论虚数的意义
根据日常经验，有理数的集合在数轴上似乎是“密密麻麻”的，所以古人一直认为有理数可以满足测量的实际需要。以边长为1cm的正方形为例。它的对角线有多长？在指定的精度下(例如误差小于0.001 cm)，总是可以用有理数来表示精确的测量结果(例如1.414 cm)。然而，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家发现，仅仅用有理数无法完全准确地表达这条对角线的长度，这彻底打击了他们的数学思想；他们认为:
任意两条线段的比值都可以用自然数的比值来表示。
为此，毕达哥拉斯本人甚至有“一切都是一个数”的信念，这里的数指的是自然数(1，2，3...)，而且所有的正有理数都是由自然数的比值得到的，有理数集合存在“缺口”的事实对当时的许多数学家来说是一个极大的打击；参见第一次数学危机。
从古希腊一直到十七世纪，数学家们慢慢接受了无理数的存在，并将其视为与有理数平起平坐的数。后来引入了虚数的概念，称为“实数”以示区别，意为“实数”在当时，虽然虚数出现并被广泛使用，但实数的严格定义仍是一个难题，直到明确了函数、极限、收敛等概念后，19世纪末的戴德金、康托尔等人才严格处理实数。在现行的初等数学中，实数没有严格的定义，但一般认为实数是小数(有限或无限)。实数的完整定义在几何中，直线上的点与实数一一对应；见数轴。
实数可分为有理数(如42，)和无理数(如π，√2)，代数数和超越数(有理数是代数数)，或正数，负数和零。一组实数通常用字母r或来表示。Rn代表n维实数空间。实数是不可数的。实数是实分析的核心研究对象。
实数可以用来测量连续变化的量。理论上，任何实数都可以表示为一个无限小数，小数点右边是一个无穷级数(循环或非循环)。实际中，实数往往近似为一个有限小数(小数点后n位保留，n为正整数)。在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，所以实数往往用浮点数来表示。
[编辑]历史记录
公元前500年左右，以毕达哥拉斯为首的希腊数学家认识到有理数不能满足几何中的需要，但毕达哥拉斯本人并不承认无理数的存在。直到17世纪，实数才在欧洲被广泛接受。18世纪，微积分是在实数的基础上发展起来的。直到1871，德国数学家康托尔才第一次提出了实数的严格定义。
[编辑]定义
[编辑]从有理数构造实数
实数可以通过收敛到一个唯一实数的十进制或二进制展开式来构造为有理数的补数，例如{3，3.1，3.14，3.141，3.1415，…}。实数可以用不同的方式从有理数中构造出来。这里给出了其中的一个。其他方法请参考实数的构造。
公理方法
设r是所有实数的集合，则:
集合R是一个域:它可以加、减、乘、除运算，它有一些共同的性质如交换律、结合律。
域r是有序域，即对于所有实数x、y和z，存在全序关系≥:
若x ≥ y，则x+z≥y+z；；
如果x ≥ 0且y ≥ 0，则x'y ≥ 0。
集合r满足戴德金完备性，即非空子集S (S？r，S≦？)，如果S在R中有一个上界，那么S在R中有一个上界..
最后一个是区分实数和有理数的关键。比如平方小于2的所有有理数的集合，有一个有理数的上界，比如1.5；但是有理数没有上确界(因为不是有理数)。
实数由上述性质唯一确定。更准确地说，给定任意两个戴德金完备序域R1和R2，存在唯一的从R1到R2的域同构，即它们在代数上可以视为相同。
[编辑]示例
15(整数)
2.121(有限小数)
1.3333333 ...(无限循环十进制)
π = 3.1415926 ...(无限非循环小数)
(无理数)
(分数)
[编辑]属性
[编辑]基本操作
在实数域中，可以实现的基本运算有加、减、乘、除、平方等。对于非负数，也可以进行开方运算。实数加、减、乘、除(除数不为零)和平方的结果仍然是实数。任何实数都可以被提升到奇次幂，结果仍然是实数；只有非负实数才能开偶次幂，结果还是实数。
编辑的完整性
作为度量空间或一致空间，实数集是完备空间，它具有以下性质:
所有实数的柯西序列都有一个实数极限。
一组有理数不是一个完整的空间。例如，(1，1.4，1.41.414，1.4142，1.41438。事实上，它有一个真正的极限。实数是有理数的完成:这也是一种构造实数集的方法。
