数学论文'二级'
将一条线段分成两部分，使一部分与总长度的比值等于另一部分与这一部分的比值。它的比值是一个无理数，前三位的近似值是0.618。因为按照这个比例设计出来的形状非常漂亮，所以叫黄金分割，也叫中外比。这是一个非常有趣的数字。我们用0.618来近似，通过简单的计算就可以找到:
1/0.618=1.618
(1-0.618)/0.618=0.618
这种价值的作用不仅体现在绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理和工程设计中也发挥着重要作用。
先说一个数列，前几个数字是:1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144...这个系列的名字是”。特点是除了前两个数外，每个数都是前两个数之和(数值为1)。
斐波那契数列和黄金分割有什么关系？发现相邻两个斐波那契数之比随着数列的增加逐渐趋于黄金分割比例。即f (n)/f (n-1)-→ 0.618。因为斐波那契数都是整数，而且两个整数的除法的商是有理数，只是在逐渐接近黄金分割比的无理数。但是当我们继续计算更大的斐波那契数时，就会发现相邻两个数的比值真的非常接近黄金分割比。
一个很能说明问题的例子是五角星/正五边形。五角星很漂亮。我国国旗上有五颗，很多国家的国旗上也用五角星。为什么？因为五角星里能找到的所有线段的长度关系都符合黄金分割比例。在正五边形的对角线满了之后出现的所有三角形都是黄金分割三角形。
由于五角星的顶角为36度，因此也可以得出黄金分割值为2Sin18。
黄金分割约等于0.618: 1。
指的是一条线段分成两部分的点，这样原线段的长度与较长部分的比值就是黄金分割。线段上有两个这样的点。
利用线段上的两个黄金点，可以做出一个正五角星和一个正五边形。
2000多年前，古希腊雅典学派第三大数学家奥多克斯·萨斯(Odox Sass)首先提出了黄金分割。所谓黄金分割，是指将长度为L的线段分成两部分，使一部分与整体的比例等于另一部分的比例。计算黄金分割最简单的方法是计算斐波那契数列最后两个数的比值1，1，2，3，5，8，13，21，...2/3, 3/5, 4/8, 8/65438.
文艺复兴前后，黄金分割由阿拉伯人传入欧洲，受到欧洲人的欢迎。他们称之为“黄金方法”，欧洲17世纪的一位数学家甚至称之为“各种算法中最有价值的算法”。这种算法在印度被称为“三率法”或“三数法则”，也就是我们现在常说的。
其实“黄金分割”在中国也有记载。虽然没有古希腊那么早，但是是中国古代数学家独立创造的，后来传入印度。经过考证。欧洲比例算法起源于中国，由阿拉伯经印度传入欧洲，并非直接来自古希腊。
因为它在造型艺术中具有审美价值，在工艺美术和日用品的长宽设计中能引起人们的美感，在现实生活中也有广泛的应用。建筑内部分线段比例科学采用黄金分割，台上播音员不是站在舞台中央，而是站在舞台侧面，站在舞台长度黄金分割处的位置最美，声音传播最好。即使在植物界，也使用黄金分割。如果你从一根小树枝的顶端往下看，你会看到树叶是按照黄金分割定律排列的。在许多科学实验中，经常采用一种0.618的方法来选择方案，即最优化方法，使我们能够合理地安排较少的实验，找到合理的西方和合适的工艺条件。正是由于它在建筑、文学艺术、工农业生产和科学实验中的广泛而重要的应用，人们称之为黄金分割。
〔黄金分割〕是一种数学比例关系。黄金分割比例严谨，艺术和谐，蕴含着丰富的审美价值。一般在应用中是0.618，就像pi在应用中是3.14一样。
黄金矩形的长宽比就是黄金比例，换句话说，矩形的长边是短边的1.618倍。黄金比例和黄金矩形能给画面带来美感，这在很多艺术和自然的作品中都可以找到。希腊雅典的帕萨神农寺就是一个很好的例子，他的符合黄金矩形。脸也符合黄金矩形，比例布局也适用。
发现历史
自从公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派研究了正五边形和正十边形的画法后，现代数学家得出结论，当时毕达哥拉斯学派已经触及甚至掌握了黄金分割。
公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统地研究了这个问题，建立了比例理论。
欧几里德在公元前300年左右写《几何原本》时，吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系统地论述了黄金分割，成为最早的关于黄金分割的论著。
中世纪以后，黄金分割披上了神秘的外衣，几个意大利人帕乔利把中国与终点的比称为神圣，并就此著书立说。德国天文学家开普勒称黄金分割是神圣的。
直到19世纪，黄金分割这个名称才逐渐流行起来。黄金分割数有很多有趣的性质，也被人类广泛使用。最著名的例子是最优化中的黄金分割法或0.618法，由美国数学家基弗于1953年首先提出，并于70年代在中国推广。
|..........a...........|
+ - + - + -
| | | .
