初等数论的内容

1.整除论。介绍了整除、因子、倍数、素数、合数等基本概念。这一理论的主要成果有:唯一分解定理、裴树定理、欧几里得的过渡除法、算术基本定理、素数无穷数证明等。

2.同余理论。主要来自高斯的算术研究。定义了同余、本原根、指数、平方剩余和同余方程的概念。主要成果:二次互等定律、欧拉定理、费马大定理、威尔逊定理、孙子定理(中国剩余定理)等。

3.连分数理论。介绍了连分数的概念和算法。特别研究了整数平方根的连分式展开。主要成果:循环连分式展开，最佳逼近问题，求解Pell方程。

4.不定方程。本文主要研究下代数曲线对应的不定方程，如勾股方程的商高定理和Pell方程的连分式解。还包括四次费马方程的求解等等。

5.数论函数。比如欧拉函数，莫比乌斯变换等等。

6.高斯函数。第一个层次叫数学概念，是反映物体本质属性的一种思维形式。人类在认识的过程中，从感性认识上升到理性认识，对感知事物的本质特征进行抽象和概括，成为一种概念。表达概念的语言形式是词语或短语。科学概念尤其是数学概念更为严格，至少要满足三个条件:特异性、准确性和可验证性。比如“孪生素数”就是一个数学概念。

第二个层次叫数学命题，是判断一系列数学概念之间关系的句子。一个命题要么真，要么假(这是由逻辑中的排中律保证的)。真命题包含定理、引理、推论、事实等。一个命题可以是一个存在命题(表达为“存在……”)或全称命题(表述为“对于一切……”).第三个层次叫数学理论，把方法、公式、公理、定理、原理组合成一个体系。如“初等数论”由公理(如等式公理)、定理(如费马大定理)、原理(如鸽子洞原理的一一对应原理)和公式组成。在数学证明中，全称命题并不能总是通过枚举来判断，因为数学有时面对的对象是无限多的，它永远不可能一一枚举每一种情况。不完全归纳法在数学中是不可行的，数学只承认演绎逻辑(数学归纳法，超限归纳法等。).