形状镶嵌的相关论文
姓名:徐浩凡学校:北京市第十一中学班级:一年级三班。
2007年5月7日星期四
关键词:完全覆盖，平面镶嵌，数学透视
导读:数学无处不在，我们在生活中经常会遇到一些与数学相关的问题。在铺瓷砖的地面或墙面上，相邻的地砖或瓷砖均匀的贴在一起，整个地面或墙面没有缝隙。为什么这些形状的地板砖或瓷砖可以不留缝隙的覆盖地面？你能改变一些其他的形状吗？为了解决这些问题，我们必须探索真相。从数学的角度来看，平面的一部分完全被不重叠的多边形覆盖；这类问题通常称为多边形平面镶嵌。
内容:我们要在图形拼接中探索日常生活中的真相，研究多边形的相关概念和性质。
例如，一个三角形。三角形是由不在同一直线上的三条线段组成的平面图形。通过实验和研究，我们知道三角形内角之和为180度，外角之和为360度。地面可以被六个正三角形覆盖。
再来看正四边形，可以分成两个三角形。内角之和是360度，一个内角的度数是90度，外角之和是360度。地面可以覆盖四个正四边形。
规则五边形呢？可分为三个三角形，内角之和为540度，一个内角的度数为108度，外角之和为360度。它不能覆盖地面。
六边形，可分为四个三角形，内角之和为720度，一个内角的度数为120度，外角之和为360度。地面可以覆盖三个正四边形。
七边形可以分成五个三角形。内角和是900度，内角的度数是900/7度，外角和是360度。它不能覆盖地面。
……
由此可以得出结论:一个N边形可以分成(n-2)个三角形，内角之和为(n-2)*180度，一个内角的度数为(n-2)*180÷n度，外角之和为360度。如果(n-2)*180÷n能被360整除，那么就可以用来铺垫；如果没有，就不能用来铺路。
不仅可以用一个正多边形来覆盖地面，还可以用两三种以上的图形来覆盖地面。
比如:正三角形和正方形，正三角形和正六边形，正方形和正八边形，正五边形和正八边形，正三角形和正方形和正六边形。
在现实生活中，我们见过各种由正多边形组成的图案。其实很多图案往往是由不规则的基本图形构成的。以上，我们用现实生活中的例子，地砖来证明图形马赛克的奇妙。接下来，我要讲一个版画家对图形镶嵌的兴趣:埃舍尔对每一个镶嵌图形都很着迷，不管是规则的还是不规则的；而且他对一种他称之为变形的形状特别感兴趣，在这种形状中，图形相互变化，相互影响，有时会突破平面的自由。他的兴趣开始于1936，当时他去西班牙旅行，看到了阿尔罕布拉当地使用的瓷砖的图案。他花了几天时间画这些瓷砖，后来宣称它们是我遇到的最丰富的灵感资源。1957，他写了一篇关于镶嵌图形的文章，他在文章中评论道:在数学领域，正则平面划分已经有了理论上的研究...这是否意味着它只是一个严格的数学问题？在我看来，不是。数学家打开了一个广阔领域的大门，但他们自己从未进入过。他们天生对开门的方式比对门后的花园更感兴趣。埃舍尔在他的马赛克作品中使用了这些基本图案。他利用几何学中的反射、平滑反射、变换和旋转来获得更多样的图案。他还小心翼翼地将这些基本图案扭曲成动物、鸟类和其他形状。这些变化要对称三次、四次甚至六次才能得到马赛克图案。这样的效果既惊艳又好看。下面是一些关于埃舍尔的图形马赛克的图片。
这些用马赛克拼成的形状怎么样？它们漂亮吗？让我们更好的学习图形的镶嵌，在数学和艺术中游走吧！
论文
所谓图形拼接，就是用一个或多个同样大小的图形来铺平面，要求图形之间不能有空隙，不能有重叠。在这方面，埃舍尔取得了卓越的成就。比如下面这些图就是他的代表作。
接下来我将介绍图形的镶嵌。
规则的平面划分称为马赛克，马赛克图形是封闭图形的排列，没有重叠，没有空隙。一般来说，构成马赛克图案的基本单位是多边形或类似的常规形状，如地板上常用的方形瓷砖。然而，埃舍尔着迷于每一种马赛克，无论是规则的还是不规则的；而且他对一种他称之为morphs的形状特别感兴趣，在这种形状中，图形相互变化，相互影响，有时会突破平面的自由。
