非欧几何的产生和发展
1。。非欧几何的发展史
提出1和1的问题
非欧几何的发展起源于2000多年前欧几里得的《几何原本》。其中，公设五是欧几里德本人提出的。其内容是“若一条直线与两条直线相交，同一侧的两个内角之和小于两个直角，则两条直线无限延伸后相交于该侧的一点”。这个公设之所以引起广泛讨论，是因为它不像其他公理和公设那样简洁。欧几里得本人对这个假设并不满意。他在证明了所有不需要平行公设的定理后使用了它。他怀疑它可能不是一个独立的公设，它可能被其他公设或公理所取代。从古希腊时代到19世纪的2000多年里，数学家们一直在担心这个公设，他们一直在不懈地试图解决这个问题。数学家主要沿着两条研究途径前进:一条途径是找到一条更自明的途径。另一种方法是试图从其他九个公理和公设中推导出平行公设。沿着第一条路找到的第五公设的最简单的表达式是苏格兰数学家J，Play Fair 1748-1819在1795中给出的:“越过直线，只有一条直线与原直线平行”，这是我们今天中学课本中使用的平行公理，但实际上古希腊数学家普罗克洛斯在5世纪就陈述过了。然而，问题是所有这些替代公设并不比最初的第五公设更容易被接受和“自然”。历史上第一个主要尝试证明第五公设的是古希腊天文学家托勒密(约公元150)。后来普罗克洛斯指出，托勒密的“证明”无意中假设了只有一条直线可以平行于直线之外的已知直线，这就是上面提到的Prefil公设。
1.2问题的解决方案
1.2.1非欧几何的萌芽
沿着第二条路论证第五公设的工作在18世纪取得了突破。首先，意大利人塞开里(Saccharn 1667-1733)提出用归谬法证明第五公设。塞开里从四边形ABCD开始。如果角A和角D是直角且AC=BD，则很容易证明角C等于角D(2)锐角假设:角C和角D都是锐角。最后，在锐角假设下，塞开里推导出一系列结果，这些结果使他放弃了最终结论，因为这与他的经验相反。但客观上为非欧几何的建立提供了一种非常有价值的思路。它开辟了一条不同于前人的新路。后来，瑞士数学家朗伯(拉姆比TR 1728-1777)做了与塞开里类似的工作。他还考察了一种四边形，其中三个角是直角，而第五个角有三种可能:直角、钝角、锐角。他还得出“三角形的面积取决于它的内角之和；三角形的面积与角的差和内角的和成正比。他认为只要一组假设不互相矛盾，就提供了一种几何可能性。法国著名数学家勒让德(A.M .，Legendar 1752-1833)也非常关注平行公设，他得到了一个重要定理:“三角形的内角之和不能大于两个直角”。19世纪初，德国人施韦卡特(1780-1859)把这种思想说得更清楚了。他通过对“星形几何”的研究指出:“有两种几何:狭义几何(欧几里得几何)星形几何，在后一种中，三角形有一个特点。
1.2，2非欧几何的诞生
上面提到的一些数学家，尤其是朗伯，是非欧几何的先驱，但他们并没有正式提出一种新的几何，并建立其系统的理论。著名的数学家高斯(Gauss 1777-1855)、伯约(波尔约1802-1860)和罗巴切夫斯基(罗巴切夫斯基1793-1856)就是这样做的。高斯是第一个指出欧几里得第五公设独立于其他公设的人。早在1792年，他就有了建立逻辑几何的想法，其中欧几里得第五公设不成立。1794高斯发现，在他的几何中，四边形的面积与四边形的两个直角之和与内角之差成正比，由此推导出三角形的面积不超过一个常数。无论顶点相距多远，他都进一步发展了他的新几何，这就是所谓的非欧几何。他坚信这种几何学在逻辑上是不矛盾的、真实的、适用的，因此他也测量了3。
