什么是庞加莱猜想？

分析:

法国人亨利·庞加莱(Henri Poincaré)被称为“数学领域最后的全才”。在他伟大的科学遗产中，有一个在代数拓扑学中具有基础意义的命题，就是困扰了数学家整整一个世纪的“庞加莱猜想”。

庞加莱在1904年发表的一组论文中提出了这个猜想:“一个单连通的三维闭流就像一个三维球面上的胚胎。”后来概括为:“任何与N维球面同伦的N维闭流形必与N维球面同胚。”我们不妨借助二维的例子做一个粗浅的比喻:一个没有孔洞的橡胶膜在拓扑学上相当于一个二维的闭合曲面，而一个充气的气球可以看作一个二维的球面，它们之间的点是一一对应的，而橡胶膜上的相邻点仍然是充气气球上的相邻点，反之亦然。有意思的是，这个猜想的高维推断分别在60年代和80年代得到了解决，但三维情况仍然像绊脚石一样躺在那里，挑战着世界上最优秀的拓扑学家。

代数拓扑是当今数学中最活跃的领域之一。庞加莱猜想的证明及其后果将加深数学家对流形性质的理解，甚至对人们用数学语言描述宇宙产生影响。这个猜想的陈述如此简洁明了，于是波士顿的克莱数学研究所在2000年将其列为“七千年难题”之一，并为此猜想悬赏654.38+0万美元。也正因为如此，当这个猜想可能被证明的消息在美国媒体和网络上传播开来的时候，在整个数学界引起的轰动可想而知。

来自俄罗斯的中年数学家佩雷尔曼对这个猜想做出了重要贡献。他是圣彼得堡斯科洛夫数学研究所的研究员，在过去的10年里一直致力于微分几何和代数拓扑的研究。2002年6月+2002年10月，佩雷尔曼通过互联网发表研究报告，声称证明了25年前美国数学家瑟斯顿提出的关于三维流形的“几何猜想”，“庞加莱猜想”是后者的特例。由于每隔几年就会出现一个新的“证明”，然后被推翻，数学界对这类报道一直非常谨慎。四个月后，佩雷尔曼在互联网上发表了第二份报告，介绍了更多的证明细节。与此同时，他还通过电子邮件与该领域的几位专家进行了交流。

2003年4月，应中国数学家田刚的邀请，佩雷尔曼在麻省理工学院做了三场演讲，非常成功。他似乎对所有的问题和疑问都做好了准备——要么流利地回答，要么指出它们是微不足道的。听过演讲的专业人士认为他的作品极具创造性。“即使它被证明是错误的，他开发了一些工具和思想，这足以导致几何猜想吗？精致的待遇，还有极其刺激的东西，”克莱研究所所长吉姆·卡尔森说。

几天后的4月15日，* * *以“俄罗斯报道，著名数学题解决”为题首次向公众披露了这一消息。同一天，颇具影响力的数学网站MathWorld发表头条文章《庞加莱猜想被证明，这次是真的》。佩雷尔曼很快成为新闻人物，但他并不习惯。两周后，当他应邀在纽约大学库朗研究所发表演讲时，报告厅挤满了慕名而来的记者和非专业听众。佩雷尔曼演讲的热情大打折扣。他拒绝回答记者“有什么应用”的问题，并大声制止了为他拍照的企图。他还不屑于接受《自然》和《科学》等著名杂志的电信采访。后来人们根本找不到他，甚至他在圣彼得堡的同事也不知道他在哪里，在做什么。2003年底，在加利福尼亚举行了两次关于他的工作的研讨会，他没有参加。

佩雷尔曼不仅生性害羞，而且特立独行。当他在大约10年前访问美国时，他的工作引起了人们的注意，他获得了在美国大学工作的机会。然而，与他的许多才华横溢、才华横溢的同胞相反，他很快回到了俄罗斯，过着近乎隐士的生活。“他需要的是数学，而不是奖励、资金和职位。”这是今年5438年6月+10月刚刚发表的Nature 427上一篇关于他的文章中使用的提示。

佩雷尔曼的证书现在正由几名合格的专家严格审查。田刚已经阅读了第二份报告的大部分内容，到目前为止没有发现漏洞，他希望在今年夏天完成其余部分。数学家们的系统回顾可能要持续到2005年，届时才能知道“庞加莱猜想”是否被证明，佩雷尔曼是否会获得“千年奖”。