极限的存在是微积分的基础。实数的完备性等价于欧几里得几何中的直线没有“缺口”。
[编辑]完成有序域
实数集通常被描述为“完全有序域”，这可以有几种解释。
首先，有序域可以是完整的格。但是，我们很容易发现，没有一个有序场会是一个完整的格。这是因为有序域没有最大元素(对于任何元素z，z+1都会比较大)。所以，这里的“完全”并不是指完全晶格。
另外，有序域满足戴德金完备性，这在上述公理中已有定义。上述唯一性也说明这里的“完备性”就是戴德金完备性。这种完备性的含义与利用戴德金除法构造实数的方法非常接近，即从(有理数)有序域出发，用标准方法建立戴德金完备性。
这两个完整性概念忽略了领域的结构。而序群(域是特殊的群)可以定义一致空间，一致空间有完备空间的概念。以上完整性描述的只是特例。(这里采用了一致空间的完备性概念，而不是众所周知的度量空间的完备性，因为度量空间的定义依赖于实数的性质。当然，R不是唯一一致完备的有序域，但它是唯一一致完备的阿基米德域。其实“完全阿基米德域”比“完全有序域”更常见。可以证明，任何一致完备的阿基米德域必是戴德金完备的(当然反之亦然)。这种完备性的意义与柯西数列构造实数的方法非常接近，即从有理数的阿基米德域出发，用标准方法建立一致完备性。
“完全阿基米德域”最早是希尔伯特提出的，他也想表达一些不同于上述的含义。他认为实数构成了最大的阿基米德域，即所有其他阿基米德域都是R的子域，所以说R是“完全的”是指在它上面加任何元素都会使它不再是阿基米德域。这种完备性的意义非常接近于超实数构造实数的方法，即从一个包含所有(超实数)有序域的纯类出发，从其子域中寻找最大的阿基米德域。
[编辑]高级属性
实数集是不可数的，即实数的个数严格大于自然数的个数(虽然两者都是无限的)。这可以用康托对角线法来证明。其实实数集的势是2ω(见连续统的势)，也就是自然数集的幂集的势。因为实数集中只有可数的元素可能是代数数，所以大多数实数都是超越数。在实数集的子集中，不存在其势严格大于自然数集且严格小于实数集的集，这就是连续统假说。这个假设不能被证明是正确的，因为它独立于集合论的ZFS公理系统。
所有非负实数的平方根都属于r，但对于负数来说不成立。这说明R上的阶是由其代数结构决定的。而且所有奇数多项式至少有一个根属于R，这两个性质使得R成为实闭域最重要的例子。证明这个是证明代数基本定理的前半部分。
实数集有一个规范测度，即勒贝格测度。
实数集的上确界公理适用于实数集的子集，是二阶逻辑的陈述。仅仅用一阶逻辑是无法描述实数集的:1。l？文海-斯科勒姆定理表明实数集存在一个可数稠密子集，在一阶逻辑中满足与实数集本身完全相同的命题；2.超实数集远大于R，但也满足与R相同的一阶逻辑命题..满足与R相同的一阶逻辑命题的有序域称为R的非标准模型，这是非标准分析的研究内容。用非标准模型(可能比R中简单)证明一阶逻辑命题，从而保证这些命题在R中也成立..
[编辑]拓扑属性
实数的集合构成了一个度量空间:x和y之间的距离被设置为绝对值|x-y|。作为一个全序集，它也有一个有序拓扑。这里，从度量和顺序关系获得的拓扑是相同的。实数集也是可缩空间(所以也是连通空间)，局部紧空间，可分空间，1维的贝利空间。但是实数集不是紧空间。这些可以通过具体的性质来确定，例如，无限连续的可分序拓扑必须与实数集同胚。以下是实数拓扑性质的概述:
做一个实数。的邻域是包含线段的实数集的子集。
这是一个可分离的空间。
中间到处都很密集。
的开集是开区间的并集。
的紧子集是有界闭集。特别地，所有带端点的有限线段都是紧子集。
每个有界序列都有一个收敛的子序列。
是连通的和简单连通的。
中的连通子集是线段、射线和它们自身。由这一性质，可以很快导出介值定理。
区间套定理:设它是有界闭集序列，它的交不为空。严格表法如下:
。
[编辑]扩展和概括
实数集可以以几种不同的方式进行扩展和推广:
也许最自然的扩展是复数。复数集包含所有多项式的根。然而，复杂集不是有序域。
实数集扩充的有序域是一组超实数，包括无穷小和无穷小。这不是阿基米德的领域。
有时，形式元素+∞和-∞被加到实数集上，形成一个扩展的实数轴。它是紧空间，不是定义域，但保留了实数的很多性质。
希尔伯特空间中的自伴算子在许多方面推广了实数集:它们可以是有序的(虽然不一定是完全有序的)和完备的；它们所有的特征值都是实数；它们形成了实结合代数。