你能告诉我一些关于芬恩几何的起源和发展吗？

1的历史演变

1854年，黎曼做了一个著名的演讲。Berwald连接满足无扭转条件，但与测量不兼容。Berwald的贡献还在于:(1)lands Berg曲率的特征是Berwald联络。定义了Landsberg空间[3]。(2)一类重要的Fernsler空间(1925) (1938，V.V.Wagner将这类空间命名为Berwald空间)。黎曼空间和局部Minkowski空间是特殊的Berwald空间。在1981年里，Szabó证明了除了黎曼空间和闵可夫斯基空间之外，还有恰好54种不可约的全局对称的非黎曼Berwald空间。所有其他的单连通完备的Berwald空间都可以整体分解成上述56个空间的笛卡尔积[4]。(3)研究和发展了二维费恩斯勒空间理论(1927，1941年)。(4)在他后面发表的论文中(1947)。

1933年，法国著名数学家埃利·卡坦(1869-1951)发表了他的第一篇关于芬斯勒几何的论文，其主题是关于芬斯勒度量的* * *形状变换的一些注记，同时预言了他的确定芬斯勒空间联系的公理系统。36666 . 4666666666666Cartan引入了线元空间(即射影切丛PTM)的概念，并将他的欧几里得联系理论推广到了Fernsler空间。Cartan连接不满足柔性条件。然而，它与费恩斯勒度量兼容。Cartan联络和Berwald联络及其对应的曲率张量对后来Finsler几何的研究产生了重要影响，促进了Finsler几何在物理、生物(态)等领域的应用研究。2008+0941年，G.Randers从广义相对论的研究中推导出f (x，y) =等公式。β(x，y)=bi(x)yi是1形式，代表电磁场。Randers度规在电子显微学和统一场论领域有重要的应用，在Finsler几何的研究中也有非常重要的作用。

PTM上的任意Finsler流形式(m，f)都有一个积分微分形式ω:=Fyidxi，称为Hilbert形式。(m，f)上曲线的长度正好由ω的积分给出。1943年，数学家陈省身教授从希尔伯特形式的外微分出发，研究了费因斯勒空间中的欧几里得联系。构造了一种我们现在称之为陈氏联系的重要联系[6]。陈氏联系满足不变条件，与度规几乎相容，这也使其在芬斯勒几何研究中具有独特的优势。从65438到0948，陈省身教授解决了Finsler流的局部等价问题:我们如何确定两个已知的Finsler度量结构只相隔一个坐标变换？这个问题的解决又一次涉及到了Fernsler空间中的欧氏连接及其曲率[7]。利用Chern联络，黎曼几何中的许多重要定理被推广到了Finsler空间，Finsler流的许多非黎曼几何性质也从其结构方程中得到了(例如见[8])。

在20世纪50年代和60年代初，有两位数学家值得一提。一个是赫伯特·布斯曼(Herbert Busemann)，他研究和讨论了芬斯勒空间的体积形式，为人们研究芬斯勒空间的体积比较定理和探索芬斯勒流形式的整体性质奠定了基础。他还强调了研究闵可夫斯基的重要性，这扩大了人们对费恩斯勒空间的理解。另一位是南非数学家汉诺·伦德。他是这一时期芬斯勒几何领域的代表人物。H.Rund的作品[9]激励了许多年轻的数学家开始研究finsler几何。在此期间，出现了两个重要的芬斯勒几何研究团体:以伯瓦尔德的学生沃尔高为代表的匈牙利研究团体和以冈田克也和松本为代表的日本研究团体。他们的研究工作产生了后来芬斯勒几何的发展。

我们在回顾Finsler几何发展的时候，也要注意到Finsler几何在1918诞生的近70年里，并没有像Riemann几何那样繁荣和普及，很多重要的内容并没有得到重视。一个主要原因是，一个简单的公式，随着计算的深入，往往会变得非常复杂。客观上制约了Finsler几何的发展。另一个主要原因是，当时的许多几何学家只把芬斯勒空间看作是黎曼空间的推广，致力于把黎曼几何的结果推广到芬斯勒几何，而对芬斯勒几何中的非黎曼几何量(即在黎曼流形上为零的量)认识不够。忽略了对芬斯勒几何不同于黎曼几何的性质和结构的研究，幸运的是，这种情况从90年代初开始有了根本的改变。首先，我们应该感谢数学大师陈省身先生的大力倡导和鼓励。陈先生、美籍华裔数学家沈和鲍等人以其对Finsler几何的深刻理解和洞见，在此期间发表了一系列重要成果(见[8，10])，使Finsler几何进入了一个真正繁荣的时期。同时，我们处在一个科技时代，利用计算机进行符号计算和大规模计算已经成为现实，这极大地促进了芬斯勒几何的研究。例如，人们构造了大量具有重要曲率性质的Fernsler度量，为Fernsler度量的深入研究提供了重要的启示和支持。Finsler的几何发展的很快很快。芬斯勒几何中的各种曲率(黎曼和非黎曼几何量)得到了广泛的关注和研究，对芬斯勒空间结构的影响也越来越了解(见[11])。同时，芬斯勒的几何理论和方法在数学和其他许多自然科学中的应用价值也日益突出(。

