费马在数学上有多大贡献？

◆对解析几何的贡献

费马独立于勒内·笛卡尔发现了解析几何的基本原理。

1629前，费马开始重写《平面轨迹》一书，该书已被公元前三世纪古希腊几何学家阿波罗尼乌斯遗失。他用代数方法补充了阿波罗尼斯轨迹的一些丢失的证明，总结和整理了古希腊几何，特别是阿波罗尼斯的圆锥曲线理论，对曲线进行了概括性的研究。1630年，他用拉丁文写了一篇8页的论文《平面与立体轨迹导论》。

费马在1636年开始与当时伟大的数学家梅森和罗伯瓦尔通信，并谈了一点自己的数学工作。但是《平面与立体轨迹导论》的出版是在14年前费马去世之后，所以在1679年之前，很少有人知道费马的工作，但是现在看来，费马的工作是开创性的。

费马的发现是在《平面和立体轨迹导论》中揭示的。他指出:“一个由两个未知数确定的方程对应一个轨迹，可以描述一条直线或曲线。”费马的发现比勒内·笛卡尔发现解析几何的基本原理早七年。费马还讨论了一般直线和圆、双曲线、椭圆和抛物线的方程。

笛卡尔从轨迹中寻找它的方程，而费马从方程中研究轨迹，这是解析几何基本原理的两个相反的方面。

在1643的一封信中，费马也谈到了他的解析几何思想。他讲过柱面、椭圆抛物面、双曲面、椭球面，指出一个包含三个未知数的方程代表一个曲面，并进一步研究。

◆对微积分的贡献

16和17世纪，微积分是继解析几何之后最闪亮的明珠。众所周知，牛顿和莱布尼茨是微积分的创始人，在他们之前至少有几十位科学家为微积分的发明做了基础性的工作。但在众多先驱中，费马还是值得一提的，主要是因为他为微积分概念的推导提供了最接近现代形式的灵感，以至于在微积分领域，继牛顿和莱布尼茨之后，费马作为创始人，也会得到数学界的认可。

曲线的切线和函数的极小值是微积分的起源之一。这件作品比较古老，可以追溯到古希腊时期。阿基米德用穷举法求由曲线围成的任何图形的面积。因为穷竭法既麻烦又笨拙，他逐渐被遗忘，直到16世纪才被重视。约翰尼斯·开普勒在探索行星运动规律时，遇到了如何确定椭圆面积和椭圆弧长的问题。引入了无穷和无穷小的概念，取代了繁琐的穷举法。虽然这种方法并不完美，但自从卡瓦列里来到费马以后，它为数学家们打开了非常广阔的思维空间。

费马创立了切线法、最大值法、最小值法和定积分法，对微积分做出了巨大贡献。

◆对概率论的贡献

早在古希腊时期，偶然性和必然性的关系就引起了许多哲学家的兴趣和争论，但用数学方法来描述和处理它却是在15世纪以后。在16世纪早期，意大利数学家如卡尔达诺研究了骰子中的游戏机会，并探索了游戏点数中赌资的划分。17世纪，法国人帕斯卡和费马研究了意大利人帕丘里的抽象，建立了对应关系，从而奠定了概率论的基础。

费马考虑四次赌博有2× 2× 2× 2 = 16种可能的结果，除了一种结果，即对手赢了所有四次赌博，第一个赌徒赢了所有其他情况。费马此时还没有使用概率这个词，但他已经得出结论，第一个赌徒获胜的概率是15/16，即有利情况的数量与所有可能情况的数量之比。这个条件一般可以在组合问题中满足，比如纸牌游戏，抛银和从罐子里建模球。这项研究实际上为概率的数学模型——概率空间的抽象奠定了一个博弈基础，虽然这个总结是Kolmogorov在1933才作出的。

费马和布莱斯·帕斯卡在通信和著作中确立了概率论的基本原理——数学期望的概念。这要从积分的数学问题说起:在一场被中断的游戏中，如何确定被假设技能相同的玩家之间赌资的划分，以及如何知道两个玩家在被中断时的分数和赢得游戏所需的分数。费马讨论了甲球员需要4分才能获胜，乙球员需要3分才能获胜的情况，这是费马对这种特殊情况的解决方法。因为明明最多可以决定四次。

