡尔非常喜欢这座数学殿堂，这里的每一个证明都像一颗璀璨的珍珠让人爱不释手。然而，笛卡尔发现人们只能捡起这些珠子，却很难将这些独特的珠子穿起来。笛卡尔主张代数和几何中所有美好的事物都应该相辅相成，于是他着手寻找一种新的方法将代数和几何联系起来。(第146页)

4.3?非欧几里得几何

1.爱因斯坦提出相对论，应用黎曼几何作为数学工具，从而统一了数学和物理领域的两次革命。根据相对论，真实空间不是均匀分布的，而是弯曲的。(第158-259页)

2.非欧几何的影响是巨大的，是数学史上的一场革命。它使数学家们从根本上改变了对数学本质的认识以及对数学和物质世界的理解，使人们认识到数学空间和物理空间有着本质的区别。它打破了数学真理是绝对真理的信念，从而使数学失去了确定性和真理性，但数学却从中获得了自由，数学家可以探索和构建任何可能的公理系统，只要这种研究是有意义的。(160页)

4.4?人类思维的结晶——微积分

1.牛顿也对重返校园感到非常兴奋。他写了一首题为《三冠》的诗，表达了他愿意为科学献身而受苦的心情:

哦，世俗的王冠，我鄙视他，如同我脚下的尘土，

它是沉重的，而最好的只是一种空虚；

但现在我很高兴欢迎荆棘王冠，

虽然疼，但味道以甜为主；

我看见荣耀的皇冠在我面前，

它充满了幸福和永恒。(第166页)

莱布尼茨这样评价牛顿:“在从世界之初到牛顿生活的时代的所有数学中，牛顿的工作超过了一半。”英国著名诗人蒲柏这样描述这位伟大的科学家:

自然和自然法则，

沉浸在混乱中，

上帝说，牛顿出生了，

一切都变得清晰。(第166页)

诗人华兹华斯在牛顿雕像前写下这首诗:

雕像矗立的地方。

那是牛顿，一脸严肃和沉默。

大理石总是标记他的心。

独自航行在思想的奇妙海洋中(167页)

牛顿本人很谦虚。他说:“我不知道这个世界把我当成了谁，但对我自己来说，就像一个在海边玩耍的孩子。有时候我很高兴能找到一块相对光滑的鹅卵石或者特别漂亮的贝壳，眼前是未被发现的真理之海。”(第167页)

人们怀着崇敬之情，在他的墓碑上刻下了这样的话:“他首先以近乎神一般的思维能力，解释了行星的运动和图像，彗星的轨道和大海的潮汐。让普通人幸福，因为他们中间出现了一个杰出的人！”(第167页)

微积分的文化意义；

数学本身的作用

其他学科和工程技术的作用

对人类物质文明的影响

对人类文化的影响(174-175页)

数学名题中的数学文化

视界:费马大定理

在数学史上，费马被誉为“业余数学家之王”。(第176页)

费马创造了数学史上最深奥的奥秘！(第177页)

我从来没有见过这么精彩的讲座，充满了精彩和闻所未闻的新思想，以及戏剧性的伏笔，充满了悬念，直到最后达到高潮。当大家终于意识到自己离证明费马大定理只有一步之遥时，空气中充满了紧张。(181页)

怀尔斯在谈到对费马大定理的好感时说，“这是我童年的浪漫，没有什么能取代它.....如果你能在成年后解决对你来说非常重要的事情，那么没有什么能比这更有意义了。”(第183页)

怀尔斯在完成费马大定理的证明后说:“...那段特殊而漫长的探索已经结束，我的内心回归平静。”(第183页)

“费马大定理就像一颗耀眼的宝石。它藏在深山峡谷的草丛里。偶然被人看到了。因为它的美丽，吸引了很多人去得到它，很多人甚至跌入了深渊。但是在征服它的途中，人们发现了丰富的矿藏。这个矿藏不是阿拉丁的宝库，里面的东西不一定都是璀璨的宝石，但却能带来一个新的工业板块。没有这个矿藏，这个宝石可以是无价之宝，但是有了这个矿藏，它和其他矿藏一起，成为了人类文明的一部分。”(第185页)

哥德巴赫猜想

哥德巴赫猜想是“数学皇冠上的明珠”。(第185页)

陈景润在崎岖的数学山路上跋涉，艰难地保持着步伐。在抽象思维的高原上，他登上陡峭的悬崖，下降，再上升！吃霜喝雪，上一步就是一步！他气喘吁吁，大汗淋漓，常常觉得自己支撑不下去了，但还是爬了上去。使用四肢和手指和爪子真的很费力！多少次上上下下，连铁鞋都已经磨破了。(190页)

作家徐迟，用诗意的语言，赞叹论文的一页页，数学的醉人之美！“多么感人的一页又一页！这些是人类思想的花朵。这就是空谷中的兰花，寒夜中的杜鹃，老林中的人参，冰山上的雪莲，山顶上的灵芝，抽象思维的牡丹。.....(192页)

5.3?四色猜想

1.英国数学家西华德老当益壮、孜孜不倦、顽强攻关的精神值得学习。(第196页)

2.时至今日，仍有许多数学家甚至业余数学家不满足于计算机所取得的成就，都在寻找四色问题的一个逻辑证明。(第199页)

5.4?希尔伯特的23个数学问题及其影响

1.希尔伯特在演讲中指出:“数学问题的宝藏是无穷无尽的。一个问题一旦解决，无数新的问题就会取而代之。”他还指出:“数学真正进步的每一步都与更强大的工具和更简单的方法的发现密切相关，这将有助于理解现有的理论，并抛开旧的和复杂的东西。..... "(204页)

5.5?21世纪的七个数学问题及其反响

1.悬赏的七大难题就像数学领域的“珠穆朗玛峰”。在珠穆朗玛峰的政府中，虽然最终登顶的只有少数人，但成功登顶者留下的生存装备和技能，将让无数后来者受益。。德夫林认为，这就是提出悬赏七大难题的意义所在。(205页)

2.我们坚信这些奖励问题的解决将类似于开启一个我们从未想象过的数学新世界。(209页)