哈斯勒·惠特尼是做什么的？

hassler Whitney)(1907+0907年3月23日—13月10，0989)，美国数学家，专攻微分几何，早年研究图论。沃尔夫数学奖得主在1982。发表论文近80篇，出版专著3部，分别是《几何积分理论》(1957)、《复分析变种》(1972)和《数学活动》(1974)。

中文名:哈斯勒·惠特尼。

哈斯勒·惠特尼

出生日期:1907年3月23日

死亡日期:1989年3月10。

职业:数学家

代表作:几何积分理论等。

角色的生活

学生时代

惠特尼的祖父是一位语言学家，他的祖父是著名的天文学家s·纽科姆(纽科姆，1897-1898是美国数学学会主席)，他的父亲是一名法官。他年轻时喜欢做机械玩具，对数学没有偏好。据他自己说，唯一和他的数学家生涯有关的事情，就是在9岁的时候思考数字能被9整除的公式。在此基础上，推导出能被11整除的数的公式。小学和中学期间只学了一点数学，1921-1923去瑞士读书，除了德语还学了一年法语和一年爬山。5438+0924，他去耶鲁大学学物理。学完了就忘了。在1928取得物理学学士学位后，继续专攻音乐，在1929取得音乐学士学位。他一生热爱音乐，有很高的音乐天赋，会弹钢琴，会拉小提琴、中提琴、双簧管等乐器，曾任普林斯顿交响乐团首席小提琴手。他也喜欢爬山。全集收录了他65，438+04岁时站在陡峭的瑞士阿尔卑斯山顶的照片。大学毕业后，因为对四色问题感兴趣，他去哈佛大学参加了G.D. boekhoff的博士考试。但他第一次考试就不及格，这让伯克霍夫极为愤怒。但是，伯克霍夫收留了这个从不自卑的学生，在他不擅长的领域对他进行指导。惠特尼的论文相继问世。1932年拿到博士学位的时候，他写了将近10篇论文，都是关于图论的。他的博士论文题目是“色数图”，其中定义并计算了“色数”。

使用寿命

因为工作出色，从1931—1933任美国国家研究委员会研究员，从1933任哈佛大学数学系讲师，从1946任教授。这时他的方向从图论变成了拓扑学。1935年9月，参加苏联莫斯科召开的国际拓扑学会议。这次会议成为拓扑学史上的一个里程碑。他上一篇论文的题目是《莫斯科1935:拓扑学向美国转移》。文章写道，在会上，h·霍普夫成了他最喜欢的地形学家。当时大人们都去了，拓扑学的面貌也在发生变化:四人不约而同地引入了上同调，同伦论也正式出现。向量场问题的应用导致了纤维丛概念的出现，这与惠特尼的工作密切相关，也决定了惠特尼在接下来的65，438+00年的工作方向。

二战期间，他参与了战时研究。

1943-1945，科研发展局国防研究委员会应用数学组从事研究。

战后，他在美国数学会1946年会上发表了题为《光滑流形的拓扑》的演讲。

1948-1950担任美国数学学会副主席。

从1944到1949，他是美国数学杂志的编辑。

数学评论编辑从1949到1954。

65438-0950年在哈佛举行的国际数学家大会程序委员会委员，在大会上做了“N维空间中的R维积分”的报告。

1952年被任命为普林斯顿高等研究院教授，1977年退休。在此期间，他是美国国家科学基金会数学组的第一任主席。

1966-1967国家研究委员会支持数学科学委员会成员。

从1967开始，他的兴趣完全转向了数学教育，尤其是中小学教育。他亲自深入课堂，了解学生的想法和感受，发现了数学教学中的许多问题。他指出，儿童的直觉方式与数学家的直觉方式非常接近。当时学校教学目标狭窄，语言贫乏。当学生遇到问题时，他们只会代入公式，而不是学会思考。教学就是灌输莫名其妙的概念，应付标准化考试。学生只能被动接受。为此，他制定了教师进修计划，为教师编写教材。在美国、英国、比利时、巴西等国家担任数学教学顾问。65438年至65438年任国际数学教育委员会中心主席。

个人荣耀

由于他非凡的贡献，他获得了许多荣誉。1945当选美国国家科学院院士，1976获美国国家科学奖章，1982获沃尔夫奖，1985获美国数学会斯蒂尔奖，终身成就。

数学成就

惠特尼发表了近80篇论文和3部专著，分别是《几何积分理论》(1957)、《复分析变种》(1972)和《数学活动》(1974)。

图论

惠特尼一生都对四色问题感兴趣。他最早和最后的数学论文都是关于四色问题的。他给出了四色问题的等价命题，研究了可约性问题。从四色问题开始，他研究了一般图论，特别是两个图同胚的条件:比如G和G '是两个连通图，且都不包含ab，ac，ad的弧等三种形状。如果两个有公共顶点的弧与另一个图的两个有公共顶点的弧之间有任何一一对应，那么两个图是同胚的。他定义了图的连通性。给出了n重联的充要条件(所谓n重联，是指一个至少有n+1个顶点的图，不能通过去掉n-1个或更少的顶点和连接它们的弧来断开。如果图Gn是重连的，但不是n+1，则称其连通性为n)。他还定义了图G的对偶G’，并证明了图G可以不连通。