无论这对数学家是否公平，有一点是真的——他们指出，在所有常规多边形中，只有三角形、正方形和正六边形可以用于镶嵌。然而，许多其他不规则多边形在平铺后也可以形成马赛克。例如，许多马赛克使用不规则的五角星形状。埃舍尔在他的马赛克作品中使用了这些基本图案。他利用几何学中的反射、平滑反射、变换和旋转来获得更多样的图案。他还小心翼翼地将这些基本图案扭曲成动物、鸟类和其他形状。这些变化要对称三次、四次甚至六次才能得到马赛克图案。这样的效果既惊艳又好看。
图形拼接——平面正多边形的拼接
如果使用不同边的正多边形进行拼接，还需要满足两点:一是边长相等，二是一个顶点的内角之和为360。
什么样的正多边形组合在一起？那么如果只用一个正多边形覆盖平面，是否可以用任何一个正多边形呢？事实并非如此。比如正五边形，只能拼成以下形状。
那么哪些正多边形可以用来铺平面呢？我们可以假设这个正多边形的边数是在同一个顶点上有一个正多边形。因为这些正多边形在同一个顶点围成一个圆角，每个正多边形的内角为，我们得到:
(是正整数，不小于3的整数)
∴
∴
∴
∴
∴ ……(*)
∵是正整数，and∴is是不小于3的整数。
∴制造(*)型在以下条件下成立:
∴
∴只有一个正多边形用于地板，并且只有三种情况:等边三角形、正方形和正六边形，如下图所示:
正多边形的镶嵌规则
用三个正多边形排列
最小边数:3
排列:(3，7，42) (3，8，24) (3，9，18) (3，10，15) (3，12，12)
最小边数:4
排列:(4，5，20) (4，6，12) (4，8，8)
最小边数:5
排列:(5，5，10)
最小边数:6
排列:(6，6，6)
用四个正多边形排列
最小边数:3
3，3，4，12的组合产生了两种完全不同的排列。
3，3，6，6的组合导致了两种完全不同的组合。
3，4，4，6的组合导致了两种完全不同的组合。
排列:(3，3，4，12)，(3，4，3，12)-(3，3，6，6)，(3，6，3，6)-(3，4，4，6)
最小边数:4
排列:(4，4，4，4)
用五个正多边形排列
最小边数:3
3，3，3，3，6的组合只能产生一种排列。
3，3，3，4和4的组合产生两种不同的组合。
排列:(3，3，3，3，6)-(3，3，3，4，4)，(3，3，4，3，4)
排列成六个正多边形
最小边数:3
排列:(3，3，3，3，3，3)
注:上图显示一个点填成360°角，按正多边形排列，有21种排列，但实际上它们只有17种不同的组合。有两种不同排列的四种组合。
使用规则多边形镶嵌的分类；
马赛克的分类:
(1)正多边形的镶嵌
(一)规则马赛克
(二)半规则镶嵌
㈢不规则马赛克
(2)不规则多边形的拼接
定义:我们称一个只有一个正多边形的正镶嵌。
从前面的讨论中我们知道，规则的马赛克只有三种:规则的三角形、正方形和规则的六边形。
如下图所示:
不止一个正多边形用于镶嵌，并且在每个顶点有相同的正多边形排列。我们称之为半正则镶嵌。
如下图所示:
有些镶嵌包括规则镶嵌，我们称之为半规则镶嵌。这些马赛克是规则马赛克或半规则马赛克的混合。
比如下图，3，6，3，6的排列在点1，而3，3，6，6的排列在点2。在这种镶嵌中，正多边形在每个顶点的排列并不完全相同，而是有两种排列，所以既不是正镶嵌也不是半正镶嵌，我们称之为不规则镶嵌。
在点1，是3，6，3，6的排列，在点2，是3，3，6，6的排列。
同样，我们仍然用规则或半规则镶嵌的排列来表示这种新型的不规则镶嵌。我们用符号“/”来分隔每个规则或半规则的马赛克。例如，上图中的马赛克被记录为3.6.3.6/3.3.6.6.