| | | .
| B | A | b
| | | .
| | | .
| | | .
+ - + - + -
|......b......|..a-b...|
该值通常用希腊字母表示。
黄金分割的奇妙之处在于它的比例和它的倒数相同。比如1.618的倒数是0.618，而1.618:1与1:0.618相同。
确切的值是(√5-1)/2。
黄金分割数是无理数，前1024位是:
0.6180339887 4989484820 4586834365 6381177203 0917980576
2862135448 6227052604 6281890244 9707207204 1893911374
8475408807 5386891752 1266338622 2353693179 3180060766
7263544333 8908659593 9582905638 3226613199 2829026788
0675208766 8925017116 9620703222 1043216269 5486262963
1361443814 9758701220 3408058879 5445474924 6185695364
8644492410 4432077134 4947049565 8467885098 7433944221
2544877066 4780915884 6074998871 2400765217 0575179788
3416625624 9407589069 7040002812 1042762177 1117778053
1531714101 1704666599 1466979873 1761356006 7087480710
1317952368 9427521948 4353056783 0022878569 9782977834
7845878228 9110976250 0302696156 1700250464 3382437764
8610283831 2683303724 2926752631 1653392473 1671112115
8818638513 3162038400 5222165791 2866752946 5490681131
7159934323 5973494985 0904094762 1322298101 7261070596
1164562990 9816290555 2085247903 5240602017 2799747175
3427775927 7862561943 2082750513 1218156285 5122248093
9471234145 1702237358 0577278616 0086883829 5230459264
7878017889 9219902707 7690389532 1968198615 1437803149
9741106926 0886742962 2675756052 3172777520 3536139362
1076738937 6455606060 5922 ...
生活应用
有趣的是，这个数字在自然界和人们的生活中随处可见:人的肚脐是人体全长的黄金分割点，人的膝盖是肚脐到脚跟的黄金分割点。大部分门窗的长宽比也是0.618……；在某些植物上，两个相邻叶柄之间的夹角是137度28’，这正好是将圆周分成1: 0.618的两个半径之间的夹角。据研究，这个角度对厂房通风采光效果最好。
建筑师对数学中的0.168…有着特殊的偏爱。无论是古埃及的金字塔，巴黎圣母院，还是近几个世纪的法国埃菲尔铁塔，都有与0.168有关的数据…还发现一些名画、雕塑、摄影作品的主题大多在图中的0.168…处。艺术家认为将弦乐器的琴桥放在0.168的位置……可以让声音更加柔和甜美。
