圆形单电极测井理论

张玉军

本文导出了井眼中环形单电极偏心电场分布的一般表达式，导出了三层柱状介质(双层柱状界面)和层状介质(一个水平界面和两个水平界面)中环形单电极电场分布和接地电阻的表达式。

电阻率测井方法广泛有效地应用于煤田、油田和金属矿山。电阻率测井方法(多电极或单电极)理论形成于20世纪30年代，这些理论都是基于点源在井眼中的电场分布。由于电测井生产中使用的电极不是点状的，电测井的定量解释受到很大影响。比如在煤田，单电极电流测井可以很好地划分层位，但不能定量解释岩层的电阻率。电测井实际使用的电极更靠近环。为了使电测井理论更加实用，有必要对环形电极测井理论进行研究。

参考文献[1]计算了钻孔中环形单电极的电场和接地电阻，但本次计算没有考虑电极偏心、透水层和岩石界面的影响。在1957和1963中，作者推导出了井眼中环形单电极偏心电场分布的一般表达式、双层柱状界面(有透水层)条件下环形单电极电场分布和接地电阻的表达式、一个或两个水平界面条件下环形单电极电场分布和接地电阻的表达式等四个课题，其中还对一个水平界面条件作出了数字结果。这些推导和计算结果仍有一定的理论和实际意义，故重新整理。

本文将R环单电极测井理论系统化，也可作为环多电极测井理论的基础。如果用计算机制作轨距板，则用于电测井定量解释；本文讨论的环形单电极电位函数的计算结果和方法将有助于电阻率测井理论的发展。

1.井眼中环形单电极电场分布的一般表达式

环形单电极布置在半径为a的钻孔中，电极处于水平状态，电极中心到钻孔轴线的距离为L，介质的电导率为σ1和σ2，供电电流为J，电极截面直径为2c，电极截面中心到电极中心的距离为B，如图1所示。求电场分布的表达式。

当电场较小时，可以用穿过环形电极中心的圆形电极代替环形电极[1]。用柱坐标(r，θ，z)求解，坐标原点放在电极所在平面与钻孔轴线的交点上。

势函数u1和u2将是拉普拉斯方程(1)的积分。

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在介质1中，U1可以写成U1=U0+U1(2)。

式(2)中:均匀介质中环形单电极的uo-电位函数；

u 1-接口的功能。

势函数应满足接口上的以下条件:

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在无限远处:

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由于对称性，存在以下条件:

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在求解问题时，将采用邦达列夫(вибондарев)在求解圆盘形单电极测井问题时使用的积分变换方法[2]。首先得到积分变换后的u .和U2的表达式，按照(8)进行积分变换。

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势函数的拉普拉斯方程是:

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方程(10)整个过程分为[[3]]。

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其中In(λг)和kn (λ r)是虚贝塞尔函数；它还包含两个部分:

图1

考虑到它应该是钻孔轴上的有限值，并且在无穷远处必须满足公式(5)的条件，它可以写成

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现在我们需要找到U0和的表达式。圆形电极上的局部电弧bdφ视为点电源，其电位函数表示为[3]

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公式

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j0-贝塞尔函数。

威尔·j？将的值代入上式，积分φ即可

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根据文献[4]，J0 (TQ)可以写成如下

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因此

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那么(13)就变成了

根据公式(8)变换U0:

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然后按公式(9)的变换得到

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根据文献[4]，k0 (λ ρ)可以写成

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边界条件是

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将(17)和(12)中的值代入(18)，然后求解。

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公式

位函数和U2应通过以下公式求解

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放一个进去(19)。和b .代入(12)的值，然后用(20)求势函数和U2；然后将公式(15)中的值和U0的值代入公式(2)，最终得到井眼中环形单电极电场分布的一般表达式:

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当电极位于钻孔中心时，即l=0，可以得出结论

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(23)该公式与Ovqinnikov (иковчинников)在文献[1]中得到的结果一致。文献[[1]推导了这种情况下的接地电阻表达式，并进行了数字计算。

电极偏心的影响可以用(21)和(22)来评估。这两个公式非常复杂，数字计算需要借助电子计算机。

2.双层柱状界面条件下环形单电极电场分布和接地电阻的表达式

如果在上述问题中，在泥浆(介质1)和岩石(介质3)之间有一个渗透层(介质2)，其外径为D，电导率为σ2(见图2)，则可以得出结论，

图2

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利用两个界面上的势函数的四个边界条件，可以求出上式中的四个常系数，由于主要是想求出U1的表达式，所以下面只写出:

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公式

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通过公式(20)获得势函数U1。

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公式(26)为两层柱状界面条件下井眼中环形单电极的电场分布；显然，当P23=0或d→∞，方程(26)就会变成方程(23)。

当l=0时，即当电极中心与钻孔轴重合时，等式(26)变成以下形式:

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公式

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如果近似认为通过圆(z=0，r=b+c)的等电位面与环形电极的表面重合，即把环形电极看成是通过其截面中心的圆形电极的电场中的等电位面，那么在两层界面的情况下，当电极位于钻孔中心时，就可以用式(27)求出环形单电极的接地电阻。

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在公式(28)中，如果P23=0，或者d→∞，则可以得到[1]中的结果。公式(28)可用于评价渗透层对环形单电极测井的影响，计算机得到数字结果后，可制作两层柱状界面条件下环形单电极测井定量解释的规板。

