非线性解析反演与遗传算法相结合的反演方法
(青岛海洋大学海洋地球科学学院，青岛266003)
何桥登
(长春地质学院地球物理系，长春130026)
各向异性介质的参数反演通常是一个非线性优化问题。非线性反演方法可分为两类:随机搜索方法，如蒙特卡罗方法、模拟退火和遗传算法，以及基于非线性最小二乘理论的非线性解析反演方法。遗传算法可以找到全局最优解，但这是一种耗时的方法。非线性解析反演方法可以给出与初始模型相关的局部最优解。但是，这种方法收敛速度很快。遗传算法与非线性解析反演方法相结合的反演方法，利用了这两种反演方法的优点，克服了它们的缺点。因此，组合反演方法不仅能快速收敛，而且能找到全局最优解。如何将遗传算法与非线性解析反演方法合理地结合起来是非常重要的。本文提出了一种组合方案，即在遗传算法多次迭代后进行非线性解析反演。理论实例表明，组合反演方法具有上述特点。
遗传算法；非线性解析反演；各向异性介质的非线性组合反演
1简介
遗传算法是一种基于概率论的随机搜索方法，用于解决多极值复杂优化问题。
梯度是模型空间的对偶空间中的一个元素。模型空间及其对偶空间通过公式(4d)与模型参数的协方差算子Cm=Diag(Cp，Cc)相关联。和的表达式将在后面给出。
等式(4)是梯度反演方法的基本公式。当公式中的每个量都已知时，就可以进行迭代了。在这些变量中，梯度向量是最关键的。
2.2目标函数
在最小二乘理论中，权函数是协方差算子逆的核心。假设数据集中的误差是不相关的，它只取决于时间或者源和接收器的位置，那么就有，满足结束时间条件。
3结合倒置法
3.1遗传算法和非线性解析反演方法的优缺点
遗传算法是一种利用概率论解决多极值复杂优化问题的随机搜索方法。它从一组随机选择的模型开始，在没有更多先验信息的情况下广泛有效地采样模型空间的最优部分。虽然遗传算法是基于自然选择和遗传规律，搜索模型空间的最优部分来得到最优解，但这是一种计算量很大的方法。由于地震模型空间大，用全局最优化方法估计各向异性介质的参数非常耗时。
目标函数的梯度信息是非线性解析反演方法修改模型参数的基础，可以给出接近初始模型的局部最优解。如果初始模型选择得当，即当初始模型处于全局最优解所在的目标函数的低点时，非线性解析反演方法可以收敛到全局最优解。然而，仅仅给出一个接近全局最优解的初始模型的概率是很小的，尤其是在没有任何模型参数先验信息的情况下。但需要强调的是，非线性解析反演方法具有较快的收敛速度。
充分发挥非线性解析反演方法快速收敛和遗传算法全局最优解的优点，克服前者只能找到局部最优解和后者计算量大的缺点，具有重要意义。非线性解析反演方法和遗传算法的结合可以达到上述目的。在组合反演方法中，遗传算法的作用是提供一个接近全局最优解的模型，非线性解析反演的作用是尽快找到全局最优解。因此，组合反演方法具有搜索全局最优解的能力和比遗传算法收敛更快的特点。
3.2组合方案
遗传算法在优化过程中不断搜索整个模型空间。在每次迭代结束时，获得这一代的最优模型。根据遗传算法[3]的数学原理，在下一代中增加最优模型的数量，通过交叉和变异产生新的模型。在下一代群体中，最优模型可能与上一代相同，也可能比上一代更差。所有这些最优模型可能在目标函数的同一个低点，也可能在其他低点。遗传算法需要多次迭代才能找到确定极值的最优模型。遗传算法的随机性使得遗传算法成为一种耗时的方法。然而，正是遗传算法的随机性保证了它能够搜索到全局最优解。
如果将遗传算法每次迭代的最优解作为非线性解析反演的初始模型，则可以通过非线性解析反演找到与初始模型相邻的局部最优解。由于非线性解析反演是一种确定性方法，它根据目标函数的梯度方向对模型进行修正，因此非线性解析反演方法只需几次迭代就能收敛。非线性解析反演得到的解是否是全局最优解，非线性解析反演方法本身无法保证。只有当遗传算法提供接近全局最优解的初始模型时，非线性解析反演才能收敛到全局最优解。
在反演方法中结合遗传算法的匹配方法和非线性解析反演方法是非常重要的。非线性解析反演方法获得接近遗传算法提供的初始模型的局部最优解后，由于遗传算法的随机性，其最优解与后代的局部最优解相同。如果在遗传算法的每次迭代后进行非线性解析反演，那么几代组合反演的结果都是一样的。显然，一些非线性解析反演是不必要的。因此，组合方法应该是在遗传算法多次迭代后进行非线性解析反演，然后将非线性解析反演的结果作为下一代种群中的母本模型。图1是组合求逆的框图。
图1组合反演框图
4个例子
为了验证联合反演方法的优越性，分析了一维多层横观各向同性介质参数反演理论的一个实例。