数字0.168...更为数学家所关注，它的出现不仅解决了很多数学问题(比如把圆周分成十份，把圆周分成五份；求18度和36度等的正弦和余弦值。)，也使优化方法成为可能。最优化方法是解决最优化问题的一种方法。如果炼钢时需要加入某种化学元素来增加钢的强度，则假定每吨钢中加入的某种化学元素的量在1000-2000克之间。为了找到最合适的添加量，需要在1000克到2000克之间进行测试。通常取区间的中点(即1500g)进行测试。然后分别与1000g和2000g的实验结果进行比较，选取强度较高的两个点作为新的区间，然后取新区间的中点进行实验，比较端点，依次进行，直到得到最理想的结果。这种实验方法称为二分法。但是，这种方法并不是最快的实验方法。如果实验点是区间的0.618，实验次数会大大减少。这种取区间的0.618作为测试点的方法是一维优化方法，也称为0.618方法。实践证明，对于一个因素的问题，用“0.618法”做16次实验，可以完成“二分法”做2500次实验的效果。所以大画家达芬奇称0.618……为黄金数。
0.618和战:拿破仑大帝输给黄金分割？
0.618，一个极其迷人而神秘的数字，而且它还有一个非常好听的名字——黄金分割律，是古希腊著名哲学家、数学家毕达哥拉斯在2500多年前发现的。古往今来，这个数一直被后人奉为科学和美学的黄金法则。在艺术史上，几乎所有优秀的作品都验证了这个著名的黄金分割定律。无论是古希腊的帕台农神庙，还是中国古代的兵马俑，垂直线和水平线的比值正好是1到0.618。
或许，我们已经了解了很多0.618在科学和艺术上的表现，但你有没有听说过，0.618与炮火硝烟、流血牺牲的激烈残酷的战场有着不解之缘，也在军事上显示出它的伟大而神秘的力量？
0.618和武器装备
在冷兵器时代，虽然人们根本不知道黄金比例的概念，但当人们制造刀剑、大刀、长矛等武器时，黄金比例的规律早已处处体现，因为按照这个比例制造的武器使用起来会更加得心应手。
发射子弹的步枪刚制造出来的时候，其手柄长度与枪身长度的比例是不科学不合理的，不便于抓握和瞄准。1918年，美国远征军一位名叫阿尔文·约克的下士对这种步枪进行了改造，改造后的枪身与枪柄的比例正好是0.618。
其实从锋利的刀口弧度到子弹、炮弹、弹道导弹沿轨迹飞行的顶点；从飞机进入俯冲轰炸状态的最佳投放高度和角度，到坦克壳体设计时的最佳避弹坡度，我们不难发现黄金比例无处不在。
在火炮射击中，如果一门间接炮的最大射程为12 km，最小射程为4 km，其最佳射击距离约为9 km，为最大射程的2/3，非常接近0.618。在战斗部署中，如果是进攻战，火炮阵地的位置一般是离己方前沿最大射程的1/3倍，如果是防御战，火炮阵地的位置应该是离己方前沿最大射程的2/3倍。
0.618和战术安排
我国历史上很早发生的一些战争，都遵循0.618的规律。春秋战国时期，晋厉公率军攻打郑，在鄢陵与支援郑的楚军决战。巩俐听从了楚国叛徒苗本煌的建议，以楚国的右翼军队为主要攻击点，于是他攻击了中国军队的一部分左军。以另一部攻楚军中军，集上军、下军、新军、公家之兵攻楚右军。其主攻点的选择正好在黄金分割点。
成吉思汗指挥的一系列战争，应该是战争中第一次体现黄金分割律的军事行动。数百年来，人们一直不解成吉思汗的蒙古骑兵为何像飓风一样横扫欧亚大陆，因为仅仅用游牧民族勇敢、残忍、狡猾、善骑射、骑兵机动性等原因不足以做出完全令人信服的解释。也许还有其他更重要的原因？经过仔细研究，我们发现了黄金分割定律的巨大作用。蒙古骑兵的战斗队形与西方传统方阵有很大不同。在其五排阵型中，头戴钢盔、身穿马甲的重骑兵与快速敏捷的轻骑兵比例为2:3，又是一个黄金分割！你不能不佩服马背军事家的天才。奇怪的是，这样一个天才指挥官率领的军队，并不是四面八方所向披靡的。
