高中数学论文

数学中的有限和无限反映了现实世界中的有限和无限。整个物质世界的发展变化是有限与无限的统一。

无限首先是指物质世界的无限和宇宙的无限。运动是物质的固有属性，时间和空间是物质的存在方式，物质世界的无限性表现为时间的无限持续和空间的无限延伸。数学中的无限是无限在这个物质世界中的反映。

有限是指一切事物都存在于特定的时间和空间，所以永远是一段时间，有尺度和边界。也就是一切都是具体的。数学中的有限性就体现了这种有限性。

有限和无限是对立统一的。它们是对立的，既不同又相互联系。并在一定条件下相互转化。数学中的无限和有限也体现了这一点。例如，整数集是一个无限集，人们无法得到一个完整的整数集。但是每个整数都是有限的。我们可以得到任何整数。给定任何一个数学对象，我们可以立即确定它是否属于一个整数集。这样，整数集就是一个完备集，是一个有限概念。所以，整数集本身就是无限和有限的对立统一。

有限和无限是对立的，是不同的，有限集合和无限集合的性质是有质的区别的。例如，有限集合不能与其任何真子集建立一对一的关系，而无限集合可以与其一个真子集建立一对一的关系。例如，自然数集和它的真子集对之一，自然数集，可以建立一一对应关系。再比如一个有限的好序数集合和一个有限的自然数集合一定有一个最大数和一个最小数。而无限好序数集合不具备这个性质，实数集合既没有最大数，也没有最小数。

有限和无限是密切相关的。没有有限就没有无限，没有无限就没有有限。无限不能被完全证明或完全实现。这并不是因为无限不存在，而只是因为无限一旦完成并实现，就不再成为无限，而成为有限。但如果所有的无限都变成了有限，无限就不存在了，那么有限也就不存在了。因为有限是存在的，无限是无法完全实现的。

实际上，有限和构成无限，无限是通过有限而存在的。这种情况也体现在数学上。比如一个整数集合是由具体的整数组成的，这个集合的无穷大用无数个有限整数的和来表示。

有限和无限在一定条件下可以相互转化。比如物质是无限可分的，这个“分”的过程就是有限和无限相互转化的过程。《庄子天下篇》说:“一尺杵，半天不尽”，表达了这个过程。

一尺之外，每天取一半，这是一个从有限到无限的过程。就脚的长度而言，分裂的过程是无限的，无论多小，总能取其长度的一半，这是一个无限的过程。但是，单纯的量的划分是有限度的，当达到这个限度时，就会转化为质的区别。作为某种品质，具体的分割可以穷尽，即当它被赋给某个关节点时，就无法维持“气”的品质。这个关节点就是“分”的一个极限，标志着分的过程从无限到有限的转变。这个关节点大约在第三十天达到，此时杵的长度约为十亿分之一英尺，小于分子的数量级，不再成为它的杵。可见，“分”的过程是有限与无限、质与量对立统一的过程。

在数学中，有限与无限之间的转换往往是通过极限来实现的。例如，一个收敛的正项级数的和由无穷项组成，但其极限值是一个特定值。反过来，正弦函数的值是其定义域中的一个具体值。但它被展开成一系列无穷项。再比如导数和积分，也是特殊极限，所以也是有限和无限变换的有力工具。数学可以通过有限和无限变换的杠杆解决很多实际问题。

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