求一篇2000字的论文，题目是“数值逼近在生活中的应用”

刚性微分方程存在于许多重要的科学技术领域和实际问题中，如航空、航天、热核反应、自动控制、电子网络、化学动力学等。由于方程的解既包含衰减非常迅速的分量，也包含相对变化缓慢的分量，两者之间的差异可以是几个数量级，这给计算方法的选择带来了很大的实质性困难。实践研究证明，由于数值解的稳定性限制，隐式方法主要用于求解刚性微分方程，如隐式RK法、BDF法、IRK法等。但刚性方程用隐式方法离散后，就变成了一个线性或非线性方程(组)的求解问题。目前，牛顿-拉夫逊迭代法常用于求解线性或非线性方程(组)。但是，对于一些非线性方程，由于方程之间的非线性差异很大，牛顿-拉夫逊迭代法的数值解并不理想。本文采用Brown算法求解这类非线性刚性系统，具有精度高、迭代速度快的优点。数值试验结果表明了该方法的有效性。

2布朗算法

考虑多个实变量的非线性方程

(2.1)

非线性方程可以用向量形式表示，其中。

形式为:的公式称为牛顿-拉夫逊迭代公式。因为这种方法是同时线性化，没有考虑充分利用的具体结构。如果一个非线性向量函数，它的线性精度在各个分量上的分布是不均衡的，那么有些分量是非线性函数，有些分量是线性函数，在非线性函数组中，非线性的程度也是有差别的。在这种情况下，用牛顿-拉夫逊迭代法处理所有数值完全相同的分量，不利于提高方法的整体计算效率。

针对上述情况，Brown在1969中提出了由分量构成的函数方程，形成一个迭代过程[3]。基本思想是将每个分量逐一线性化，用每个线性方程消去剩余非线性方程中的一个变量。最后，将整个方程组简化为一个只有一个变量的非线性方程，应用单步牛顿-拉夫逊迭代结合逐个迭代完成一个迭代过程[4]。

布朗算法的迭代步骤如下:

第一步，将方程组(2.1)的解设为第一次逼近，函数用线性函数逼近。

替代，订单，从中:

将上述公式的右端定义为。

第二步，为函数定义一个新的函数布朗算法，注意。类似地，使用线性函数来近似替代。排序，求解，

此时，它是变量的线性函数，这个线性函数写成。

步骤1，可以通过线性函数，通过牛顿-拉夫逊迭代得到，也可以从一个一个开始，即

(2.2)

因此，可以发现已经完成了一个布朗迭代过程。

3数值测试

考虑以下常微分方程的初值问题:

问题1

其中:；。

问题2

其中:；。

对于以上两个问题，当时可以计算出其右函数组的雅可比矩阵的特征值，其他特征值的绝对值不超过6，所以系统是强刚性的。另外，观察两个问题中的右函数组，可以看到除了最后一个函数是高度非线性的，其他函数都是线性的。

对于以上两个问题，采用隐式欧拉方法离散方程，分别采用牛顿-拉夫逊迭代法和布朗迭代法求解。用步长和相对误差界(表示迭代次数)控制每次迭代，最终得到数值解的最大绝对误差界。方程的真解是:问题1，，；问题2、、、。计算结果对比分析见表1。

表1数值计算结果

问题1

问题2

牛顿-拉夫森迭代次数

迭代18收敛时间

不收敛，

布朗迭代数

迭代7次收敛

8次迭代收敛

数值解的绝对误差

(牛顿-拉夫森迭代)

3.83e+001

溢出

数值解的绝对误差

(布朗迭代)

1.44e-002

3.82e-002

4.结束语

对于实际问题中的离散刚性系统，如果非线性方程组的线性化程度不同，布朗迭代法比牛顿-拉夫逊迭代法具有更大的优势。此外，需要指出的是，在实际操作中，应事先安排好方程组，先放线性方程组，再由低到高排列非线性度，这样可以有效提高操作效率。