手抄报和数学论文

二年级学生数学论文:勾股定理证明方法的探索

勾股定理也叫勾股定理:在直角三角形中，斜边长的平方等于两条直角边的平方之和。

据考证，人类知道这个定理至少有4000年了！也记载了这个定理全世界有300多个证明！

勾股定理是几何中的一颗明珠，所以充满魅力。千百年来，人们一直渴望证明它，包括著名数学家、业余数学家、普通人、尊贵的达官贵人甚至国家总统。也许正是因为勾股定理的重要、简单和吸引人，才被反复炒作和论证了几百次。1940年出版了一本勾股定理的证明相册，里面收集了367种不同的证明方法。事实上，还不止这些。有资料表明，勾股定理的证明方法有500多种，仅清末数学家华就提供了20多种精彩的证明方法。这是任何定理都无法比拟的。

勾股定理的证明:在这几百种证明方法中，有的非常精彩，有的非常简洁，有的因为特殊的身份而非常出名。

首先介绍了勾股定理最精彩的两个证明，据说分别来自中国和希腊。

1.中国法:画两个边长为(a+b)的正方形，如图，其中A和B为直角边，C为斜边。这两个正方形全等，所以面积相等。

左图和右图各有四个与原直角三角形相同的三角形，左右三角形的面积之和必须相等。如果左图和右图中的四个三角形都被删除，则该图剩余部分的面积将相等。左图还剩两个方块，分别以A和B为边。右边是一个以C为边的正方形。因此

a^2+b^2=c^2。

这是我们几何课本上介绍的方法。直观简单，谁都看得懂。

2.希腊方法:直接在一个直角三角形的三条边上画正方形，如图。

很容易看出，

△ABA’≔△AA’c .

画一条穿过C到a' b '的垂直线，在C '处与AB交叉，在C '处与A' b '交叉。

△ABA′和正方形ACDA′′的底高相同，前者是后者面积的一半，△AA′″C和矩形AA′″C″的底高相同，前者是后者面积的一半。从△ABA '≔△AA ' ' C可知，正方形ACDA '的面积等于长方形AA''C''C '的面积。同样，正方形BB'EC的面积等于长方形b'' BC'' C ' '的面积。

因此，S平方AA''B''B=S平方ACDA'+S平方BB'EC，

也就是a2+b2=c2。

至于三角形面积是同底同高的矩形面积的一半，可以用挖填法得出(请自行证明)。这里只用到了简单的面积关系，不涉及三角形和矩形的面积公式。

这是古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中的证明。

上面两种证明方法很奇妙，因为它们用的定理很少，而且只用到了面积的两个基本概念:

(1)同余的面积相等；

⑵将一个图形分成若干部分，每一部分的面积之和等于原图形的面积。

这是一个任何人都能理解的完全可以接受的简单概念。

中国历代数学家论证勾股定理的方法很多，对于勾股定理的图解也很多，其中赵双(即赵)在他的论文《勾股方图解》中证明了勾股定理，该论文附于《周髀算经》。使用挖填法:

如图所示，图中的四个直角三角形用朱砂涂色，中间的小正方形用黄色涂色，称为中间黄色实心，以弦为边的正方形称为弦实心。然后，经过东拼西凑和匹配，他肯定了勾股和弦的关系符合勾股定理。即“毕达哥拉斯股互乘，且为弦实，方除，即弦也。”

赵爽的勾股定理证明，说明中国数学家有高超的证明问题的思想，简洁直观。

西方许多学者研究了毕达哥拉斯定理，给出了许多证明方法，其中毕达哥拉斯给出了有文字记载的最早证明。据说他证明勾股定理的时候欣喜若狂，杀了一百头牛庆祝。因此，西方国家也称勾股定理为“百牛定理”。遗憾的是，毕达哥拉斯的证明方法早已失传，我们无从得知他的证明方法。

以下是美国第二十任总统加菲尔德对勾股定理的证明。

如图所示，

s梯形ABCD= (a+b)2

= (a2+2ab+b2)，①

和S梯形ABCD=S△AED+S△EBC+S△CED。

= ab+ ba+ c2

= (2ab+c2).②

比较以上两个公式，我们可以得到

a2+b2=c2 .

这个证明因为使用了梯形面积公式和三角形面积公式，所以相当简洁。

4月1876日，加菲尔德在《新英格兰教育杂志》上发表了他对勾股定理的证明。五年后，加菲尔德成为美国第二十任总统。后来，为了纪念他对勾股定理直观、简单、易懂、清晰的证明，人们把这个证明称为勾股定理的“总统式”证明，被传为数学史上的佳话。

研究相似三角形后我们知道，在一个直角三角形中，斜边上的高度把直角三角形分成两个与原三角形相似的直角三角形。

如图所示，在Rt△ABC中，∠ ACB = 90。使CD⊥BC，而立足则d .治

△BCD∽△BAC，△CAD∽△BAC .

从△BCD∽△BAC可以得到BC2=BD？BA，①

AC2=AD可以从△CAD∽△BAC得到？AB .②

我们发现，把①和②相加，可以得到。

BC2+AC2=AB(AD+BD)，

并且AD+BD=AB，

于是就有了BC2+AC2=AB2，也就是

a2+b2=c2 .

这也是证明勾股定理的一种方法，也很简洁。它利用了相似三角形的知识。

在勾股定理的众多证明中，人们也会犯一些错误。如果有人给出以下证明勾股定理的方法:

根据余弦定理，设△ABC，∠c = 90°

c2=a2+b2-2abcosC，

CosC=0，因为∠ c = 90。因此

a2+b2=c2 .

这种看似正确简单的证明方法，实际上犯了循环证明理论的错误。原因是余弦定理的证明来自勾股定理。

人们之所以对勾股定理感兴趣，是因为它可以推广。

欧几里德在《几何原本》中给出了勾股定理的一个推广定理:“直角三角形斜边上的一条直边，其面积为两个直角上两条相似直边的面积之和”。

从上面的定理可以推导出下面的定理:“如果以直角三角形的三条边为直径做一个圆，以斜边为直径的圆的面积等于以两条直角边为直径的两个圆的面积之和”。

勾股定理还可以推广到空间:如果用直角三角形的三条边作为对应的边来做相似的多面体，那么多面体在斜边上的表面积等于两个多面体在直角边上的表面积之和。

如果用直角三角形的三条边做球，球在斜边上的表面积等于两个直角边上做的两个球的表面积之和。

总之，在勾股定理探索的道路上，我们已经走向了数学的殿堂。