费马点关于等腰三角形的论题

定义

在多边形中，到每个顶点的距离之和最小的点称为多边形的费马点。

在平面三角形中:

(1).三个内角小于120的三角形，以AB、BC、CA为边，在三角形外侧做正三角形ABC 1、ACB 1、BCA 1，然后连接AA 1、BB 65438。

(2)如果三角形的内角大于等于120度，那么这个钝角的顶点就是需求。

(3)当△ABC为等边三角形时，此时外中心与费马点重合。

(1)在等边三角形中，BP=PC=PA，BP、PC、PA分别是三角形三边的高度和三角形的平分线。是内切圆和外接圆的圆心。△BPC≔△CPA≔△PBA .

(2)当BC=BA但CA≠AB时，BP是高度和三角形CA上的中线和三角形上的角平分线。

证书

(1)费马点对对面的张角为120度。

△CC1B和△AA1B，BC = ba1，Ba = bc1，∠ CBC1 = ∠ b+60度=∠ABA1，

△CC1B和△AA1B为全等三角形，得到∠PCB=∠PA1B。

同理可得∠CBP=∠CA1P。

从∠PA1B+∠CA1P=60度，∠PCB+∠CBP=60度，所以∠CPB=120度。

同理，∠APB=120度，∠APC=120度。

(2)PA+PB+PC=AA1

将△BPC绕B点旋转60度与△BDA1重合，连接PD，则△PDB为等边三角形，所以∠BPD=60度。

而∠BPA=120度，所以A，P，D在同一条直线上。

而∠CPB=∠A1DB=120度，∠PDB=60度，∠PDA1=180度，所以A，P，D，A1四。

(3)PA+PB+PC最短。

取△ABC中任意一点M(与点P不重合)，连接AM、BM、CM，将△BMC绕B点旋转60度与△BGA1重合，连接AM、GM、A1G(同上)，然后AA1

平面四边形费马点

平面四边形中的费马点证明比三角形中的费马点证明简单易学。

(1)在凸四边形ABCD中，费马点是两条对角线AC和BD的交点P。

(2)在凹四边形ABCD中，费马点是凹顶点D(P)。

费马曾经提出过一个关于三角形的有趣问题:在三角形所在的平面上找一点，使该点到三角形三个顶点的距离之和最小。即在ABC中寻找一个点P使PA+PB+PC的值最小，人们称这个点为“费马点”。

今天我们要去探索费马点。首先，三角形分为两种情况:

(1)当三角形的内角大于或等于120度时，费马点就是内角的顶点。

我们来验证一下这个结论:对于三角形中的任意一点P，将BA延伸到C '使AC=AC '，使∠C'AP'=∠CAP，使AP'=AP，PC'=PC，即绕a旋转三角形APC。

然后△APC≔△AP ' c '(旋转不变性)

∵∠ BAC ≥ 120(已知)

∴∠ PAP' = 180-∠ BAP-∠ C 'AP '(平角的含义)= 180-∠ BAP-∠ CAP(等价替换)= 65436。

等腰三角形中的∴pap '(称为AP'=AP)，AP ≥ PP' (∠ PAP' < ∠ APP ')。

∴pa+pb+pc≥pp'+pb+ p ' c ' & gt；BC '(两边之和大于第三边)=AB+AC(已知AC=AC ')

所以A是费马点。这是前面的结论。

让我们讨论第二种情况:

(2)如果三个内角都在120度以内，那么费马点就是使费马点与三角形三个顶点的连线形成120度夹角的点。

在△ABC中作一点P，使∠ APC = ∠ BPC = ∠ CPA = 120，这是PA、Pb、PC的垂线，与D、E、F三点相交(如图)，再作一点P’，与P点不重合，连接P’a。

∫≈APB = 120 ,∴∠pab+∠pba=180-120 = 60

且∠ PAF = ∠ PBF = 90，∴ F = 180-(90+90-60)。

同理可得:∠ d = ∠ e = ∠ f = 60，即△DEF为等边三角形，设边长为d，面积为s。

那么S= 1/2 d (PA+PB+PC)

∫P ' h≤P ' a

∴1/2×d×p ' h×2s≤1/2×d×p ' a×2s

∫1/2×d×p ' h =△EP ' f∴2s△EP ' f≤d×p ' a×s

同理:2S△DP'F≤d ×P'B×S，2s△ EP'd ≤ d× p 'c× s。

加起来得到2s(△EP ' f+△DP ' f+△EP ' d)≤d×s(P ' a+P ' b+P ' c)。

∫EP ' f+△DP ' f+△EP ' d =△EDF。

2S×S ≤ d ×S (P'A+P'B+P'C)的两边除以S得到2S ≤ d (P'A+P'B+P'C)。

将S= 1/2 ×d (PA+PB+PC)代入上式可得:

PA+PB+PC≤P'A+P'B+P'C，当且仅当P和P '重合，取等号。

所以P是费马点，和上面的结论是一致的。

经过以上推导，我们可以找到三角形中的费马点:

当三角形的内角大于或等于120度时，费马点就是这个内角的顶点；如果三个内角都在120度以内，那么费马点就是使费马点与三角形三个顶点的连线形成120度夹角的点。

皮耶·德·费玛(1601—1665)是法国数学家和物理学家。费马一生没有接受过专门的数学教育，数学研究只是业余爱好。然而在17世纪的法国，没有一个数学家能与之匹敌。他是解析几何的发明者之一；概率论的主要创始人；以及17世纪继承数论世界的人。数学大师费马是17世纪法国最伟大的数学家。尤其是他的费马大定理，困扰了世界上的智者358年。

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