3.水平界面条件下环形单电极电场分布和接地电阻的表达式。

为了弄清地层对环形单电极测井的影响，我们先讨论一个水平界面条件下的情况(见图3)。平面SS是两种介质(σ1和σ2)的水平分界面，得到环形电极的电场分布和接地电阻。

图3

在解题时，我们仍将采用文献[1]中的方法，即将环形电极替换为半径为b的圆形虚电极，得到电场分布的表达式；计算接地电阻时，将环形电极表面近似视为通过电极外圆的等电位面(z=0，r=b+c)。解题时仍使用列坐标系(r，θ，z)。部分圆弧bdθ视为点源，其势函数为[3]

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公式

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将J '的值代入方程(29)和(30)，对θ积分，得到势函数的表达式:

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其中F(δ，k)-第一类椭圆积分；

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设公式(31)中z = 0，r = b+c，得到一层水平界面条件下环形电极接地电阻的表达式。

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公式

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如果用a=b+c作为长度单位，b为0.9a，c为0.1a，那么在这种情况下，接地电阻R可以写成

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公式

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如果等式(34)中的d→∞，则可获得均匀介质中环形电极的接地电阻:

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这个结果与иккккккккккккккккккк

根据式(34)数值计算环形电极通过界面时接地电阻的变化。计算时，d等于0，0.2，0.5，0.7，1.0，1.5，2.0，2.5，3，4，5，6，7，10，15，∞；K12分别取0.4、0.6、0.8、0.9、+0.95、0.98、+1等14个值。计算中使用了数学和天文表格[6];在计算中，r以单位表示，即2π2aσ1。

现在，只有当K12 = 0.8时获得的结果显示在图4中。

图4

这些结果可用于评估边界影响。从计算结果可以看出，如果岩层厚度≥7a，在任何电阻率差异条件下，边界影响都小于10%，即距离边界3.5a时，边界影响小于10%。那么，用单个环形电极测量真电阻率时，如果测量精度为10%，厚度大于环形电极最大直径的3.5倍，计算结果也表明，岩层界面在单电极测井曲线上显示曲线的拐点。

4.两个水平界面条件下环形单电极电场分布和接地电阻的表达式。

利用两种水平界面条件下点电源的势函数公式[7]，用与上一节相同的计算方法得到环形单电极的势函数，用公式(35-37)表示，这里只写出电极所在介质中的势函数:

1.当电极位于第一介质中时(图5):

我们主要关心的值只有在多电极测井中才有实际意义，所以为了讨论单电极测井的问题，我们只写出表达式:

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公式

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图5

2.当电极位于第二介质中时(图6):

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出于同样的原因，我们只编写表达式:

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公式

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3.当电极在第三种介质中时(图7):

出于同样的原因，我们只编写表达式:

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图7

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公式

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若R1、R2、R3分别表示1、2、3中环形单电极的接地电阻，其表达式可用上一节相同的方法得到，其中a=b+c为长度单位。

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公式

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公式

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公式

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若σ 1 = σ 3，k21=k23=-k12，代入上述种类可得板状岩层条件下环形单电极的电位函数和接地电阻表达式。

方程(35-40)中的级数在k21和k23大于-1小于1的范围内可以快速收敛。当其中一个等于1时，上述表达式中的级数可能会失去收敛性，势函数和接地电阻将取决于介质电导率σ的值。

参考

[1]Овчинников И.К.,К теории однозлектродного каротажа,Изв.АН СССР.сер.геоф.，No3，1958。

[2]Бондарев В.И.,Полелискового злехтрода,расположенного в скважине,Изв.АН СССР,сер.геоφ.，No3，1963。

[3] Sabolovsky，地球物理勘探专用函数，1957。

[4]Watson G.N .，关于贝塞尔函数理论的论文，1945。

[5]Градлгейн И.С.,Таблицы интегралов сумм,рддов и произведений,1962.

[6]ГлазенапС.П.,Математические и астрономические таблиды,1932.

[7]Дахнов В.Н.,Интерпретадиярезультатов геофизических исследрваний разрезов скважин,1955.

原载于《地球物理与地球化学勘探》，1979，第2期。

补充:作者在1956毕业实习(以γ-γ测井方法为主的煤田综合测井)期间关注了单电极测井的定量解释:前苏联电阻率测井方法理论形成于20世纪30年代，主要贡献有:ваок (1933)。他们推导的理论是点电源在钻孔中的电场分布。由于电法测井使用的电极不是点电极，而是电缆包裹的环形电极，煤田单电极电流测井可以很好地划分层位，但不能定量解释岩层的电阻率。

回到学校后，我询问了场论老师иковчиников教授，于是产生了文件[1]。作者参与了本文的数值计算。受这项工作的启发，作者利用贝塞尔函数推导了一个或两个水平界面条件下环形单电极的电场分布和接地电阻表达式，并对一个水平界面条件作出了数字结果，写入作者毕业论文1957的专题，前苏联科学院院士。在1963中，作者还推导出了井眼中环形单电极偏心电场分布的一般表达式，以及存在透水层形成双层柱状界面情况下的电场分布和接地电阻表达式，形成了完整的环形单电极测井理论，发表在《物化探》第二期1979上。