系列研究论文
这篇文章中的名字安德烈·尼古拉耶维奇是科尔莫·戈洛夫(有时翻译成“安德雷·柯尔莫哥洛夫”)。
科尔莫·戈洛夫，我们中间的天才:研究风格
现在是时候再次回到科尔莫戈罗夫的科学生涯，讨论他的创作模式的一些特点，这种创作模式在许多方面促成了一个极其重要的科学学派的建立。事物可以在对比中呈现。下面我想比较一下科尔莫戈罗夫的创作特点和他的杰出同事和同时代人的创作方法。
我记得有一次科尔莫·戈洛夫和我们谈论谁是我们这个时代最伟大的数学家。交谈中，大家发现试图以任何名义纠缠都是徒劳的:无法达成一致。最伟大的数学家的集合相对较少，但很清楚:如果你问谁是100个最伟大的数学家或两个最伟大的数学家，他们会给出大致相同的名字。后来在我和朋友的交谈中，不止一次涉及到这个话题(尤其是我们小的时候)。排在第一位的是谁——柯尔莫·戈洛夫、维诺格拉多夫(我是，我国的华先生都很尊敬他，他们有很深的友谊)、伯恩斯坦(SN Bernshtein)、彼得罗夫斯基(I. G. Petrovsky)、L .庞特里亚金(s .庞特里亚金)、盖尔·方德(我这只是苏联时代的一位中国数学家。当然，我承认我们可以加上我国其他伟大数学家的名字。姑且把希尔伯特的名字加到这个名单里吧——他是20世纪前三分之一最重要的数学家，科尔莫·戈洛夫对他推崇备至，亲自把它尽情地写进了苏联的百科全书。许多其他外国数学家的名字也将在我们的名单上——包括哈达玛、布劳威尔、G？德尔、西格尔、e .卡坦、a .卡坦、勒贝格、莱维等。)
Kolmogorov的创作方式和上面提到的所有数学家有着本质的区别。盖尔方德曾在一次谈话中说，“数学是一场马拉松。”这是一个深刻的思想。毫无疑问，格尔丰德本人和上面列出的所有其他数学家都是“马拉松运动员”。科尔莫·戈洛夫属于另一类科学家(但除了他自己，我不认识像他这样的人)。安德烈·尼古拉耶维奇当然也是“马拉松运动员”，但他主要是途中的短跑运动员。
这是什么意思？多年来，无论是在文章中还是在个人谈话中，科尔莫·戈洛夫经常引用数学家德隆的一句话。德隆曾经在奥运会闭幕式上当着小学生的面发言，说数学家的工作和奥林匹克数学竞赛参与者的工作是不一样的。解一道奥数题大概需要1个小时，但解一道真实而深刻的数学题却需要5000个小时。这个值——5000小时——代表了马拉松数学家的工作特点。
然而，每当谈到自己时，安德烈·尼古拉耶维奇都表现出明显的尴尬。他做不到这“著名”的5000小时。他在接受采访时说:“在我的整个科研生涯中，我可以连续工作一周左右，也许最多两周，但我做不了更多。”大约四十年前，我第一次听到类似的事情:在课堂上，他提到了一个小得多的数字——他思考了三天构造一个几乎处处发散的傅立叶级数的例子，最后恍然大悟。在早期，他将这个结果称为他现有成就中技术难度最大的。后天，安德雷·柯尔莫哥洛夫选择了他在技术上最困难的结果作为后来导致解决希尔伯特13问题的定理，并提到了两个星期的不懈思考。
我们可以看到，这些例子反映了安德烈·尼古拉耶维奇的独特风格。他知道如何在相对较短的时间内集中巨大的能量。这种能量的积累产生了强大的效应，在看似坚不可摧的堡垒墙壁上打开了一个巨大的裂缝，导致几十个，有时几百个和几千个研究人员冲向那里。但科尔莫·戈洛夫本人已经离开了这一切，他的思想转向了其他目标。这在我眼前发生过很多次。或许从这个角度浏览一下科尔莫戈罗夫的整个创作过程会很有趣。
在Aleksandrov课程的影响下，Kolmo Golov完成了描述集合论的第一部重要著作。他意识到Aleksandrov的主要思想(构造A-集合)可以和Suslin的主要思想(证明A-集合比B-集合宽)结合起来，奠定了集合运算理论的基础。他的导师卢津当时并不理解这篇文章，所以它的第一部分在7年后发表了——1928(第二部分在1987年作为附录发表在《科尔莫·戈洛夫选集》第三卷中)。安德烈·尼古拉耶维奇没有继续写这个问题。随后该理论变得非常活跃，安德烈·尼古拉耶维奇的著作成为来源之一。
