急！！一篇高中数学论文(300字)
(一)调查的目的
正弦定理和余弦定理是高中数学中重要的三角公式，应用非常广泛。然而，教科书中对它们的研究相对简单。在学习中，为了开阔我们的视野，了解数学灵活性的奥秘，我们有必要用三角变换的知识对其进行总结、探索和拓展。因此，我们探索了它的一些变种和应用。
(2)询问过程、申请和结论
(1)正弦和余弦定理
1，正弦定理:a/sinA = b a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R。
2.余弦定理:a2 = B2+C2-2 bccosacosa =(C2+B2-a2)/2bc。
b^2=a^2+c^2-2accosb cosb=(a^2+c^2-b^2)/2ac
c^2=a^2+b^2-2abcosc cosc=(a^2+b^2-c^2)/2ab
(2)正余弦定理的推论
设三角形ABC的三个内角A、B、C的边分别为A、B、C，则
推论1，acosa+bcosb = CCOs (a-b) ≤ c...
bcosB+ccosC = acos(B-C) ≤ a......②
acosA+ccosC = bcos(A-C) ≤b......③
证明:从正弦定理，
acosA+bcosB
=2RsinAcosA+2RsinBcosB
=R(2sinAcosA+2sinBcosB)
=R(sin2A+sin2B)
= R { sin[(A+B)+(A-B)]+sin[(A+B)-(A-B)]}
= R[sin(A+B)cos(A-B)+cos(A+B)sin(A-B)+sin(A+B)cos(A-B)-cos
(A+B)罪(A-B)]
=2Rsin(A+B) cos(A-B)
=2Rsin(？-C)A-B
=2RsinC cos(A-B)
=Ccos(A-B)
a，B∈(0，？)，-1≤cos(A-B) ≤1
∴ccos(A-B)≤C，取等号当且仅当A = B .
同样，公式② ③可以用三角形的三条边和三个角的对称性来证明。
应用:在⊿ABC，验证:COSAcoSBOSC ≤ 1/8。
证明:①⊿abc为钝角三角形或直角三角形时，cosA、cosB、cosC中必有一个小于等于0，故结论成立。
②如果⊿ABC是锐角三角形，则通过推论(1)和均值不等式得到。
A≥bcosB+ccosC≥2乘以根BCOSBCOSC > 0...
B≥acosA+ccosC≥2倍根号Acosaccosc > 0...②
C≥acosA+bcosB≥2倍根数acosabcosb > 0...③
①×× ②× ③ abC≥8abCcosAcosBcosC
∴cosAcosBcosC≤1/8
结论:①在三角形中，任意两条边及其对角线的余弦值之和等于第三条边和两条。
一条边的对角线差的余弦的乘积小于或等于第三条边。
②三角形三个角的余弦值的乘积小于等于1/8。
(3)观察公式，我们可以得出
a、如果已知三角形中的两个角和对应的两条边，就可以知道第三条边的取值范围或最小值。
b、如果知道三角形中的两个角，就可以知道三条边之间的数量关系。
推论2，c/(a+b)= sin(c/2)/cos[(a-b)/2]≥sin(c/2)...
B/(A+C)= sin(B/2)/cos[(A-C)/2]≥sin(B/2)......②
A/(B+C)= sin(A/2)/cos[(B-C)/2]≥sin(A/2)......③
证明:从正弦定理出发，
c/(a+b)=(2R sinc)/[2R(sinA+sinB)]
=sin(？-c)/(sinA+sinB)
=sin(A+B)/ (sinA+sinB)
= sin[(A+B)/2+(A+B)/2]/{ sin[(A+B)/2+(A-B)/2]+
sin[(A+B)/2-(A-B)/2]}
= { 2 sin[(A+B)/2]cos[(A+B)/2]}/{ sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]+sin[(A-B)/2]cos[(A+B)/2]+sin[(A+B)/2]cos
[(A-B)/2]—sin[(A-B)/2]cos[(A+B)/2]}
= { 2 sin[(A+B)/2]cos[(A+B)/2]}/{ 2 sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]}
=cos[(A+B)/2]/ cos[(A-B)/2]
=sin[？/2—(A+B)/2]/ cos[(A-B)/2]
=sin(C/2)/cos[(A-B)/2]
a，B∈(0，？)∴ 0 ∴sin(C/2)/ cos[(A-B)/2]≥sin(C/2)，当且仅当A=B，取等号。 同理，② ③型也可以证明。 应用:已知在⊿ABC，设a+c=2b，A-C=60度，求sinB。 解法:根据题目和推论2， B/(A+C)= B/2b = 1/2 = sin(B/2)/[cos(A-C)/2]= sin(B/2)/cos(？/6) ∴sin(B/2)=(根号3)/4 ∴cos(B/2)=根号(1-sin (b/2) 2) =(根号13)/4。 ∴sinB=2 sin(B/2) cos(B/2)=(根号39)/2。 结论:①在三角形中，任意一条边与其他两条边之和的比值等于该边的比值。 半对角线的正弦不同于另两边对角线的余弦，是模外的公分母。 公式组之一。 ②应用: a、求解斜三角形的未知元素后，可用于验算。 b、如果三边能找到最大角度。 推论3。