他的博士论文是关于图的着色问题，其中证明并计算了M(λ)的公式，其中M(λ)是一个具有λ种颜色的图的不同着色方法的个数，他引入了一组数mij，不仅可以用来计算M(λ)，还可以定义图G的拓扑不变量；

其中r是图G的秩，n是G的零度，他用这些不变量来研究图的分类。

惠特尼在组合论方面最大的成就是他引入了拟阵理论，这是一种抽象的线性相关理论，不仅包括作为其特例的图论，还包括网络理论、综合几何和横切理论。他的出发点非常简单，考虑矩阵M的列C1，C2，Cn，并且这些列的子集或者线性无关或者线性相关，因此

(1)独立集的任何子集也是独立的；

(2)如果Np和Np+1是P列和p+1列的独立集合，Np加Np+1中的一列构成p+1的独立集合。

他把满足这两个条件的系统称为拟阵，并把许多图的性质推广到拟阵。

可微映射和奇点理论

(1)可微函数的解析延拓Whitney对拓扑学的主要贡献是建立了微分拓扑学。因此，拓扑学所考虑的连续映射必须推广到可微的情况。惠特尼在他的早期工作(1932-1942)中为此奠定了基础。

1925苏联数学家улысон(uryson)证明了如果a是n维欧氏空间e中的闭集(有界或无界)且f(x)是定义在a中的连续函数，则f可延拓到整个e .如果f(x)属于a中的Cm，则f和f在a中相等，f对m阶的导数等于f的导数.然后他考虑了a是任意子集的情况.这时可以在包含a的开集上约化1，他还研究了泰勒展开余项的可微性，这对于研究奇点理论是非常重要的。

(2)奇点理论奇点理论是惠特尼最重要的创造之一，它来源于微分嵌入和浸入问题。奇点是临界点的概括。20942年，他第一次

本文研究了N维欧氏空间En到E2n-1的微分映射F的奇异性。发现如果稍微改变F，就可以得到f*。它的奇点是一个弧奇点，可以转化为标准形式:

yi=xi(i=2，，n)，

ym+i-1=xixi(i=2，，n)。

在1955中，他首先将平面E2到E的奇点类型进行了分类；结果只有两种，一种是fold，一种是Cusp，它的标准是。

通过这篇论文，创立了奇点理论。在1956中，他对En→Em的微分映射的奇点的一些情况进行了分类，得到了标准型，包括n≥m)=(4 ^ 2，3和(n，m)=(4，4)，(5，5)，(5，4)，(n，2n-2。当时鲜为人知。这个奇点分类的基本问题，连同其他问题，成为奇点理论中的一个热门话题。同年，R. Thorm利用自己的横向理论和万有折叠理论取得了突破，这项研究成为他的突变理论的基础。后来，J. Mather在1968-1971年建立了稳定性理论。自1967以来，以苏联数学家B. ирнолъв为首的苏联学派在理论和应用方面取得了辉煌的成就。

1948年还发表了《可微函数的理想》，开辟了奇点理论的又一新方向。后来B. Malgrange等人在这方面有了很大的突破，包括证明了“预备定理”。

(3)等级理论等级理论是惠特尼的最后一个理论，从某种意义上说，也是奇点理论的自然延续。通常研究的欧氏空间和流形都有很好的齐次结构(局部有相同的结构)，但这即使对于代数簇也不满足。特别地，从解析几何继承的实代数簇中存在奇点。从1957到1965，Whitney研究了实代数簇的拓扑，讨论了簇到流形的分解。在1957中，Whitney引入了分层的概念，将代数簇和解析簇分解为层，后来被Tom发展为层次集理论。在1965中，S. Schaevitz证明了任何半解析集都有Whitney分层。在1965中，Whitney为解析簇定义了切向量、切平面族和切锥的概念，并考虑了切集的协调性。

差分流行拓扑

虽然庞加莱甚至黎曼都研究过微分流形的拓扑，但是由于工具的缺乏，惠特尼真正创立了微分流形的拓扑和微分拓扑。他在1936年的论文《微分流形》中奠定了微分流形的理论基础。他给出了微分流形的固有定义。在上面定义Cr结构(1≤r≤∞)。他证明了Cr流形的所有Cr结构都包含C∞坐标系，并且它们的C∞结构是唯一的。这种C∞结构称为流形的微结构或微分结构或光滑结构，对应的流形称为徽流形或微分流形或光滑流形。微分流形与拓扑流形有着本质的区别。即一个拓扑流形可能不允许任何微分结构或多重微分结构，但任何微分结构都允许实解析结构和黎曼度量，这也是Whitney证明的。在这篇论文中，他证明了一些基本定理，特别是嵌入和浸入定理:任何N维微分流形都可以微分嵌入R2n+1(2n+1维欧氏空间)中。在1944中，他改进了N维微分流形可以嵌入R2n，浸入R2n-1。对于某些流形，这些结果已经达到完美。这项工作开辟了微分流形的一个重要领域，此后吴文俊等许多拓扑学家都做出了贡献。