数学家们把那些由两个或三个不同的规则马赛克组成的马赛克定义为不规则马赛克，不规则马赛克至少有14种。如何确定这一点？其实只要花一点耐心，用已知的21正则或半正则排列进行实验，就可以得到上述结论。
我们来具体看看这些不规则的马赛克图案。
两个或三个不同的规则排列的正多边形的镶嵌
这里有两种不同的规则排列(9种不同的马赛克)。
3.3.6.6 / 3.6.3.6
3.12.12 / 3.4.3.12
3.3.3.3.3.3 / 3.3.4.12
3.3.3.4.4 / 3.4.6.4
3.3.3.3.3.3 / 3.3.4.3.4 #1
3.3.3.3.3.3 / 3.3.4.3.4 #2
注:以上两种马赛克虽然使用了相同的规则排列，但整体构图还是有所不同。
足球表面拼接了哪些图形？足球的表面由12个正五边形和20个正六边形组成。
因为正五边形的内角是108度，正六边形的内角是120度，***348度，所以不能做成平面。
不，为了连接成一个球体。
地板马赛克
其实生活中的人更关心的是铺地砖的问题。我们观察各种建筑的地板，可以发现地板上往往镶嵌着各种正多边形，成为美丽的图案。当我们观察各种建筑的地板时，可以发现地板上往往镶嵌着各种正多边形，成为美丽的图案。
平时在家里，在商店，在中心广场，进酒店，餐厅等很多地方都会看到瓷砖。它们通常有不同的形状和颜色。其实有一个数学问题，“瓷砖里的数学”。
在铺瓷砖的地面或墙面上，相邻的地砖或瓷砖均匀贴合在一起，整个地面或墙面没有缝隙。为什么这些形状的地板砖或瓷砖可以不留缝隙的覆盖地面？你能改变一些其他的形状吗？为了解决这些问题，我们必须探索真理，研究多边形的相关概念和性质。
例如，一个三角形。三角形是由不在同一直线上的三条线段组成的平面图形。通过实验和研究，我们知道三角形内角之和为180度，外角之和为360度。地面可以被六个正三角形覆盖。
再来看正四边形，可以分成两个三角形。内角之和是360度，一个内角的度数是90度，外角之和是360度。地面可以覆盖四个正四边形。
规则五边形呢？可分为三个三角形，内角之和为540度，一个内角的度数为108度，外角之和为360度。它不能覆盖地面。
六边形，可分为四个三角形，内角之和为720度，一个内角的度数为120度，外角之和为360度。地面可以被三个正六边形覆盖。
七边形可以分成五个三角形。内角和是900度，内角的度数是900/7度，外角和是360度。它不能覆盖地面。
……
由此，我们得出结论。n-多边形可分为(n-2)个三角形，内角之和为(n-2)*180度，一个内角的度数为(n-2)*180÷2度，外角之和为360度。如果(n-2)*180÷2能被360整除，那么就可以用来铺垫；如果没有，就不能用来铺路。
不仅可以用一个正多边形来覆盖地面，还可以用两三种以上的图形来覆盖地面。
例如:正三角形和正方形，正三角形和六边形，正方形和八边形，正五边形和八边形，正三角形和正方形和六边形...
在现实生活中，我们见过各种由正多边形组成的图案。其实很多图案往往是由不规则的基本图形构成的。
瓷砖，这么普通的东西，都有这么有趣的数学奥秘，何况生活中的其他东西？
生活中，数学无处不在。
一、地板铺正多边形:三种。
(3，3，3，3，3，3)地板图案
(4，4，4，4)地板图案(6，6，6)地板图案
二、两种正多边形用于地板:六种。
(3，12，12)地板模式
三种正多边形用来铺地板:八种。
如果使用两个不同边的正多边形进行镶嵌，则在重叠顶点处，正多边形的内角之和必须为360°。为了简化研究，我们先来看看用两个特定多边形铺地板的情况。
问题1:现在一个工人师傅有两种正多边形瓷砖:正三角形和正方形。你能帮他设计一个地板图案吗？
同学们，请用纸板剪出若干个同样大小的正三角形和正方形，然后试着拼出来。我相信你能拼出来。
你拼出下图了吗？
问题2
如果师傅手里只有六边形和三角形的瓷砖打地板，能实现吗？如果有，有几种情况；如果没有，说明原因。
想一想，能不能用方程计算代替做拼图来研究上述问题？
事实上，我们可以计算如下
在一个点上有x个正三角形和y个正六边形。
60x+120y=360
x+2y=6
有两组整数解
所以应该有三个方案。
画
问题3:如果师傅只用正方形和正六边形，可以拼地板吗？请读者自己思考。
(2)地板铺两个以上正多边形怎么办？
我们来回答一下上面的问题。
假设m种边数分别为、、、、、的正多边形可以嵌入整个平面。
必须:
∵ , , ,……,
∴
∴
所以，
也就是说，正多边形最多有六种组合。