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数学建模

人员疏散

本课题是由我和我的好朋友张勇、我区团队学术委员会谢菲菲以及指导老师沈聪经过几天几夜的精心准备完成的。

摘要

分析了大型建筑的疏散特点，并以我校1号教学楼的安全疏散为例，对建筑火灾中的疏散设计方案进行了初步评价，得出了高人群密度建筑火灾中疏散时间的计算方法和瓶颈现象的处理方法，提出了距离控制疏散过程和瓶颈控制疏散过程的方法对建筑的疏散进行分析计算。

关键字

人员疏散流体模型的距离控制疏散过程

提出一个问题

教学楼疏散时间的预测

学校的教学楼是人非常集中的地方，火灾荷载大，火灾因素多。一旦发生火灾，火势及其烟气蔓延迅速，容易造成严重的人员伤亡。对于不同类型的建筑，人员疏散的处理方法差异较大。结合教学楼1的结构形式，分析了教学楼的典型火灾场景，剖析了该建筑人员疏散设计的现状，提出了人员疏散的依据，为学校领导提出了有益的意见和建议。

序

建筑物发生火灾后，人员的安全疏散直接关系到人们的生命安全，确保建筑物内的人员能够及时疏散到安全区域具有重要意义。火灾中能否安全疏散人员，主要取决于疏散到安全区域所需时间的长短。火灾中人员的安全疏散是指在火灾烟气尚未达到对人的危险状态之前，将建筑物内所有人员疏散到安全区域的行动。疏散时间不仅要考虑建筑结构、人与安全区域的距离等环境因素，还要考虑火灾紧急情况下人的自然条件和心理，这是一个涉及建筑结构、火灾发展过程和人员行为三个基本因素的复杂问题。

随着基于性能的安全疏散设计技术的发展，世界各国相继开展了疏散安全评估技术的开发和研究，并取得了一定的成果(模型和程序)，如英国的CRISP、EXODUS、STEPS、Simulex，美国的ELVAC、EVACNET4、EXIT89、HAZARDI，澳大利亚的EGRESSPRO和FIREWIND，加拿大的FIERA系统，日本的EVACS等。，研究工作也在我国建筑、消防科研和教学单位开展，相关研究已列入国家“九五”和“十五”科技攻关课题。

一般来说，疏散评估方法由两部分组成:烟气特性预测和疏散预测。烟气特性预测是预测烟气影响疏散人员的时间。许多火灾案例表明，火灾烟气的毒性、缺氧窒息和辐射热是造成人员伤亡的主要因素。

其中，烟气毒性是火灾中影响安全疏散和致人死亡的最主要因素，也是引发火灾危险的主要因素。研究表明，人暴露在浓度为4X10-3的一氧化碳中30分钟就会死亡。

此外，缺氧、窒息、辐射热也是导致死亡的主要因素。研究表明，空气中氧气的正常值为21%。当含氧量下降到12% ~ 15%时，会引起气短、头痛、头晕、嗜睡。含氧量低至6% ~ 8%时，会使人虚弱。人体在短时间内所能承受的最大辐射热为2.5 kW/m2(烟气层温度约为200℃)。

图1疏散的影响因素

预测烟气对安全疏散的影响成为安全疏散评价的一部分，安全疏散评价应考虑烟气控制设备的性能以及墙壁和开口对烟气的影响。通过比较危险到达时间和疏散所需时间，评价疏散设计的合理性和疏散的安全性。如果疏散所需时间小于危险来临时的时间，则疏散是安全的，疏散设计方案是可行的。反之，疏散是不安全的，疏散设计应该修改，重新评估。

图2疏散与烟层下降关系示意图(两层区域模型)

疏散所需时间包括疏散开始时间和疏散行动时间。疏散开始时间是从火灾到疏散的时间，大致可以分为感知时间(从火灾到人们感知火灾)和疏散准备时间(从感知火灾到疏散)两个阶段。一般来说，疏散开始时间与火灾探测系统、报警系统、火灾地点、人员的相对位置、疏散人员的状态和状况、建筑物形状和管理状况、疏散引导手段等因素有关。

疏散行动时间是从疏散开始到疏散结束的时间，由步行时间(从最远疏散点到安全出口步行所需的时间)和出口排队时间(计算区域内所有人员通过出口所需的时间)组成。与疏散时间预测相关的参数及其关系见图3。