马其顿和波斯的阿贝拉之战是欧洲人在战争中使用0.618的成功例子。在这场战役中，马其顿的亚历山大大帝将自己军队的进攻点选在了波斯大流士王军队的左中交界处。巧合的是，这一部分也是整个战线的“黄金点”，所以虽然波斯军比亚历山大的兵马多几十倍，但亚历山大还是凭借自己的战略智慧打败了波斯军。这场战争的深远影响今天仍然清晰可见。在海湾战争中，多国部队采用类似的处置方法击败了伊拉克军队。
两军交战，如果其中一方兵力和武器损失超过1/3，就很难与对方交战。正因为如此，在现代高技术战争中，拥有高技术武器装备的军事强国采取长时间空袭的方式，先彻底摧毁对方1/3以上的兵力和武器，再发动地面进攻。让我们以海湾战争为例。战前，据军事专家估计，如果* * *和国民警卫队的装备和人员被空袭损失30%甚至更多，就基本丧失战斗力。为了使伊军的损失达到这个临界点，美英联军多次将轰炸时间延长了38天，直到摧毁了战区428辆坦克的38%、2280辆装甲车的32%、3100门火炮的47%。此时伊军兵力下降到60%左右，是军队失去战斗力的临界点。也就是在伊拉克军事实力被削弱到黄金分割后，美英才拔出“沙漠军刀”砍向萨达姆。仅用了100小时的地面作战就达到了战争的目的。在这场被称为“沙漠风暴”的战争中，创造了一场大战只有百人阵亡奇迹的施瓦茨科普夫将军，虽然不是大师，但他的运气几乎和所有军事艺术大师一样好。其实真正重要的不是运气，而是率领一支现代军队的统帅有意无意地在战争的策划中涉及了0.618，也就是说他或多或少受到了黄金分割定律的加持。
另外，在现代战争中，多国军队在执行具体进攻任务时，往往是梯队进行的。第一梯队实力约占总实力的2/3，第二梯队约占1/3。在第一梯队，投入主攻方向的兵力通常是第一梯队总兵力的2/3，辅助方向是1/3。防御作战中，第一道防线的兵力通常是总数的2/3，第二道防线的兵力和武器通常是总数的1/3。
0.618和战略战役
0.618不仅体现在一个时间一个地点的武器和战场布置上，在地域广阔、时间跨度长的宏观战争中也有充分的展现。
拿破仑大帝，枭雄之辈，绝不会想到自己的命运会和0.18紧紧联系在一起。6月，1812，是莫斯科最凉爽宜人的夏天。在未能消灭俄军的博罗基诺战役后，拿破仑此时率军进入莫斯科。此时的他，踌躇满志，狂妄自大。他没有意识到，此时天才和运气正在从他身上消失，事业的巅峰和转折点同时到来。后来，法国军队在大雪和呼啸的寒风中沮丧地撤离了莫斯科。三个月的高歌猛进，两个月的高潮与衰落，从时间轴上看，当法国皇帝透过火焰俯瞰莫斯科时，他的脚刚好踩在黄金分割线上。
1941年6月22日，纳粹德国启动了针对苏联的“巴巴罗萨”计划，并进行了闪电战。在很短的时间内，迅速占领了苏联的广大领土，并继续向国内进一步推进。两年多的时间里，德军一直保持着进攻的势头，直到1943年8月“巴巴罗萨”行动结束，德军转入守势，再也无力向苏军发起可以称之为战役的进攻。被所有战争史学家公认为苏联卫国战争转折点的斯大林格勒战役，发生在战争爆发后的17月，是德军兴衰26个月时间轴的黄金点。
我们经常听到“黄金分割”这个词。当然，“黄金分割”并不是指如何分黄金。这是一个形象化的说法，即分的比例如黄金般珍贵。那么比例是多少呢？就是0.618。人们把这个比值的分界点称为黄金分割点，把0.618称为黄金分割数。而且人们认为如果符合这个比例，看起来会更漂亮，更漂亮，更和谐。在生活中，“黄金分割”有很多应用。
最完美的人体:肚脐到脚底的距离/头顶到脚底的距离=0.618。
最美的脸:眉毛到脖子的距离/头顶到脖子的距离=0.618。
证明方法:
设线段AB的长度为A，C点在B点附近的黄金分割点，AC为B。
AC/AB=BC/AC
b^2=a*(a-b)
b^2=a^2-ab
a^-ab+(1/4)b^2=(5/4)*b^2
(a-b/2)^2=(5/4)b^2
A-b/2=(部首数5/2)*b
A-b/2=(字根数5)b/2
A=b/2+(字根数5)b/2
A=b(根号5+1)/2
A/b=(根号5+1)/2