他认为山峰形成的三角形的内角之和只能在一个大三角形中显示出来。然而，由于仪器的误差，他的测量失败了。遗憾的是，高斯生前并没有任何关于非欧几何的著作。人们是从他死后与朋友的通信中得知他对非欧几何的研究成果和观点的。
2。。非欧几何发展史的启示
非欧几何的诞生是自希腊时代以来数学的一个重要创新步骤。这里我们将沿着事物的历史发展过程来描述这段历史的意义。在评价这段历史时，M. Klein说:“非欧几何的历史表明，数学家们以一种惊人的形式受到了其时代精神的巨大影响。当时，塞开里拒绝了欧几里得几何的奇异定理，并断定欧几里得几何是唯一正确的。然而，
数学本身2.1
2.1.1数学发展的相对独立性
通过逻辑演绎建立起来的非欧几何体系为数学的发展提供了一个模型，使人们清楚地看到数学可以有自己的逻辑体系，可以独立发展。数学发展的相对独立性突出表现为:数学理论的发展往往是超前的，可以独立于物理世界进行，超前于社会实践并反作用于社会实践。推动数学乃至整个科学的发展。19世纪以前，数学总是与应用数学紧密结合，即数学不能脱离实用学科而独立发展。研究数学的最终目的是解决实际问题，但非欧几何第一次使数学的发展领先于实用科学，超越了人们的经验。非欧几何为数学创造了一个全新的世界:人类可以运用自己的思维。按照数学的逻辑要求自由思考，所以数学应该被认为是任何不是由研究自然的需要直接或间接产生的结构。这个观点逐渐被人们理解，导致了今天纯数学和应用数学的分裂，LlJ..
2.1.2数学的本质在于它的充分自由
非欧几何的创立，展示了人们一直意识到却没有清晰理解的数学空间与物理空间的区别。数学家创造了M几何的理论，然后决定了他们的空间观。这种基于数学理论的空间和自然的观点，一般不能否认客观世界的存在。它只是强调了一个事实，即人们对空间的判断所得出的一系列结论纯粹是自己的创造。物质世界的现实和这个现实的理论永远是两回事。正因为如此，人类探索知识、建立理论的认知活动将永无止境。非欧几何的创立使人们认识到数学是人类精神的创造，而不是客观现实的直接复制，这使数学获得了巨大的成功。同时也让数学失去了现实的确定性。数学从自然和科学中解脱出来，继续自己的旅程。对此，m·克莱因说:“数学史的这一阶段使数学摆脱了与现实的紧密联系，使数学本身与科学分离，就像科学与哲学分离，哲学与宗教分离，宗教与万物有灵论和迷信分离一样。现在乔治·康可以用了。
2.1.3几何概念的更新
非欧几何的出现打破了欧几何一统天下的局面，几何的概念得到了更新。非欧几何的出现打破了这一观念，促使人们深入探讨欧几何乃至整个几何的基本问题。
2.2文化和教育方面
2.2.1非欧几何是人类敢于挑战传统、献身科学的精神产物。高斯、博约和罗巴切夫斯基几乎同时发现了非欧几何，但他们对新几何的态度却不同。高斯很久以前就意识到了新几何的存在，但他并没有向世界宣布他的新思想。他受到康德唯心主义思想的影响。不敢挑战欧几里得几何，持续了2000a年，耽误了非欧几里得几何的诞生。博约致力于平行公设的研究，最终发现了新的几何。还有一个故事。当高斯决定对他的发现保密时，博约急于通过高斯的评估将他的研究公之于众。然而，高斯给父亲F·博约回信说:“赞美他就等于赞美我自己。全篇的内容。人们认为高斯想剽窃自己的成果，尤其是在罗巴切夫斯基关于非欧几何的著作发表后，他决定不再发表任何论文。
罗巴切夫斯基的新几何思想在1826年没有得到同时代人的理解和赞扬，反而受到了讽刺和攻击。“但是没有任何力量可以动摇罗巴切夫斯基的信心。他就像矗立在大海中的灯塔，惊涛骇浪的冲击显示了他的刚毅意志。他一生都在为新思想而奋斗。失明时，他还听写了潘几何。