a≥2(根BC) SIN (a/2)....... B≥2(根号AC) sin (b/2)...② C≥2(自由基ab) sin (c/2)...③ 证明:∫(b-c)2≥0∴B2+C2≥2bc。 根据余弦定理，a 2 = b 2+c 2-2bccosa ≥ 2bc-2bccosa。 =2bc(1-cosa)=4bcsin(a/2)^2 ∴a≥2(根号bC)sin(A/2)，公式② ③同样可以证明。 应用:在⊿ABC，已知A=？/3，a=10，求bC的最大值。 解:根据假设和推论3，10≥2(根bC)sin(60度/2)。 ∴(公元前根号)≤10 ∴bC≤100 因此，bC的最大值为100。 结论:①三角形中，任一边大于或等于另两边平方根之和的两倍。 这条边的半对角线正弦的乘积。 ②应用: a、已知两条边和一个角，求角的对边的值域或最小值。 b，知道一边和它的对角线，就可以求出另外两边的最大乘积。 c、求已知三边的最大值。 推论4，(A 2-B 2)/C 2 = (Sina 2-Sinb 2)/Sinc 2... (b^2- c^2)/ a^2=(sinb^2-sinc^2)/sina^2……② (a^2- c^2)/ b^2=(sina^2-sinc^2)/sinb^2……③ 证明:从正弦定理， (a^2- b^2)/ c^2=[4r^2(sina^2-sinb^2)]/( 4r^2*sinc^2) =(sinA^2- sinB^2)/ sinC^2 同理，② ③型也可以证明。 应用:在⊿ABC，a、b、c的对边分别是a、b、c，证明: (a^2- b^2)/ c^2=sin(A-B)/sinC 证明:根据题目和推论4， (a^2- b^2)/ c^2 =(sinA^2- sinB^2)/ sinC^2 =(sinA+sinB)(sinA-sinB)/sinC^2 = { sin[(A+B)/2+(A-B)/2]+sin[(A+B)/2-(A-B)/2]} { sin[(A+B)/2+ (A-B)/2]—sin[(A+B)/2-(A-B)/2]}/{ sinCsin[？—(A+B)]} = { 2 sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]} { 2 cos[(A+B)/2]sin[(A- B)/2]}/[辛辛辛(A+B)] = { 2 sin[(A+B)/2]cos[(A+B)/2]} { 2 sin[(A-B)/2]cos[(A- B)/2]}/[辛辛辛(A+B)] =[sin(A+B)sin(A—B)]/[sin(A+B)sinC] =sin(A—B)/ sinC 结论:①在三角形中，任意两条边的平方差与第三条边的平方之比等于 两个对角线边的正弦平方差与第三个对角线边的正弦平方差之比。 推论5，sina 2 = sinb 2+sinc 2-2 sinbsincosa...① sinb^2=sina^2+sinc^2-2sinasinccosb……② sinc^2=sinb^2+sina^2-2sinbsinacosc……③ 证明:由正弦定理和余弦定理得出， (2rsina)^2=(2rsinb)^2+(2rsinc)^2-2(2rsina (2RsinB)cosA 简化Sina 2 = sinb 2+sinc 2-2 sinbsincosa 同理，② ③型也可以证明。 应用:求(sin10度)2+(sin50度)2+SIN 10度sin50度的值。 解法:构造⊿ABC使得A=10度，B=50度，C=120度，应用推论5。 原公式=(sin10度)2+(sin50度)2-(-1/2) × 2sin10度sin50。 程度 =(sin10度)2+(sin50度)2-2 SIN 10度sin50度cos120度 =(sin120度)2 =3/4 结论:①在三角形中，任意一个角的正弦平方等于另外两个角的正弦平方。 减去两个角的正弦和那个角的余弦的乘积的2倍。 ②应用: a、已知任意一个角或两个角的正弦，就可以求出另一个角的余弦和角。 B、如果公式(sina) 2+(sinb) 2+sinasinb满足A+B=？那么/3 它的值总是3/4。 c，如果有一个公式的形式为sinb 2+sinc 2-2 sinbsincosa，其值为 sinA^2. 推论6。A = BCOSC+CCCOSB...① B = ACOSC+CCCOSA...② c=acosB+bcosA……③ 证明:由余弦定理得出， b^2+c^2=(c^2+a^2-2accosb)+(a^2+b^2-2abcosc) 简化a=bcosC+ccosB 同理，方程② ③可以证明为真。 应用:已知？、?∈(0,?/2)和3(罪？)^2+2(sin？)^2=1, 3sin2？-2Sin2？=0，验证:？+2?=90度。 证明:3(罪？)^2+2(sin？)^2=1 ∴3(1-cos2？)/2+2(1- cos2？)/2=1 ∴3cos2？+2 cos2？=3 ∴2cos2？=3(1- cos2？)>0 ∴3 cos2？=3-2 cos2？>0 ∴2?、2?∈(0,?/2) 又是3sin2？-2Sin2？=0 ∴3/Sin2？=2/sin2？ 构造⊿ABC使得A=2？，B=2？，BC=2，AC=3。 根据推论6，AB=ACcos2？+BCcos2？ = 3cos2？+2cos2？=3 ∴AB=AC ∴⊿ABC是一个等腰三角形。 ∴C=B=2？ 在⊿ABC，A+B+C=2？+2?+2?=180度 ∴?+2?=90度 结论:①推论6是著名的射影定理。 ②应用:可以处理棱、角、弦的变换。