数学中的哲学观初探

文摘:从数学运算中的对立统一、不同数学知识之间的相互联系、数学理论发展过程中的量变到质变、数学中的否定之否定规律等方面论述了数学是充满辩证法的。

[关键词]数学辩证法，对立统一，矛盾相互联系

世界是客观的物质世界，遵循着运动、变化、发展的规律。唯物辩证法的意思是，世界是客观的，物质世界是普遍的、永恒的。数学充满了辩证法，古今中外的数学家都把自然辩证法的思想作为研究数学的指导思想，从而取得了一个又一个成果。根据辩证唯物主义研究数学是一项有意义的工作。

第一，数学运算中的对立统一

在数学上，加减乘除，乘除，乘除，指数和对数运算，三角和反三角运算，微分和积分运算等。，都是互逆运算。互逆运算是对立的两面，是现实世界正负矛盾在数学中的具体反映。它们相互依存，不可分割。在一定条件下互相转化。数学运算正负性的存在和统一是解决数学问题的有力杠杆，所以对于给定的运算是否存在逆运算以及它是如何形成的，一直是数学研究的中心课题。

数学运算有高低之分。一般来说，我们把加法和减法、乘法和除法、乘法和开方分别称为一级、二级和三级运算。上级操作和下级操作之间存在一定的关系，可以相互转化。比如乘法是加数相同的加法，幂是因子相同的乘法。多元函数的求导归结为一元函数的求导，多元函数的积分归结为函数的微分，一元函数的微分和积分通过牛顿-莱布尼兹公式联系起来。

第二，数学充满了矛盾。

常数和变量是数学中两个非常重要的概念。常数是反映事物相对静止状态的量，变量是反映事物运动变化状态的量。他们是不同的。但它们是相对的、依存的，在一定条件下可以相互转化，所以是统一的。

现实世界中的有限和无限反映在数学上，成为量的有限和无限。在数学中，人们往往通过有限来认识无限。一方面，无限可以作为有限的和存在，也可以作为所有有限的对立面存在；另一方面，它可以用来描述量的变化过程。有限和无限有质的区别。例如，在一个有限集和它的任何真子集之间没有一一对应的关系。但在无限浓度下，情况并不完全如此。例如，自然数集可以与其真子集建立一一对应关系。有限数集合一定有最大数和最小数，但无限数集合不一定是这样。又如，数的有限和满足交换律和结合律，但这些规律在无穷和公式中不能任意应用，否则会导致谬误的结果。

直和弯是两个不同的形象。从几何角度看，前者曲率为零，后者曲率非零。从代数上讲，前者是线性方程，后者是非线性方程，所以直和弯的区别极其明显。恩格斯说:“几何学是从以下发展开始的。直线和曲线是绝对对立的。直线根本不能用曲线来表示，曲线也不能用直线来表示。两者都是不可通约的，但是圆的计算只有用直线表示才有可能。在曲线有渐近线的情况下，直线完全变成曲线，曲线完全变成直线。平行的概念也趋于消失。这两条线不是平行的，它们是不断变化的。这就是在一定条件下，直与弯可以相互转化的辩证思想。

第三，数学理论发展过程中的量变到质变

量变质变定律指出量变和质变是事物运动变化的两个最基本的状态，事物的发展变化表现为量变到质变的反复过程，然后质变引起新的量变。数学理论体现了量变和质变的规律。一方面，数学中每个概念的存在都有特定的数量边界。如果量变超过了这个界限，就会发生质变，形成另一个概念。这个新概念有自己独特的新量变。例如，正多边形的边数范围是“大于或等于3的有限数”。如果边数变化超过上述范围，就不再是正多边形，而是线段或圆。(边数小于3时，为线段；当边数超过有限数的范围时，即趋于无穷大时是圆。)线段和圆都有自己新的量变。另一方面，数学理论的形成过程是从量变到质变，从近似到精确。例如，为了求弯曲梯形的面积，将弯曲梯形分成几个小的弯曲梯形。如果划分足够密集，这些弯曲的小梯形可以近似看作小矩形。然后通过求矩形面积得到每个小弯曲梯形的近似面积，总和就是原弯曲梯形的近似面积。因为求的只是一个近似值，上面的过程是一个量变的过程，没有质的飞跃。如果除法是无限加密，即每个小弯曲梯形的最大宽度趋于零，就得到原弯曲梯形的精确面积，这是定积分理论的基本思想。

第四，数学理论的发展体现了否定之否定的规律。

否定之否定规律揭示了事物发展自身的完整过程是:经历两个否定和三个阶段，即从肯定到否定自己，再从否定到新的肯定——否定之否定。每一种数学理论的发展都符合否定之否定的规律。理论刚形成的时候，是肯定的；随着实践的需要和研究的深入，这一理论的不完善和不准确之处逐渐被暴露和否定；然后数学家们开始研究如何让理论更加完善和精确，最后得出新的结论和新的肯定。另外，数学运算的结果也体现了否定之否定的规律。例如，一个正数被两次求反后仍然是正数。在命题逻辑中，一个命题的两个否定仍然是原命题。

总之，数学处处蕴含着哲学思想，数学家在哲学的沧桑中不断成熟，哲学观在数学成果的推动下不断完善。

参考资料:

[1]张石造。中学数学教育学。江苏教育出版社，1991。

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