2 Finsler几何的一些重要进展

芬斯勒几何中的旗曲率是黎曼几何中截面曲率的自然延伸。给定流形M上的一个Fernsler度量f，旗曲率是P中切平面P和方向y的函数K=K(P，y)，如果旗曲率只是切丛TM\{0}上的标量函数K=K(x，y)，我们说f有标量旗曲率。特别地，如果K=常数，我们说f具有常数旗曲率。Finsler几何中的一个重要问题是研究和刻画具有标量(常数)旗曲率的Finsler度量，这也是Finsler几何学家非常关心的一个热点问题。Finsler几何中与此相关的另一个重要问题是研究和刻画射影平坦的Finsler度量。这是正则情况下的第四个希尔伯特问题。一个重要的基本事实是，射影平坦的Fernsler度量必定具有标量旗曲率。在黎曼几何中，贝尔特拉米证明了黎曼度量是投影平坦的当且仅当它具有常曲率。然而，我们可以找到具有标量(常数)旗曲率的无穷费恩斯勒度量。它们是非投影平面的。已经发现了许多具有标量旗曲率的Fernsler度量，它们的旗曲率不是常数。这说明用标量(常数)旗曲率刻画和分类Fernsler度量的工作远比黎曼几何复杂，其内容也比黎曼几何丰富得多。由于计算的相对复杂性，研究Finsler几何中的特殊情况和例子是非常重要的。Finsler几何学家首先对Randers度量做了大量深入的研究。2003年，美籍华裔数学家沈首先用平投影和常数旗曲率完成了Randers度量的分类。然后，他用泰勒展开和代数方程描述了具有平坦射影和常旗曲率的Fernsler度量的局部度量结构。在此基础上，沈和D .鲍等人通过黎曼流形上的导航完成了常旗曲率的Randers度量的分类(见[11])。日本数学家M.Matsumoto等人也对具有常数旗曲率的Randers度量的分类做了大量工作(见[13])。人们研究了一种Fernsler度规-(α，β)-度规，它比Randers度规更普遍，在生物学、物理学等领域有着重要的背景。(α，β)-度量是一种非常丰富的可计算的Finsler度量，在Finsler几何中起着非常重要的作用。近年来，人们可以更好地研究Finsler几何中的各种曲率。这部分是由于对(α，β)-度规的研究。目前，具有常旗曲率的投影平坦(α，β)-度量的一些重要而特殊的局部结构已被完全确定，这为确定一般具有常旗曲率的投影平坦Fernsler度量的局部结构提供了有力的支持，丰富了该领域的研究内容。

Finsler几何中有几个重要的几何量(如(平均)Cartan张量、S曲率、(平均)Landsberg曲率、(平均)Berwald曲率等。)，在黎曼空间中等于零，所以称为非黎曼几何量。我们说黎曼几何量(如旗曲率、里奇曲率等。)描述空间的形状。非黎曼几何量描述了空间的“颜色”。现有的研究表明，Fernsler度量的旗曲率与非黎曼几何量密切相关。因此，在研究具有标量(常)曲率的Fernsler度量的结构和性质时，人们自然要考虑度量所满足的一些非黎曼曲率(几何量)性质。中国数学家在该领域取得了一系列重要结果:刻画了标量旗曲率，并且是各向同性的。更一般地，利用策梅洛导航理论完成了具有标量旗曲率和迷向S曲率的Randers度量的分类。进而，完成了具有局部平坦投影和迷向S曲率的Fernsler度量的分类。人们也对具有其他非黎曼曲率性质(如相对各向同性的(平均)Landsberg曲率)的Fernsler度量做了大量的研究，得到了一系列有意义的结果。这方面的工作可以参考【11，14，15】。该方向的研究方兴未艾，对深入研究具有标量(常数)旗曲率的Fernsler度量的结构和性质具有重要意义，并将对揭示这类度量的奥秘产生深远影响。