广义概率空间的概念是人们对概念的直观想法的彻底公理化。从纯数学的角度来看，有限概率空间显得平淡无奇。但是一旦引入随机变量和数学期望，就变成了一个神奇的世界。这是费马的贡献。

◆对数论的贡献

17世纪初，公元三世纪古希腊数学家丢番图写的《算术》一书在欧洲流传。马飞在巴黎买了这本书，他在业余时间研究书中的不定方程。费马把不定方程的研究限制在整数的范围内，从而开创了数论的数学分支。

费马在数论领域的成就是巨大的，包括:

费马大定理:n & gt2是整数，那么方程x ^ n+y ^ n = z ^ n不存在满足xyz≠0的整数解。这是一个不定方程，已经被英国数学家怀尔斯(1995)证明了，证明的过程相当艰难！

费马大定理:a p-a ≡ 0 (mod p)，其中p为素数，a为正整数，其证明相对简单。其实是欧拉定理的特例，欧拉定理说:a φ(n)-1 ≡ 0 (mod n)，a和n都是正整数，φ(n)是欧拉函数，表示小于n的正整数与n互质的个数(其表达式欧拉已得到，可见“欧拉公式”)。

还有:

(1)所有的素数都可以分为4n+1和4n+3。

(2)4n+1形式的素数可以且只能单向表示为两个平方之和。

(3)没有一个4n+3形式的素数可以表示为两个平方的和。

(4)4n+1形式的素数可以且只能作为整数直角的直角三角形的斜边；4n+1的平方是且只能是两个这样的直角三角形的斜边；同样，4n+1的m次方是且只能是m个这样的直角三角形的斜边。

(5)有理数边长的直角三角形的面积不能是平方数。

(6)4n+1的素数及其平方只能单向表示为两个平方之和；它的三次方和四次方只能用两种方式表示为两个平方的和；5次方和6次方都只能用三种方式表示为两个平方的和，以此类推，直到无穷大。

(7)找到第二对亲和号:17296和18416。

在十六世纪，人们认为自然数中只有一对亲和数:220和284。有些无聊的人甚至在亲戚的数量上加上迷信或神秘色彩，编了许多童话故事。还宣传这个亲和数在魔术、魔术、占星、占卜等等方面都有重要作用。

在第一对亲和数诞生2500多年后，历史的车轮转向了十七世纪。1636年，法国业余数学家之王费马发现了第二对亲和数17296和18416，重燃火炬寻找亲和数，在黑暗中找到了光明。两年后，“解析几何之父”勒内·笛卡尔宣布，他在3月31，65438日发现了第三对亲和数9437506和9363584。费马和笛卡尔用两年时间打破了两千多年的沉寂，再次激起了数学界寻找亲和数的波澜。

◆对光学的贡献

费马在光学方面的突出贡献是提出了最小作用量原理，也叫最短时间作用量原理。这一原则由来已久。早在古希腊，欧几里得就提出了光的线性传播定律和相位反射定律。后来海伦揭示了这两个定律的理论本质——光走最短路径。若干年后，这一规律逐渐被扩展为自然规律，进而成为哲学概念。最终得出了一个更普遍的结论“自然以尽可能短的方式起作用”，并影响了费马。费马的高明之处在于把这个哲学概念变成了科学理论。

费马还讨论了光的路径在逐点变化的介质中传播时采取最小曲线的情况。有些问题用最小作用量原理来解释。这给了很多数学家很大的鼓舞。尤其是莱昂哈德·欧拉，利用变分技术，利用这一原理求函数的极值。这就直接引出了拉格朗日的成果，并给出了最小作用量原理的具体形式:对于一个质点，其质量、速度与两定点间距离的乘积的积分是一个最大值和一个最小值；也就是说，对于粒子所走的实际路径，它必须是最大值或最小值。