3.发现新几何的过程启示我们:只有突破对传统和权威的迷信，才能充分发挥科学创造力；只有勇于吃苦，献身科学，才能追求和捍卫超越时代的真理。一般认为，高斯、博约和罗巴切夫斯基同时发现了新几何，这是人们对历史的正义，但人们更愿意称之为罗氏几何，这正是人们献给罗巴切夫斯基的科学。
来自精神的高度赞扬。
2，2，2非欧几何的精神促使人们建立一种宽容和包容的产物。
非欧几何的建立解放了人类的思想，新的思想不断涌现。“数学是作为人类思想的自由创造而出现的”5]。数学的发展使康托尔由衷地说，“数学的本质在于它的自由”。这种思想活跃民主的艺术氛围，使得数学以前所未有的速度发展。非欧几何的曲折建立和由此带来的数学发展，使人们认识到自由是创造出来的，百家争鸣。
2.3哲学思考
2.3.1认识论变化
法国哲学家、数学家亨利·庞加莱说7:非欧几何的发现是一场认识论革命的根源。简而言之，人们可以说这一发现成功地打破了传统逻辑所要求的、束缚任何理论的困境:即科学的原理要么是必然真理(先验综合的逻辑结论)；要么是断言的真理(感官观察的事实)。他指出:原则可能是简单武断的约定，但这些约定绝不是与我们的内心和本性无关的。它们只能靠所有人的默契而存在，它们紧密依赖于我们生活的环境中的实际外部条件。事实上，也正因为如此，对于探索未知的或目前无法感知的事物，在哲学领域，我们可以基于对自然的理解而达成某种“默契”，这是理解一切的开始和基础。另外，在理论评价上，我们放弃非此即彼的判断，爱因斯坦说[8]:这个非此即彼的判断是不正确的。这些法官和数学家的判断，对思想和理论的建立，尤其是对认识论的建立，无疑是最直接的影响。现代进一步的理论和技术进步离不开其内在影响，如“相对论”的出现，特别是对时空的进一步认识，集合论的建立和发展，现代分析基础、数理逻辑、量子力学等学科都可以看作非欧几何的直接成果。非欧几何的建立所带来的震动至今没有消失。
2.3.2打破人类的传统思维方式
分析和评价一个理论的首要依据应该是看它是否“相容”，即是否已经或将要得出矛盾的结论，如果一个理论不能“自圆其说”。说明这个理论只是对人类经验的简单表述和列举，还没有进化到“理论”的高度；或者至少需要进一步完善。本来，非欧几何和欧几何理论的前提是矛盾的，而欧几何已经被普遍接受。接受非欧几何是否必然导致这样的问题，矛盾的前提是否一定能导致矛盾的结果？传统的思维方式认为这是确定的，即矛盾的前提必然导致矛盾的结果。接受非欧几何就意味着突破这种传统思维方式的束缚。随着时间的推移，特别是非欧几何成果的广泛应用，人们意识到在建立理论的过程中，我们不能保证矛盾的前提会导致矛盾的结果。因此，在建立理论的过程中，尤其是在推导某一结论的过程中，兼容性是必要的。
2-4对数学研究人员
2.4.1勇敢面对科学探索路上的风暴。
在科学探索的征途上，一个人经受住一时的挫折和打击并不难。难的是要有在逆境中长期甚至终身奋斗的勇气。罗巴切夫斯基的新理论违背了两千多年的传统思维，动摇了欧几里得几何的权威基础，也违背了人们的“常识”。他的理论一发表，就在社会上遭到嘲笑、攻击，甚至侮辱和谩骂。大主教宣称他的理论是“异端邪说”；大多数权威称罗巴切夫斯基的理论为“伪科学”和“笑话”；即使是心地善良的人，最多也只能抱着“对一个错误的怪人宽容抱歉的态度”；甚至许多著名的作家都起来反对这种新的几何学。比如德国诗人歌德在他的名著(浮士德)中写过这样一首诗:“有几何，日名‘非欧’，我自己也笑得莫名其妙。”