Finsler在刻画Fernsler度量的局部结构方面的成就，为研究Fernsler度量的整体性质奠定了重要的基础，为Fernsler度量的整体分析提供了大量的例子。近十年来，Finsler的几何学家对Fernsler度量的整体性质做了大量的研究，得到了一系列重要的结果(见[8，16，17])。比如关于常旗曲率的Fernsler空间的整体结构，伊朗裔法国数学家AkbarZadeh证明了在紧致流形上，任何常旗曲率为负的Fernsler度量必是黎曼度量，任何旗曲率为0的Fernsler度量必是局部Minkowski度量。进一步地，莫小欢和沈证明了在维数大于2的紧Finsler流上，如果Finsler度量具有标量旗曲率，且其旗曲率为负，则Finsler度量必是Randers度量[18](这也说明了研究Randers度量的重要性)。另一方面，作为研究芬斯勒度量整体性质的重要基础，人们对芬斯勒几何中的一些重要比较定理进行了深入的研究。我们知道，在黎曼几何中，BishopGromov体积比较定理在黎曼流形的整体微分几何中起着非常重要的作用。1997年，沈引入了S-曲率(即平均协变)，建立了Fernsler度量上的体积比较定理，将黎曼几何中的BishopGromov体积比较定理推广到Finsler流。得到了关于Finsler流型的拟紧性和有限性的一些定理。他进一步研究了S曲率为0的完全Finsler流型的轭半径的重要性质。另一方面，与芬斯勒测度的局部性质相比，人们对芬斯勒测度整体性质的研究还远远不够，对芬斯勒测度整体性质的认识还不够丰富。可以肯定的是，芬斯勒。

芬斯勒子流形几何是芬斯勒几何的重要组成部分，是芬斯勒几何学家长期关注的问题之一。人们一直在努力探索Finsler子流形的局部和全局结果，从而促进人们更好地理解Finsler流的结构和性质，并取得了一些重要的结果。例如，沈在1998中引入了Fernsler子流形的平均曲率和法曲率的概念。得到了Minkowski空间中子流形的一些整体结果，并以N维欧氏空间为基流形构造了一个Finsler度量，使得相应的Finsler流不可能等距嵌入任何Minkowski空间。同时，人们对闵可夫斯基空间中子流形的一些其他重要问题也开展了卓有成效的研究工作。但是，从整体上看，对Fernsler子流形几何的研究与对黎曼子流形几何的研究并不同步，许多重要问题并没有得到应有的重视。

近年来，我国数学家在研究Finsler流的调和映射方面也取得了一些重要进展。同时，来自Finsler几何的全局(通常是非线性)分析问题也在挑战从事几何分析的数学家。

3展望

由于Finsler几何中相对复杂的计算，用标量旗曲率刻画Fernsler度量的工作还远未完成，很多标量旗曲率的Fernsler度量还没有被分类。即使对于旗曲率不变的Fernsler度量，人们也远远没有完成对它的分类。因此，研究和刻画具有标量(常数)旗曲率的Finsler度量的性质和结构仍然是Finsler几何发展中的一个关键点。按照目前Finsler几何的发展趋势，可以预见，在不久的将来，人们将会构造出更多满足一定曲率条件的Finsler度量的例子，完成一些具有重要应用背景和特殊曲率性质的(α，β)-度量的分类。在此基础上，人们将逐步完成具有标量旗曲率的Fernsler度量的分类和一些特殊的曲率性质，具有标量旗曲率的Fernsler度量的奥秘也将逐步揭开。

芬斯勒度量的全局几何和拓扑性质将是芬斯勒几何的又一研究热点。该方向的研究包括:进一步揭示非黎曼几何量对Fernsler度量的整体结构和旗曲率的影响，深入研究具有标量旗曲率的Fernsler度量的整体结构，对Fernsler度量进行整体分析并研究Fernsler度量的刚性，探索Ricci曲率与Finsler流拓扑的关系。特别是研究和揭示爱因斯坦度规空间的拓扑结构。目前已知的Fernsler度量的局部性质和大量有价值的例子将为该领域的研究提供有力的支持。我们可以期待这一领域的一系列重要进展。

Finsler子流形几何对丰富Finsler的几何理论具有重要价值。这方面的研究内容可取。如黎曼流形的切丛和单位切球丛的几何，黎曼流形上的极小或调和单位向量场等，都得到了广泛的研究和讨论，至今仍是前沿研究的热点之一。然而，在Finsler的几何情形中，相应的内容没有得到足够的重视，相关的结果也很少。因此，今后Finsler几何学家将深入研究Finsler流型的切丛和单切球丛的几何，Finsler流型上的极小或调和单位向量场，讨论极小子流形与调和映射的关系及其几何变分特征，讨论调和映射在一定曲率条件下的稳定性。这些内容是非常重要和有趣的话题。

当然，要对芬斯勒几何的未来做出准确而全面的预测是非常困难的。在这里，我们不妨借用陈省身先生的一个观点来结束这篇文章:“整个黎曼几何在二十世纪下半叶有了很大的发展。我相信，在二十一世纪，微分几何的主要部分应该是黎曼-芬斯勒几何。”

参考

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