如何证明G是pn阶的群，P是素数，那么G一定有P阶的子群？

任何元素的阶都可以被群的阶整除。现在群的阶是素数p，所以元素的阶不是1就是p，G中只有一个单位元素，其他元素的阶不等于1，所以都是p，取任意一个阶等于p的非单位元素，那么由其生成的G的循环子群的阶也是p，等于整个群G，所以G等于其任意一个非单位元素生成的循环群。完成证书。

有限群g是p群。

当且仅当g的阶是P的幂。有限P群的研究是有限群论中的一个重要课题。Shiloh定理表明，有限P子群的结构对整个群的性质有很大的影响。对有限幂零群的研究可以归结为对有限P群的研究。Hall (hall，P .)从1930年到1950年关于P-群的一系列工作对P-群的研究产生了深远的影响。根据同构对有限P群进行分类是有限P群研究的基本任务，但这是一项极其困难的任务，目前还远远没有解决。