数学期望问题和圆周率是如何计算得出的？

随机变量的数学期望值

在概率论和统计学中，离散随机变量的期望值(或数学期望，或均值，或简称期望)是每个可能结果的概率乘以其在实验中的结果之和。换句话说，期望值是相同机会下重复随机实验结果计算出的等价“期望”的平均值。需要注意的是，期望值不一定等于常识上的“期望”——“期望值”不一定等于每一个结果。(换句话说，期望值是变量输出值的平均值。预期值不一定包含在变量的输出值中。

圆周率的计算一般采用切圆法。也就是说，圆的周长由内接或外切的正多边形来近似。阿基米德用正96边形得到圆周率小数点后三位的精度；刘辉用正3072多边形，得到5位数精度；鲁道夫使用一个规则的262边多边形来获得35位精度。这种基于几何的算法计算量大、速度慢且费力不讨好。随着数学的发展，数学家在数学研究中有意无意地发现了很多计算圆周率的公式。下面就来介绍一些经典的常用公式。除了这些经典公式，还有很多其他的公式，以及由这些经典公式衍生出来的公式，我就不一一列举了。1，马青公式π = 16反正切1/5-4反正切1/239这个公式是英国天文学教授约翰·马青在1706年发现的。他用这个公式计算了100位的圆周率。马青公式每次计算可以得到1.4位的小数精度。由于它的被乘数和被除数在计算过程中都不大于长整数，所以在计算机上很容易编程。有许多类似于马青公式的反正切公式。在所有这些公式中，马青的公式似乎是最快的。即便如此，如果我们要计算更多的位数，比如几千万，马青的公式是不够的。2.Ramanukin公式1914印度天才数学家Ramanukin在他的论文中发表了一系列计算圆周率的***14公式。这个公式每次计算可以得到8位小数的精度。1985年，Gosper用这个公式算出了圆周率的17，500，000位数。1989年David chudnovski和Gregory chudnovski改进了Lamanukin公式，称为chudnovski公式，每次计算可以得到15位的小数精度。1994年，楚德诺夫斯基兄弟用这个公式算出了40.44亿。更便于计算机编程的另一种形式的chudnovski公式是:3。AGM(算术-几何平均)算法高斯-勒让德公式:pi。

这个公式每次迭代都会得到双十进制精度，比如要计算654.38+0百万位，20次迭代就够了。1999年9月，日本人高桥景岛乐和金田正在用这种算法计算圆周率的206158430000位数，创造了新的世界纪录。