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文摘:根据泄洪时水库水位过程的随机微分方程，采用数值求解方法模拟了随机干扰下的水库水位及其波浪。

用相应的公式计算了洪水漫坝的概率和不同时刻水库水位过程的样本均值，并通过比较

在相同强度的随机干扰下，确定各种泄洪方案的优劣，对防洪工作具有重要的指导意义。

意义。

关键词:随机微分方程；数值解；欧拉法；泄洪风险

1报价

接收日期:2005年6月27日

基金项目:国家自然科学基金(60474037)；教育部新世纪优秀人才支持计划(NCET-04-415)

风险分析是应对洪水和风暴潮等自然灾害的极其有效的工具。

由于随机微分方程的复杂性，除了一些线性或特殊结构的方程外，我们可以找到明显的

很少有随机微分方程显示解。本文讨论的随机微分方程不具备上述性质，因此无法求解。

江根据他求解过程的一阶概率密度函数满足福克-普兰克正演方程，而这边

程也是偏微分方程，所以偏微分方程的数值解可以用有限差分法求得[6]，但这种方法不能

得到概率特性，故采用JC计算法近似计算洪水过坝顶的概率[7]。不难看出，这种

方法因为多次变换，误差比较大。

本文采用随机微分方程的数值求解方法，结合实例对布朗运动中水库水位的干扰进行了分析和总结

下的随机波动情况；直接得到洪水溢出的风险概率和不同时刻水库水位过程的数学期望。

此外，对不同方案进行分析比较，以确定哪个方案效果更好，从而改进防洪决策过程。

提供一定的依据。

洪水调度过程的随机微分方程

在洪水调度过程中，入库洪水和出库洪水是随机过程，蓄水位满足随机微分方程[6]:

dH(t) =Q-(t) -q-(H，c)G(H)dt+dB(t)G(H)

H(t0) =H0

(1)

H(t)是水库水位的过程；H0为水库初始水位，为随机变量；Q(t)为任意时刻的洪水流入量。

水量；Q(h，c)为相应时间的泄洪量；Q-，q-分别为来流和泄洪的平均过程线；c是流量系数。

相等的水力参数。G(H) =dW(H)dH，W(H)是水库的库容，B(t)是均值为零的维纳转变。

程，dB(t)/dt为正态白噪声，B(t)的一维概率密度函数f(B)为:

f(B) =1

2πt σexp -B22σ2t。

从上式可以看出，E[B(t)] = 0，D[B(t)] =σ2t。坝顶泄洪风险率定义为Pf=

Pf[H Z]，其中Z是相应的坝高。

3计算方法

由于很少发现随机微分方程的显式解，其数值求解方法得到了广泛的研究和应用。

在常微分方程数值方法方面，随机微分方程数值求解方法引入了随机增量，它将考虑时间

区间有限，样本轨道的近似值在节点处逐步生成。数值求解方法主要包括:Eu-

勒法、米尔斯坦法、龙格-库塔法等。这里采用的是欧拉法。

3.1随机微分方程解的欧拉逼近方法

考虑一般随机微分方程:

dXt=a(t，Xt)dt+b(t，Xt)dWt(2)

其中t0 t T，初始条件为Xt0=X0。我们离散化时间间隔[t0，T]:

t0 =τ0 & lt；τ1 & lt；…& lt；τn & lt；…& lt；τN=T。

使用欧拉近似法[8]，一个连续过程Y= {Y(t)，t0 T }满足以下迭代格式:

Yn+1=Yn+a(τn，Yn)(τn+1-τn) +b(τn，Yn)(Wτn+1-Wτn)

其中n = 0，1，2，…，n-1，y0 = x0。设分步迭代得到的有限离散随机变量为

原始随机微分方程在相应时间节点的近似解。显然，如果扩散系数为零，原始的随机微分方程

退化为常微分方程，所以随机微分方程的欧拉方法退化为常微分方程的欧拉方法。

就数值方法而言，一般讨论它们的强收敛性。

定义1[8]对于最大步长为δ的离散逼近序列Yδ，它在时间t强收敛到一个Ito∧。

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