函数的三角函数
三角函数是数学中初等函数中属于超越函数的一类函数。它们的本质是任意角的集合和一组比值的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域是整个实数域。另一个定义在直角三角形里，但不完整。现代数学把它们描述为无穷数列的极限和微分方程的解，并把它们的定义扩展到复数系统。
由于三角函数的周期性，它不具有单值函数意义上的反函数。
三角函数在复数中有重要的应用。三角函数也是物理学中的常用工具。
它有六个基本功能:
函数名正弦余弦正切余切割线余切
符号sin cos tan cot sec csc
正弦函数sin(A)=a/h
余弦函数cos(A)=b/h
正切函数tan(A)=a/b
余切函数cot(A)=b/a
在一定的变化过程中，两个变量X和Y，对于X在一定范围内的每一个值，Y都有一定的值与之对应，Y是X的函数..这种关系一般用y=f(x)来表示。
函数概念的发展历史
1.早期的函数概念——几何概念下的函数
17世纪的伽利略(意大利，1564-1642)，在他的《两种新科学》一书中，几乎都包含了函数或变量关系的概念，用文字和比例的语言表达函数之间的关系。笛卡尔(法国，1596-1650)在他的解析几何1673左右注意到了一个变量对另一个变量的依赖性。但由于他当时没有意识到函数概念需要细化，所以直到17世纪后期牛顿和莱布尼茨建立微积分之前，没有人给函数下过定义。
1673年，莱布尼茨首次用“函数”来表示“权力”。后来，他用这个词来表示曲线上各点的几何量，如横坐标、纵坐标、切线长度等。同时，牛顿在微积分的讨论中用“流”来表达变量之间的关系。
18世纪的函数概念──代数概念下的函数。
约翰？伯努利·约翰(Rui，1667-1748)在莱布尼茨函数概念的基础上定义了函数的概念:“由任何变量和任何形式的常数组成的量。”他的意思是，任何由变量X和常数组成的公式都称为X的函数，他强调函数要用公式来表示。
1755，欧拉(L. Euler，瑞士，1707-1783)将函数定义为“如果某些变量以某种方式依赖于其他变量，即当后者变量发生变化时，前者变量也发生变化，我们称前者变量为后者变量的函数。”
欧拉(L. Euler，瑞士，1707-1783)给出了一个定义:“变量的函数是由这个变量和一些数或常数以任何方式组成的解析表达式。”他把约翰？伯努利给出的函数定义称为解析函数，并进一步分为代数函数和超越函数，还考虑了“任意函数”。不难看出，欧拉对函数的定义比约翰好？伯努利的定义更普遍，意义更广泛。
13.19世纪的函数概念——对应关系下的函数。
1821年，柯西(法国，1789-1857)从变量的定义给出了一个定义:“某些变量之间有一定的关系。当一个变量的值给定时，其他变量的值可以相应地确定，那么初始变量称为自变量。柯西的定义中首次出现了自变量一词，同时指出函数不需要解析表达式。但他仍然认为函数关系可以用多个解析表达式来表示，这是很大的局限性。
1822年，傅立叶(法国，1768—1830)发现有些函数也已经用曲线表示，或者可以用一个公式表示，也可以用多个公式表示，从而结束了函数概念是否只用一个公式表示的争论，把对函数的认识推上了一个新的台阶。
在1837中，狄利克雷(德国，1805-1859)突破了这个限制，认为如何建立X和Y的关系是无关紧要的。他拓宽了函数的概念，指出:“对于X在一定区间内的每一个确定值，Y都有一个或多个确定值。这个定义避免了函数定义中对依赖性的描述，以一种明确的方式被所有数学家所接受。这就是人们常说的经典函数定义。