面对各种攻击和嘲笑，罗巴切夫斯基无所畏惧，不屈不挠。他就像矗立在大海中的灯塔。它显示了一个科学家“追求科学需求的特殊勇气”。罗巴切夫斯基坚信自己理论的正确性，并为此奋斗了一生。自1826年出版《非欧几何体系》以来，他先后出版了《几何原本》等八本书。去世前，他在洛杉矶几乎双目失明，还用俄语和法语口述了他的代表作《潘几何》。罗巴切夫斯基一生都在逆境中奋斗。对于一个数学家，尤其是一个有声望的学术专家来说，正确识别那些已经成熟或具有明显现实意义的科技成果并不困难。很难及时识别FF。那些尚未成熟或其实际意义尚未揭示的科学成果。数学的发展绝不是一帆风顺的。更多的时候，是充满了彷徨，徘徊，经历艰难曲折，甚至面临更多的危机。每一个科学T的作者都应该勇于在逆境中坚韧不拔。
科学探索者应该是科学领域新事物的坚定支持者。
2_4_2正确看待数学领域的成就
数学是一门历史的或高度积累的学科。重大的数学理论总是建立在继承和发展原有理论的基础上。它们不仅会推翻原有的理论，还会一直包含原有的理论。比如非欧几何，可以看作是欧几何的延伸。所以有数学史家认为“在大多数学科中，一代人的架构被下一代人拆除，一个人的创造被下一代人摧毁。只有数学，每一代人都给老建筑“1”加一层楼。克莱因在考察第五公设研究的历史，特别是18 ~ 19世纪非欧几何由“潜在”向“显在”转化的历史过程时，指的是:“数学的任何一个大的分支或一个大的特殊成就。一些决定性的步骤或证明，都可以归于个人。这种数学积累特别适合于非欧几何。“事实上，从《几何原本》到19世纪，第五公设问题就像磁铁一样吸引和激励着历代天才数学家为之奋斗。这就形成了科学史上时间跨度最长、成员数量最多的局面。在这种同构中，数学家们相互交流思想，交流研究成果，评价研究成果，形成了一个不断竞争和激励的体系。罗巴切夫斯基也从他的前辈和他自己的失败中受到启发，这使他大胆地思考:可能根本没有第五公设的证明。所以他改变了主意。着手寻找第五公设的不可证解。正是沿着这条路，罗巴切夫斯基在试图证明不可证明的第五公设的过程中，发现了一个新的几何世界。也可以说，罗氏几何的M现在归功于塞开里和兰伯特对第五公设的研究。在数学领域越来越细化的今天，精通多个领域的数学家越来越少。所以数学研究者要团结起来，互相交流。以平和的心态对待成绩，不骄不躁。
2.5数学教师和数学学习者
2.5.1在提问和提出难题中培养创新思维。
罗巴切夫斯基认为，作为一名优秀的数学老师，教数学必须精确严谨，所有的概念都应该完全清晰。因为在他看来，数学课程是以概念为基础的，尤其是几何，他在备课中通过对欧几里得几何的逻辑结构的全面思考，发现了其逻辑体系的缺陷。他非常困惑。他决心在教学实践中消除这些缺陷。后来他确实写过一本几何教材《几何教程》(1883)。他不仅在教科书中形成并实施了他的非欧几何思想，而且还谈到了非欧几何。
他的研究总是与教学活动相结合。他的很多关于非欧几何的定理都是在教学过程中从M中推导出来的，并在学生之间进行交流、修改和完善。我们可以肯定地说，他创造非欧几何的伟大成就，是从几何教育改革的角度出发的。这是一个数学教育家取得重大突破的成功范例。正如数学史家博尔加斯所指出的，“罗巴切夫斯基希望建立一种教学方法意义上的新几何”，“这是他改革新几何的一个重要原因”。“他对教学方法的探讨获得了科学的结论，这是人类研究和征服周世界的新途径”。所以作为21世纪的数学老师，要在平时的教学过程中不断学习这个。在教学中引导学生拓宽思维，重视发散思维；教师要选取一些典型问题，鼓励学生创新，大胆猜测和探索，培养学生的创新意识。