图3与疏散时间预测相关的参数及其关系。

模型的分析与建立

我们将1号教学楼中人的运动模拟为管道中水的流动，不考虑人的个体特征，而是将人的疏散作为一个整体运动来处理，对疏散过程作如下保守假设:

u疏散人员具有相同的特征，有足够的身体条件疏散到安全地点；

u疏散人员是清醒的，在疏散初期就有序疏散，疏散过程中不会出现中途返回选择其他疏散路线的情况；

u疏散过程中，人流量与疏散通道的宽度成正比，即从一个出口疏散的人数按其宽度占出口总宽度的比例进行分配。

u从每个可用的出口疏散人员，所有人员的疏散速度一致且保持不变。

上述假设是一种理想的疏散状态，可能与实际的疏散过程有所不同。为了弥补疏散过程中一些不确定因素的影响，使用该模型计算疏散时通常保守考虑一个安全系数，一般取1.5 ~ 2，即实际疏散时间为计算疏散时间乘以安全系数后的值。

1号教学楼平面图

教学楼模型的简化和计算假设

我们学校的教学楼1是一栋楼，分为A、B两栋，中间连接C座(如上图)。A、B两栋楼五层，C座两层。A座和B座每层都有几间教室，除了A座四楼和B座五楼，每层都有两间大教室。C座一楼是大厅，C座二楼是几个办公室，人很少，所以被忽略，只作为人员通道。为了分析疏散情况，将A、B座每层的10个小教室(40人)、一个中教室(100人)和一个大教室(240人)简化为6个教室。

图4原始教室平面示意图

在走廊1/2处，教室1、2、3、4、5简化为教室13、14，教室6、7、8、9、10简化为教室15、65440。此时教室13、14、15、16的学生人数为100人，教室的出口从走廊两侧分别为1/4、11、65438。我们在走左侧楼梯的大教室出口附近设置了100人的大教室，其余140人从大教学楼外的楼梯疏散，这样就利用了各个通道的出口。由于教学楼1的A楼和B楼的对称性，此示意图的建立也适用于教学楼1的A楼和B楼的任何一层。

图5教室平面简图。

据调查，走廊总长44m，走廊宽度1.8m，单梯宽度0.3m，每梯26级，楼梯间2.0m，每间教室面积125m2。那么简化走廊的1/4就是教室的出口，离楼梯的距离应该是440。

对火灾现场做出以下假设:

u火灾发生在二楼15房间；

发生火灾是因为每个教室都满了，所以这层楼有600人。

u教学楼设置了集中火灾报警系统，但没有紧急广播系统；

u未能在火灾发生后10分钟内撤离火灾楼层被视为逃生失败；

可以使用一些模拟程序来计算该场景下的火灾发展和烟气蔓延过程，并据此确定建筑物内危险情况的到达时间。但为了突出重点，这里不详细讨论计算细节。

人的整个疏散时间可以分为三部分:疏散前的滞后时间、疏散过程中经过一定距离的时间以及在一些重要出口处的等待时间。根据建筑物的结构特点，人们的疏散通道可以分为几个小段。在一些小出口，人们在通过时可能需要一定的排队时间。所以第I个人的疏散时间ti可以表示为:

其中，ti和ti，delay为疏散前的滞后时间，包括探测和确认火灾所用的时间；Di，n是第n段的长度；Vi，n是人在n段的平均行走速度；δTM，queue是第n段出口处的等待时间。最后一个人离开教学楼所用的全部时间就是教学楼疏散所需的疏散时间。

假设二楼15教室为火灾房间，里面的人直接得到火灾征兆后立即疏散，其反应的滞后时间为60s教学中的工作人员大部分是学生，火灾信息会传播很快，所以同层其他教室的工作人员会得到15室工作人员的警告，开始决定疏散。让这条信息传播120s，即这群人的总滞后时间是120+60 = 180s；因为左右对称，这里我们计算一、三、四、五楼的人会通过火灾报警系统的报警开始疏散，他们比二楼其他教室的人晚60秒得到火灾信息，所以总的反应延迟是240秒。因为火灾发生在二楼，对一楼的人造成的危险相对较小，所以下面的讨论主要集中在二、三、四层。

为了实际了解教学楼内人员的行走情况，我们小组进行了多次实地观察，记录了学生通过一些典型路段的时间。参考其他一些数据[1，2，3]，提出人员疏散的主要参数可以如图6所示。疏散开始时，有人在教室停留的时间视为排队时间。人的行走速度要根据不同的人群密度来选择。当人群密度大于1人/m2时，疏散速度为0。6m/ s，而通过走廊所需时间为60s，通过大厅所需时间为12s。当人群密度小于1人/m2时，疏散速度为1。2m/ s，通过走廊所需时间为30s，通过大厅所需时间为6s。

图6人员疏散的一些主要参数

Pauls[4]提出人下楼梯的流量f与楼梯的有效宽度w和使用楼梯的人数有关，其计算公式为:

其中流量f的单位为人/秒，w的单位为毫米，该公式的适用范围为0。1

这样就可以通过流量和室内人数来计算疏散时间。出口的有效宽度是通道的实际宽度减去两侧的边界层得到的净宽度。通常，通道一侧的边界层设置为150 mm。

3结果和讨论

在整个疏散过程中，会出现以下情况:

(1)消防教室人员开始疏散时，人群密度相对较小，疏散空间相对于正在疏散的人员较为宽敞。此时，决定疏散的关键因素是疏散路径的长度。现在这种疏散过程被定义为距离控制疏散过程；

(2)火灾楼层其他教室的人能迅速得到火灾信息，决定疏散。他们的整个疏散过程可能分为两个阶段来计算:当F进入二楼楼梯，从二楼楼梯出来时，此时的疏散属于距离控制疏散过程；当F进入二楼楼梯> F流出二楼楼梯时，二楼楼梯的宽度成为疏散过程中的控制因素。现在这个过程被定义为瓶颈控制疏散过程；

(3)三、四楼人员开始疏散后，三楼楼梯间和二楼楼梯间可能成为控制疏散进程的瓶颈；

(4)当一楼教室人员开始疏散时，可能造成一楼大厅出口处的瓶颈控制疏散过程；

(5)在疏散后期，等待疏散的人群将满足距离控制疏散过程的条件，即再次出现距离控制疏散过程。

消防教室的人员密度为100/ 125 = 0.8人/m2。但是教室里有很多桌椅，所以人们移动起来不是很方便。根据表1给出的数据，室内人的行走速度为1.1m/s .教室门的宽度为1。80m。在疏散过程中，这个宽度不能被充分利用，其等效宽度等于这个宽度减0。30m。从教室出来的人流量f0是:

F0 = v 0×s0×w0 = 1.1×0.8×4.7 = 4.1(人/秒)(3)

其中v0和s0分别为教室内人员的行走速度和密度，w0为教室出口的有效宽度。照这样下去，消防教室的人完全撤离需要24.3秒。

人员应按照4.1人/秒的流量进入走廊。由于走廊的人员密度小于1人/m2，因此速度为1。计算采用2m/s。可用人员到达二楼楼梯的时间为9.2s，现阶段将使用二楼楼梯的人数为100人。此时，p/w = 100/1700 = 0.059

火灾发生后120秒，火灾楼层另外两个教室(即11和13教室)的人员开始疏散。在进入本层楼梯间之前，疏散的主要参数和消防教室的人基本一致。129.2s，部分到达二楼楼梯，消防教室人员已全部从二楼大厅疏散。因此，将使用二楼楼梯间的人数p1为:

P1 = 100 ×2 = 200(人)(4)

这时F进入二楼楼梯> F从二楼楼梯流出。从那一刻起，疏散过程从距离控制疏散转移到二楼楼梯间瓶颈控制的疏散阶段。由于p/ w =200/1700= 0.12，所以可以用公式2计算二层楼梯的疏散流量f1，即:

/P & gt；

0.27

0.73

F1 = (3400/ 8040) × 200 = 2.2人/秒)(5)

其中3400是两个楼梯的总有效宽度，单位是mm，三楼和四楼的人直到火灾发生后180s才开始疏散。286.5s(180+106.5)三楼的人到了二楼楼梯，四楼的人到了五楼楼梯。此时二楼楼梯前等待疏散的人数为p'1:

p ' 1 = 200-(286.5–129.2)×2.2 =-146.1(人)

所以，二楼的人都到了一楼。

之后，需要使用二楼楼梯间的人数p2:

P2 = 100×3=300(人)(7)

在这个阶段，通过二楼楼梯间的相应流量为f 2:

0.27

0.73

F2 = (3400/8040) × 200 = 2.5(人/秒)(8)

t1建筑物楼梯的疏散时间:

t 1 = 300÷2.5 = 120(s)(9)

因为教学楼三、四、五层结构相同，五楼到四楼、四楼到三楼、三楼到二楼的时间是相等的，所以楼梯处人员疏散不会出现瓶颈。

因此，通过二楼楼梯的总疏散时间为t:

t = 286.5+120×3 = 646.5(s)(10)

最后，根据安全系数，实际疏散时间为:

t实际= 646.5×(1.5 ~ 2)= 969.75 ~ 1293(s)(11)。

图7二层楼梯流量随时间的变化曲线。

几点补充说明:

以上是我们对b座二楼15房间火灾的假设分析计算，此时人到一楼，疏散就算成功。同样，当三楼发生火灾时，当人们到达二楼时，疏散被视为成功，四楼和五楼也是如此。因为教学楼1的A座和B座结构的对称性，导致该层其他教室起火，也是同样的原因。因此，本文的上述分析计算同样适用于A、B两栋建筑，另外，当三层以上(含三层)发生火灾时，会体现出c座二层的作用，B座三层发生火灾时，B座二层的工作人员一定是在B座三层的工作人员后面对火灾做出了反应，因此， 当三楼的工作人员疏散到二楼时，二楼的工作人员也开始疏散，这必然导致二楼楼梯出现瓶颈。 因为A座和B座的三、四、五层是不相连的，都是独立的结构，火灾不会直接威胁到A座三楼和其他楼层的人的安全。所以为了避免二楼楼梯出现瓶颈现象，我们会让二楼的人全部转移到A座的二楼，让着火楼层的人更快的疏散到安全区域。当B座的四、五层着火时，二层的人员也会转移到A座的二层，为二层以上人员的疏散创造了条件。类似地，对于块A也是如此..

在分析计算火灾假设时，我们没有计算大教室后门楼梯的疏散。因为1号教学楼的特殊性，A座四楼和B座五楼没有大教室，所以大教室后门楼梯疏散速度很快，大教室后门楼梯不会出现瓶颈。

教学楼1的几个出口；

在u大厅有一扇大门。

在u座一楼靠近主厅的地方有一扇门。

在u A座的大教室旁边有一扇门。

u B座教室大厅正门附近的窗户可以作为紧急出口。

A座和B座地下有地下室(当烟气蔓延过快无法疏散时，受到烟气威胁时可作为逃生目的地)。

u A和b的每个大教室都有一个后门。

总计:8个出口

给学校领导的一封信。

各位校领导，大家好。

针对我校教学楼1，我们的数学建模团队通过实测、建模、模型分析得出以下结论:教学楼1一旦发生火灾，可能所有人员都无法安全疏散。

上述分析是在没有任何修改的理想条件下进行的。事实上，人在火灾中的行为是非常复杂的，尤其是没有接受过消防安全培训的人，可能会盲目奔跑，倒退行走，这也会延长总的疏散时间。

该模型是现阶段一个疏散分析模型的基础，目前属于理论模型。以上计算结果均为手算或文兴计算所得。模型中人的行走速度是通过多次观察教学楼内下课后人的行走速度，参考Fru2in给出的疏散时人的行走速度、NFPA给出的人的行走速度以及现行疏散模型中的通用计算速度得出的，具有广泛的普适性。预测的疏散时间是根据建筑物的结构特点和人的行走速度得到的。在计算疏散时间时，除了人员在疏散前的滞后时间(或预动时间)外，得到的时间是合理的。人在疏散前的滞后时间，参考T. J. Shields等的实验结论。:75%的人在15 ~ 40s听到火警后开始疏散，整个疏散时间为646.5s..在本例中，着火教室的反应滞后时间为60 s，从火灾开始时算起。预动时间与不同类型的建筑、建筑内的人的特性、建筑内的报警系统都有很大的关系，是一个很不确定的值。本文使用的预移动时间小于整个疏散过程所用时间的10%。二层楼梯流量随时间的变化曲线如图7所示。从上面可以看出，二楼以上所有人员通过二楼楼梯需要646.5 s，比之前设定的可用安全疏散时间要长，无法保证所有相关人员的安全疏散。楼梯和大厅正门的宽度显然是制约疏散的瓶颈。造成这种情况的基本原因是教学楼疏散通道布置不当，楼梯通道宽度不够，可以适当增加楼梯总宽度。或者在教学楼每个分支上再建一个楼梯，人员疏散会更顺畅；最好在A座和B座分别新建一个类似正门的出口，这样会大大缓解大厅正门疏散人群的压力，不会造成大厅人流堵塞，影响楼上人员疏散。另一方面，学校要增加更多的消防设施，每个教室都要配备灭火器；学校也要加强对学生消防意识的培养和教育，可以多样化、创新化，比如讲课、上实践课、做消防演练等等。让他们了解一些火灾逃生的常识，学习一些消防器材的使用方法，让他们对自己使用的教学楼有一个充分的了解，这样他们就可以知道在发生火灾时应该采取什么疏散方法，才能在最短的时间内到达安全区域。

如果学校资金有限，也可以不花一分钱消除这种火灾隐患，即合理安排教室，避免每层教室全部用于上课。每层至少可以空出几个，这样会大大缓解不利疏散带来的危险。但也有缺点，就是没有充分利用教室的使用价值，浪费资源。