康托尔(德国，1845-1918)创立的集合论在数学中发挥重要作用后，维布伦(美国，维布伦，1880-1960)用“集合”和“对应”。
现代函数的概念——集合论下的函数
F. Hausdorff在1914中用集合论大纲中“序偶”这一模糊概念定义了函数，避免了“变量”和“对应”这两个模糊概念。在1921中，Kuratowski用集合的概念定义了“有序偶”，使得Hausdorff的定义非常严谨。
在1930中，新现代函数被定义为“若总有一个由集合N确定的元素Y对应于集合M的任意元素X，则称一个函数定义在集合M上，记为y=f(x)。元素x称为自变量，元素y称为因变量。”
术语函数、映射、对应和变换通常具有相同的含义。
但函数只表示数与数之间的对应，映射也可以表示点与点之间、图与图之间的对应。可以说映射中包含了函数。
正比例函数:
比例函数y=kx(k为常数，k≠0)的图像是一条通过原点的直线。当x >时；0，图像经过三个或一个象限，从左到右上升，即y随着x的增加而增加；当k < 0时，图像经过两个或四个象限，从左到右递减，即y随X增加而减少。
正因为比例函数y=kx(k为常数，k≠0)的像是一条直线，我们才能称之为直线y=kx。
(另:中文名“函数”的由来
在中国数学家李(1811-1882)翻译的《代数学》一书中，首次将“函数”一词翻译成中文的“函数”，这个译名沿用至今。至于为什么这样翻译这个概念，书中解释为“谁相信这个变量，谁就是那个变量的函数”；这里的“信”是包容的意思。)
对一个函数的深入研究
徐若菡
在学习一个函数的时候，按照中学的要求，要进一步研究它的实际应用，以及如何改变图像的位置。
实际问题中的分段函数
【例1】(武汉市，2005)小明早上骑车从家到学校，先上坡后下坡。行程如图。如果返回时上下坡速度不变，小明从学校骑车回家要多长时间？
解析:上坡和下坡的速度不同，所以问题要分两段来研究。
根据函数图像提供的信息，可以得知小明从家上学时，上坡距离为3600米，下坡距离为9600-3600 = 6000米。
∴上坡速度为3600÷18=200(米/分钟)。
下坡速度为6000 ÷ (30-18) = 500(米/分钟)。
小明回家时，上坡行程6000米，下坡行程3600米，用时6000÷200+3600÷500 = 37.2(分钟)。
物理学科中的应用
【例2】(黄冈市，2004)一班学生在探究弹簧长度与外力的关系时，实验中记录的相应数据如下:
求Y关于X的分辨函数和自变量的取值范围。
解析:根据物理学的知识，弹簧在外力(悬挂重物的重力)作用下变形(拉长)，外力与指针位置的关系可以用一个线性函数来表示；但是每个弹簧上的外力都是有一定限度的，所以一定要找到自变量的范围。
根据已知数据发现，在弹簧拉伸过程中，
设y=7.5，得到x=275。
∴的职能是
注意两段之间的分界点是x=275，而不是x=300。
线性平移的应用
【例题3】(2005年黑龙江省)直角坐标系中，已知点A (-9，0)，P (0，3)，C (0，12)。问:X轴上有没有点Q，使得以点A、C、P、Q为顶点的四边形是梯形？如果存在，求直线PQ的解析式；如果不存在，请说明原因。
解析:在所研究的梯形中，哪两条边是平行的？有两种可能:如果，也就是直线CA平移，通过P点可以很容易的求出直线CA的解析式如下
平移后得到的直线解析式为
如果
平移直线PA:通过点c。
得到一条直线:
该线在点(-36，0)处与X轴相交。
直线的解析公式为
如何理解函数的概念
曹杨
函数是数学中一个极其重要的基本概念。在中学数学中，函数及其相关内容非常丰富，占了很大的权重。掌握函数的概念对以后的学习很有用。回顾函数概念的发展史，莱布尼茨最早采用“函数”作为数学术语。他在论文1692中首次提出了函数的概念，但其含义与现在对函数的理解大相径庭。现代初中数学课程中，函数的定义是“变量论”。即:
在某一变化过程中，有两个变量X和Y，如果对于X在某一范围内的每一个确定值，Y都有一个唯一的确定值按照一定的对应规律与之对应，那么Y称为X的函数，X称为自变量，Y称为因变量。
它明确指出自变量x可以取给定范围内的任意值，因变量y按照一定的规律每次取唯一且确定的值。但初中并不要求掌握自变量的取值范围(看一下初中要学的几个函数就知道，这个定义对于初中生来说是完全充分且容易理解的)。
函数的概念很抽象，学生很难理解。要理解函数的概念，必须明确两点:一是必须明确自变量和因变量的关系。在某一变化过程中，有两个变量X和Y，如果Y随X变化，那么X称为自变量，Y称为因变量；如果x随y变化，那么y称为自变量，x称为因变量。二、函数定义的核心是“一一对应”，即给定一个自变量X的值，有一个唯一确定的因变量Y的值与之对应。这样的对应可以是“一个自变量对应一个因变量”(简称“一对一”)，也可以是“几个自变量对应一个因变量”(简称“多对一”)，但不能是“一个自变量对应多个因变量”。
一对一、多对一和一对多
是函数，函数，不是函数。
图1
这里有四个例子可以帮助你理解函数的概念:
示例1弹簧的长度是10厘米。弹簧受F(F在一定范围内)拉力时，弹簧的长度用y表示，实测数据见表1:
表1
张力F(千克)
1
2
三
四
…
弹簧长度y(c)
…
弹簧的长度y是张力f的函数吗？
分析:从表中可以读出信息。当拉力分别为1kg，2kg，3kg，4kg时，都唯一对应一个弹簧的长度y，满足函数的定义，所以弹簧的长度y是拉力f的函数..通常，以表格形式给出的函数的第一行是自变量的值，第二行是因变量的值。
例2图2显示了某地区一年中每个月的最高和最低温度。
图2
图2描述了哪些变量之间的关系？你能把其中一个变量看作另一个变量的函数吗？
解析:图中给出了三个变量，分别是最高温度、最低温度和月份。从图中可以看出，最高温度和最低温度随着月份的变化而变化，每个月的最高温度和最低温度都是唯一的，所以最高温度(或最低温度)是月份的函数。我们还可以发现，7月和8月的最高气温是相同的，也就是说两个自变量对应同一个因变量。一般来说，以图像形式给出的函数，横轴代表自变量，纵轴代表因变量。
例3下列变量之间的关系是函数关系吗？说明原因。
(1)圆的面积s与半径r的关系；
(2)当汽车以70km/h的速度行驶时，汽车行驶的距离S (km)与所用时间T (h)之间的关系；
(3)等腰三角形的面积是其底边长y (cm)和底边高x (cm)的关系。
解析:(1)圆的面积S与半径R的关系是，半径确定时，圆的面积S也唯一确定，所以圆的面积S与半径R的关系是函数关系。
⑵距离S (km)与所用时间t(小时)的关系是，当时间t确定时，距离S也是唯一确定的，所以距离S (km)与所用时间t(小时)的关系是函数关系。
(3)底座的长度ycm与底座的高度xcm的关系是当底座的高度X确定时，底座的长度Y也唯一确定，所以底座的长度ycm与底座的高度xcm的关系是函数关系。
一般来说，以关系形式给出的函数，等号左边有因变量，等号右边有未知数作为自变量。
例4下列图像中，不能表达函数关系的是()。
解析:上述四幅图中，A、C、D都可以表示函数关系，因为自变量X的任意给定值都有唯一的Y值与之对应，但在图B中，自变量X的任意给定值都有两个不同的Y值与之对应，所以本题应选B。
【问题2.9】设M是小于2006的四位数，已知有正整数n，使M-n是素数，mn是完全平方数，求所有满足条件的四位数M。