2.5 _ 2在教学中培养学生的创新思维
起初，罗巴切夫斯基试图按照他的前辈们的想法来证明第五公设。在仅存的学生听课笔记中，记录了他在1816-1817学年几何教学中给出的几个证明。但是他很快意识到证明是错误的。他的前任和他自己的失败从反面激励了他。让他大胆思考的相反提法:可能根本没有第五公设的证明。于是，他改变了主意，着手寻找第五公设的不可证解。正是沿着这条路，罗巴切夫斯基在试图证明无法证明的第五公设的过程中，发现了一个新的几何世界。“学习始于思考，思考来源于疑问”，我们探索知识的思维过程总是从问题出发，在解决问题中发展。教师也有必要激发学生质疑和提出难题。在教学中，应该鼓励学生提出他们在学习过程中遇到的问题，并与同学讨论，让学生有机会充分表达自己。首先，他们应该提供相同的想法来解决不同的问题，然后他们应该提出个人条件的变化，要求新的想法来解决这些问题，从而打破原有的思维模式，使他们的思维灵活而富有创造性。
2.5.3非欧几何史对大学生学习数学的意义。
大学生可以通过数学文化的学习，了解人类社会发展与数学的互动关系，了解数学发生发展的必然规律；从数学的角度理解人类认识客观世界的过程；培养求知、求真、勇于探索的情感和态度；了解数学的系统性、严谨性和普遍性，了解数学真理的相对性；提高学习数学的兴趣。非欧几何的诞生和发展是曲折而艰辛的，数学家们为此付出了巨大的努力。对今天和未来的数学学习者有着深远而积极的意义和影响。知识学习
而只有通过不断的创新和探索，才能创造新的知识，发现新的知识领域。
“读史使人明智”，学习非欧几何的发展史，对于揭示数学知识的现实来源和应用，引导学生体验真实的数学思维过程，营造探索研究的数学学习氛围，都是非常重要的。
对激发学生对数学的兴趣，培养探索精神具有重要意义。
非欧几何的生成
19世纪20年代，俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基在证明第五公设的过程中走了另一条路。他提出了一个与欧洲平行公理相矛盾的命题，用它代替了第五公设，然后与欧洲几何学的前四公设结合起来，形成了一个公理体系，展开了一系列的推理。他认为，如果基于这个体系的推理存在矛盾，就相当于证明了第五公设。我们知道这其实就是数学中的归谬法。
然而，在他细致深入的推理过程中，他提出了一个又一个直觉上荒谬，但逻辑上矛盾的命题。最后，罗巴切夫斯基得出了两个重要结论:
首先，第五公设不能被证明。
其次，新公理体系中的一系列推理产生了一系列逻辑上不矛盾的新定理，形成了新的理论。这个理论和欧几里得几何一样完美严谨。
这种几何叫做罗巴切夫斯基几何，或简称罗氏几何。这是第一个提出的非欧几何。
从罗巴切夫斯基创立的非欧几何中，我们可以得出一个极其重要且普遍的结论:一组逻辑上矛盾的假设可能提供一种几何。
几乎在罗巴切夫斯基创立非欧几何的同时，匈牙利数学家鲍耶·雅诺斯也发现了不可证明的第五公设和非欧几何的存在。在学习非欧几何的过程中，宝爷也受到了家人和社会的冷遇。他的父亲，数学家鲍耶·法卡什认为研究第五公设是一件浪费精力、白费力气的傻事，劝他放弃这类研究。但鲍耶·雅诺斯坚持努力发展新几何。最后在1832，在他父亲的一本书中，研究成果以附录的形式发表。
当时被称为“数学王子”的高斯也发现第五公设无法证明，研究非欧几何。但高斯害怕这一理论受到当时教会势力的攻击和迫害，不敢公开发表自己的研究成果。他只是在信中向朋友们表达自己的观点，而不敢站出来公开支持罗巴切夫斯基和鲍耶的新理论。