图2是示出目标函数值和迭代次数之间的关系的曲线图。在这个例子中，在遗传算法的每次迭代之后进行非线性解析反演迭代。联合反演的误差在前几次迭代中迅速减小，尤其是前三次迭代。结合反演方法在第10次迭代中达到的较小误差，遗传算法仅在第42次迭代中达到。组合反演的误差比遗传算法的误差更大。这是因为非线性解析反演得到的模型在遗传算法中作为母体参与繁殖。由于遗传算法的随机性，这个模型经常被新的模型取代。这两种模型可能位于目标函数的两个不同的谷，因此非线性解析反演的结果是不同的。
虽然结合反演的目标函数有一点振荡，但也存在几次迭代后目标函数几乎不变的现象。这意味着这些迭代的最优模型非常接近。在这种情况下，非线性解析反演不能提供很大的改善。所以此时不需要进行非线性解析反演，否则只会增加计算量。
图2示出了反演(实线)和遗传算法(虚线)的误差与迭代次数之间的关系。
在反演中每次遗传算法迭代后进行非线性解析反演迭代。
图3是另一个例子。在这个组合反演例子中，每五次遗传算法迭代进行一次非线性解析反演。这里遗传算法占优势。此时组合反演的误差函数明显小于遗传算法。结合第5次迭代结束时反演误差的突然减小和第10次迭代时的小误差，遗传算法在第42代才达到。遗传算法从来没有达到过组合反演的最小误差。组合反演的误差在后期迭代过程中稳步下降，这就是遗传算法占优势的原因。
从这个例子可以看出，如果将遗传算法与非线性解析反演方法合理地结合起来，那么组合反演方法的收敛速度要比遗传算法快得多。
5结论
非线性组合反演方法提升了遗传算法和非线性解析反演方法的优点，抑制了其缺点。这是一种收敛速度快的全局反演方法。
遗传算法与非线性解析反演方法的结合是组合反演中的重要内容。从实例可以看出，经过5次遗传算法迭代后的非线性解析反演与组合反演的效果明显优于每次遗传算法迭代后的非线性解析反演与组合反演的效果。但是，遗传算法在组合反演中的连续迭代次数以及整个迭代过程中连续迭代的可变性还有待进一步研究。
图3示出了反演(实线)和遗传算法(虚线)的误差与迭代次数之间的关系。
结合反演，在遗传算法的每五次迭代之后进行非线性解析反演迭代
遗传算法在组合反演中的作用是提供一个接近全局最优解的初始模型。联合反演的运算速度主要取决于遗传算法的运算速度。均匀设计理论可以应用到遗传算法中，加快随机搜索的速度。
和遗传算法一样，也可以采用其他随机搜索方法，形成与非线性解析反演方法相结合的反演方法。
参考
[1]E.Berg .多参数数据反演的简单收敛遗传算法。SEG60扩展摘要，1990，ⅱ，1126 ~ 1128。
[2]O.Gauthier，J.Virieux和A.Tarantola .地震波形的二维非线性反演:数值结果。地球物理，1986，51，1387~1403。
[3]D.E.Goldberg .搜索、优化和机器学习中的遗传算法。爱迪生韦斯利，马萨诸塞州雷丁，1989。
[4]J.H.Holland,《自然和人工系统中的适应》。密歇根大学出版社，安阿伯，1975。
[5]P.Mora .多炮检距地震数据的二维弹性反演。地球物理学，1988，52，2031~2050。
[6]G.S.Pan、R.A.Phinney和R.I.Odom,《分层声学介质中平面波地震图的全波形反演:理论和可行性》。地球物理，1988，53，21~31。
[7]M.J .波尔萨尼、P.L .斯托法、M.K .森等..地震波形反演的遗传和线性联合反演算法。SEG63扩展摘要，1993，692~695。
[8]桑布里奇、塔坦托拉和肯尼特地震波形非线性反演的另一种策略。地球物理勘探，1991，39，723~736。
[9]M.Sambridge，G.Drijkoningen .地震波形反演中的遗传算法.地球物理学报，1992，109，323~342 .
[10]M.K.Sen，P.L.Stoffa .利用遗传算法对模型空间进行快速采样:地震波形反演实例.地球物理学杂志，1992，109，323~342 .
[11]P.L.Stoffa，M.K.Sen .使用遗传算法的非线性多参数优化:平面波地震图的反演。地球物理，1991，56，1794~1810。
[12]A.Tarantola .声学近似中的地震反射数据反演。地球物理学，1984(a)，49，1259~1266。
地震反射反演问题。载于:F.Santosa、Y.-H.Pao、W.W.System和C.Holland编辑。声波和弹性波反问题. Soc.Industr.Appl.Math .，1984(b)，104~181。
[14]A.Tarantola .地震反射数据的非线性弹性反演策略。地球物理，1986，51，1893~1903。
[15]A.Tarantola .反问题理论:数据拟合和模型参数估计方法。爱思唯尔科学出版公司，1987。
[16]周辉，何。遗传算法在各向异性介质参数反演中的应用。长春地质学院学报，1995，25，增刊1，62 ~ 67。
[17]周辉。各向异性介质波动方程正演模拟及其非线性反演方法研究。长春地质学院博士论文，1995。