纤维丛和指示类

惠特尼在1935首次定义了真正的“纤维空间”，随后他称之为“球空间”，在1940他又将其改为“球簇”。在1937和1941中，他就此做了两次报告，包括很多基本面的结果，他也打算这么做。它从未完成。他的兴趣一直集中在“典型阶层”上。1936年，他和瑞士数学家E. Stiefel在1935年独立定义了这类特征类，后来称之为Stiefel-Whitney特征类。他的目的是研究具有特征类的微分流形的拓扑。纤维丛只是一个工具，所以他的定义不是每一个细节都很明确，但是很笼统。1940-1950年间，纤维丛成为研究许多拓扑问题(尤其是同伦、同调和微分几何问题)的主要工具，N.E. Steenrod专著Topologyoffi-berbundles的出版标志着纤维丛理论的成熟，其中Whitney的贡献尤为突出。

(1)分类问题从一开始，Whitney主要研究纤维束的分类问题。在1937中，他得到了球丛的分类空间，即Glassman流形Gn，R，并断言基空间为B，秩为R的球丛的同构类为[B，Gn，R]，即B到Gn，R映射的同伦类(nr)。

Whitney还知道以B为基空间的球簇的簇空间只依赖于B的同伦型，这个事实被J. Feldbau在1939中证明了。另一方面，早在1935，Whitney就为纤维丛ξ和连续映射G:b’→b构造了一个新的纤维丛g*(ξ)。

(2)特征类Stiefel只考虑微分流形的切丛的特征类，而Whitney考虑的要广得多。他认为任何球丛(e，b，p)的底空间b也可以是任意局部有限的简单复形。他将特征类定义为Stiefel流形Sn，m的整系数同调类。他指出Sn，m的同调群。

在1937中，他用上同调定义了性类。在1940中，他指出对于连续映射，

g:B'0→B，

如果E'=g*(E)是E的回调，那么

Wr(E')=g*(Wr(E))。

同时，他给出了惠特尼求和公式:定义两个球簇e′和e ″在同一底空间上的收益。

其中∪曲面积，他指出当r≥4时，证明“极其困难”。在1941中，他只给出了E和E '都是线丛的证明。第一个公开发表的证明是吴文俊在1948给出的。他还用向量丛代替了球丛。同年，陈省身也发表了另一个证明。

Whitney也给出了指示类甚至指示类的形式幂级数的概念。至此，斯蒂费尔-惠特尼示范班的理论基础正式确立。后来，米尔诺尔在惠特尼提出的四个定理的基础上，开启了指示类理论，以及其他指示类，特别是庞特里亚金(понт)

(3)指示类的应用在拓扑学和几何学中起着极其重要的作用。惠特尼本人主要利用指示性课程来学习沉浸式。比如他证明了8维实射影空间P8(R)不能浸入R14，但可以浸入R15。他的理论后来被吴文俊等人发展。

代数拓扑

1935是代数拓扑的转折点，主要标志是同调理论和同调伦理学的建立。在庞加莱引入同调概念的四十年后，四位数学家几乎同时并独立地引入了同调概念。分别是J.W .亚历山大、惠特尼、e .切赫(切赫)和A.H .安德雷·柯尔莫哥洛夫(колмогоров)。其他三个在660的时候。

在同伦理论中，在1937中，Whitney用同样的语气表达了hopf-Hurewicz准则。若X是n维局部有限胞复形，Y是n维(n-1)连通空间，则F，G: X→ Y是同伦当且仅当。

HN(Y；z)→Hn(X；z)。

由此推断

〔X，x0；y，y0】úHn(X；πn(Y))

是一一对应的。这些条件对于不同维度的映射不一定成立。Whitney在1936中给出了二维复映射到二维或三维射影空间的同伦代数条件，但没有发表。在1941中，H.E. Robbins把映射的同伦分类从二维复形推广到任意空间。后来，奥卢姆对其进行了大规模的简化和推广。对于三维复形，庞特里亚金在1941中考虑了其映射到S2的同伦分类，其中首次应用了新出现的上积。其实惠特尼早在1936就已经得到了相应的结果。他在1948研究简单连通性。在此基础上，给出了三维复K到R中两个连续映射同伦的充要条件和映射扩张的障碍类。还需要指出的是，Whitney在1938中引入了Abel群张量积的概念，这是代数拓扑和同调代数的必备工具。

几何积分理论

在1946-1957期间，惠特尼建立了几何积分理论，这是一种更一般的积分理论，比如N维空间中的R维积分。由此，他对缠绕和上闭链给出了解析解释，如几何链是“一般位置”的奇异链上的函数。他用Lipschitz条件代替了E Cartan和G deRham的外微分形式理论中的可微条件，得到的积分理论等价于代数同调理论，对于更一般的Lipschitz空间也成立，包括多面体和绝对邻域收缩核作为其特例，特别是将Stokes定理推广到Lipschitz空间。他的理论概括在“”