接下来是科尔莫·戈洛夫在科学研究早期的最大发现——他构造了一个可测函数，其傅立叶级数几乎处处发散(就像我们刚刚提到的)。科尔莫·戈洛夫研究了一段时间三角和正交级数理论，但他的兴趣转向了概率论(他与秦心密切合作了几年)。在1930的早期，他的努力以完成两部具有根本重要性的著作而告终:论文《论概率论的分析方法》和专著《概率论的基本概念》。除了这些马拉松式的成就，还有一些短跑式的成就，尤其是他在数理逻辑方面的研究，以及他在数理统计和拓扑学方面的杰出工作(其中他和美国代数拓扑学家亚历山大独立引入了最重要的拓扑概念——“同调”)。这一切都发生在20世纪30年代。这里是他的两篇关于逼近论的短文，奠定了新的基本方向的基础，开映射下的增维问题的解决等成果。他在20世纪60年代末和60年代初致力于湍流理论。这些研究也有“马拉松”的成分。
上世纪40年代，科尔莫·戈洛夫建立了射击理论(这里有“马拉松”的成分)，奠定了所谓分支过程理论的基础(这可能是“冲刺”的成果)。
回到20世纪50年代。一个突如其来的伟大洞见导致了KAM理论的诞生。安德烈·尼古拉耶维奇本人只在苏联科学院学报上发表了两篇短文，组织了一次力学和数学的研讨会，作了阿姆斯特丹世界数学家大会的闭幕报告。从65438到0955，信息论开始让他感兴趣。但与此同时，他“意外地”几乎完全解决了希尔伯特的13问题(当然是以硬压为代价):他证明了任何四个或四个以上变量的连续函数都可以表示为三个变量的连续函数的叠加。他又一次没有继续研究问题的最终解决方案。并把这个问题留给了他的学生阿诺德(当时大三)去解决。
.....1957年夏天的一天，我到了科马罗夫卡(这里有科尔莫·戈洛夫和阿列克山大罗夫的乡村小屋)。Kolmo Golov老师告诉我，前一天，他在思考解决希尔伯特13问题的结构时，突然意识到自己找到了一个异常简单的新方法来解决这个问题，加强了Arnold的结果。当我到达的时候，一篇为苏联科学院学报写的短文已经写好了！动力系统的冯·诺依曼问题(这个问题已经存在了二十多年，所有的动力系统专家都想解决)也是如此，即谱是否是动力系统的完整表象。另一次发生在我拜访科马罗夫卡的时候。安德烈·尼古拉耶维奇突然说:“熵是不变量，光有光谱是不够的。”这种顿悟又一次导致了突破，几名研究人员冲进了缺口，其中包括许多一流的数学家；正如经常发生的那样，科尔莫·戈洛夫把自己局限在《苏联科学院学报》的一篇论文中，只取得了第一次突破，然后就拂袖而去。这是另一个例子。有一天，安德烈·尼古拉耶维奇和我将去列宁格勒参加一个会议。晚上，我们在车厢的走廊里谈论不同的事情。突然他告诉我他刚刚想到这个主意(就在那里，在一次谈话中！在线性拓扑空间的线性映射下，熵也可以是不变的。很快我写了一篇短文，很多数学家又对这个话题产生了兴趣。在我的记忆中，在那之后，Kolmo Golov先生甚至从未想过这个领域会发生什么。
很容易发现，科尔莫·戈洛夫与上面列出的任何一位“最伟大”的数学家都没有什么共同之处。与安德雷·柯尔莫哥洛夫最鲜明的对比是希尔伯特。由于科尔莫戈罗夫创作天才的“冲刺”特征，他成功地突破和开拓了大量的难题和领域。在我之前写的一篇关于安德烈·尼古拉耶维奇的文章中，我列举了大约40个数学、自然科学和人文科学的领域，他在这些领域都留下了基本的印记(尽管他仍然没有用尽他所创造的一切)。在几乎任何一个子学科中，安德烈·尼古拉耶维奇的研究都是先驱者的工作，包括基础理论的创立，而新领域剩下的完善则留给弟子和追随者。作为对比，希尔伯特潜心研究纯数学的八个课题多年，有时甚至几十年，试图“找到基础、根和核心”。伯恩斯坦、维诺格拉多夫、彼得罗夫斯基和庞特里亚金的研究风格与希尔伯特相似。盖尔方德是一个特例:他总是与同事合作，而我们名单上的其他科学家都是独自工作。和科尔莫·戈洛夫一样，格尔丰德研究过很多领域，他无疑是一个“马拉松运动员”。)
综上所述，Kolmo Golov总能产生很多想法，滋养着和他一起工作的学生。事实上，安德烈·尼古拉耶维奇通常不会和他的学生一起工作:他不会按照普遍接受的“指导”一词的意义来教他们。他只是传播问题、假设，并分享想法和方法——在科马罗夫卡小舍的讲座、散步和喝茶时...这些战略定位的问题往往不仅仅是一个数学问题，还包含更广泛的科学(或哲学)意义。如果一个弟子踏上了这些道路中的一条，他就可以继续提升自己，而不会轻率地说“一切都解决了”。
本文首发于知乎平台，/p/422726695，这里有更多关于Kolmo Golov的历史和数学故事。