罗氏几何
罗氏几何的公理体系与欧几里德几何的区别仅在于欧几里德几何的平行公理被替换为“从一条直线外的一点，至少可以有两条直线平行于这条直线”，其他公理基本相同。由于平行公理的不同，通过演绎推理，导出了一系列与欧氏几何内容不同的新几何命题。
我们知道，罗氏几何采用了欧洲几何的所有公理，除了一个平行公理。因此，任何不涉及平行公理的几何命题，如果在欧氏几何中是正确的，在罗氏几何中也是正确的。在欧洲几何中，所有涉及平行公理的命题在罗氏几何中都不成立，它们都相应地有了新的含义。这里有几个例子来说明:
黎曼几何
欧氏几何和罗氏几何关于组合、序列、连续、收缩的公理是相同的，但是平行公理是不同的。欧洲几何说“直线外的一点上，只有一条直线与已知直线平行”。罗氏几何说“直线外的一点至少有两条直线与已知直线平行”。那么是否存在“过直线外的一点，不能与已知直线平行”的几何呢？黎曼几何回答了这个问题。
德国数学家黎曼创立了黎曼几何。他在1851所作的一篇论文《论几何作为基础的假设》中明确提出了另一种几何的存在，开启了几何学新的广阔领域。
黎曼几何中的一个基本规律是，同一平面上的任意两条直线都有公共点(交点)。在黎曼几何中，不承认平行线的存在，它的另一个公设说直线可以无限延伸，但总长度是有限的。黎曼几何的模型是经过适当“改良”的球面。
现代黎曼几何在广义相对论中得到了广泛的应用。物理学家爱因斯坦广义相对论中的空间几何是黎曼几何。在广义相对论中，爱因斯坦放弃了时空统一的想法。他认为时间和空间只是在一个足够小的空间内近似一致，而整个时间和空间是不均匀的。物理学上的这种解释和黎曼几何的概念完全相似。
此外，黎曼几何也是数学中的重要工具。它不仅是微分几何的基础，而且应用于微分方程、变分法和复变函数论。
不同的假设
同一直线的垂线和对角线相交。
垂直于同一直线的两条直线互相平行。
还有类似的多边形。
穿越不在一条直线上的三点可以做，只能做一个圆。
罗氏几何
同一直线的垂线和对角线不一定相交。
垂直于同一条直线的两条直线，当两端都延长时，分散到无穷远。
没有相似的多边形。
过不在同一条直线上的三点，不一定能成圆。
从上面列举的罗氏几何的一些命题可以看出，这些命题与我们习惯的直观形象是矛盾的。所以罗氏几何中的一些几何事实并不像欧洲几何那样容易被接受。但是，数学家提出我们可以用我们习惯的欧洲几何中的事实作为直观的“模型”来解释罗氏几何，这是正确的。
1868年，意大利数学家贝特拉米发表了一篇著名的论文《解释非欧几何的尝试》，证明了非欧几何可以在欧氏空间的曲面(如准球面)上实现。也就是说，非欧几何命题可以“翻译”成相应的欧几何命题。如果欧几里得几何没有矛盾，非欧几里得几何自然也没有矛盾。
既然人们承认欧几里得没有矛盾，自然也就承认非欧几里得几何没有矛盾。直到这时，长期被忽视的非欧几何才开始得到学术界的广泛关注和深入研究，而罗巴切夫斯基的原创性研究得到了学术界的高度评价和一致称赞，他本人也被誉为“几何中的哥白尼”。
三种几何的关系
欧几里得几何、罗氏几何和黎曼几何是三种不同的几何。这三种几何的所有命题构成了一个严格的公理系统，公理满足和谐性、完备性和独立性的要求。所以这三个几何都是对的。
在我们适度的空间里，也就是在我们的日常生活中，欧洲几何是适用的；在宇宙或核世界中，罗氏几何更符合客观实际；黎曼几何在研究地球表面的航海、航空等实际问题时更加精确。
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