建模论文标题

题目:正规战争模型中，假设甲乙双方有效作战系数之比a/b=4，初始兵力x0和y0相同。

(1)问乙方获胜时的剩余实力是多少，如何确定乙方获胜的时间。

(2)如果战斗开始后，甲方有后备部队以恒速R增援，重新建立模型，讨论如何判断双方胜负。

解决方法:为了解决上述问题，我们必须建立一个常规战争的模型。根据题目要求，基于5.3节的模型，我们现在建立模型如下:

X (t)和y(t)用来表示T时刻双方的兵力，可以看作是双方的士兵人数。

(1)双方的战斗损耗率取决于双方的实力和战斗力。甲乙双方的战斗损耗率分别用f(x，y)和g (x，y)表示。

(2)双方的非战斗减员率(疾病、飞行等因素造成的)只与自身实力成正比。

(3)甲乙双方的配筋率是给定的函数，分别用u(t)和v(t)表示。

由此，我们可以写出关于x (t)和y (t)的微分方程如下

方程式(1)

当甲乙双方都是与正规部队作战时，我们只需要分析甲方的战斗减员率f(x，y)。j甲方士兵的公共活动在乙方每一个士兵的监控杀伤范围内，一旦甲方一个士兵被击毙，乙方的火力立刻集中到其余士兵身上，所以甲方的战斗减员率只与乙方的实力有关，可以简单地设定F与Y成正比，即f=ay。A代表乙方每名士兵对甲方士兵的平均杀伤率(单位时间内的杀伤次数)，称为乙方战斗力系数..a可以进一步分解为a=rypy，其中ry是乙方的射速(单位时间内每个士兵的射击次数)，py是每次射击的射速。

同理，g=bx，甲方的战斗力系数B = Rpx，rx和px是甲方的射速和命中率。而且，在分析战争胜负时，我们忽略非战斗减员(这与战斗减员相比是很小的)，假设双方都没有援军，记住双方初始兵力分别为x0和y0，方程(1)可以简化为:

方程式(2)

根据假设2，甲、乙双方的战斗损耗率分别为

, 。

这样就得到正则运算的数学模型:

方程式(3)

根据方程(3)，两边的力X (t)和Y (t)都是单调递减函数，因此可以认为力先减为零的一方为负方。为了得到双方的胜负条件，不需要直接求解方程(3)，而是讨论相平面上相轨迹的变化规律，从方程(3)可以得到。

(4)

解决方法是

Ay2—bx2=k (5)

注意等式(3)的初始条件。有

K=ay02—bx02 (6)

由等式(5)确定的相位轨迹是双曲线，如图所示。箭头表示x(t)和y(t)随时间t增加的变化趋势，因此可以看出，如果k >；0，轨迹会在Y轴上相交，也就是说存在t1使得X (T1) = 0，Y (T1) = > 0，也就是说，当甲方实力为零时，乙方实力为正，说明乙方获胜。同样，见K < 0，甲方胜，k=0时，双方平局。

进一步分析某一方如乙方的中标条件，可以表述为:(6)并注明A、B的含义。

(7)

等式(7)表明，双方初始力的比值y0/x0以平方关系影响战争的结果。比如，如果乙方兵力增加到原来的两倍(甲方不变)，就会影响到原来的四倍(px，RY，py不变)。为了与此竞争，乙方只需将初始力y0增加到原来的两倍。为此，常规战争模型被称为平方率模型。

(1)对于第一个问题。即在常规作战模型中，设甲乙双方有效作战系数之比为a/b=4，初始兵力x0和y0相同。问乙方获胜时的剩余力量是多少，如何确定乙方获胜的时间。解决方案如下:

按照上面的阶段轨迹:

乙方获胜时的剩余实力为:y(t)= 1

要确定乙方赢得t1的时间，需要解方程(3)，可以得到如下

设x(t1)=0。，可以计算出a/b=4。

T1=，T1与甲方的作战有效导数b成正比。

以上是第一个问题的答案，以下是第二个问题的答案:

(2)正规战模型中，设甲乙双方战斗力系数之比a/b=4，初始兵力x0和y0相同。如果战斗开始后甲方有后备部队以恒定速率R增援，重新建立模型，讨论如何判断双方胜负。

解决方案:当甲方的后备力量以恒定速率R增加时，等式(3)的第一个等式应为

也就是说，等式(3)被改变为:

相位轨迹是:

ay2—ry—bx2=k

k=ay02-ry-bx02

即上图中相位-轨迹图中的轨迹向上移动r/2a，由此可以得出乙方获胜的方程条件为K >；0，即:

思考和讨论:

在战争模型中，我们应用了微分方程建模的思想。我们知道，战争总是会持续一段时间。随着战局的发展，交战双方的人力也随着时间不断变化。

这种模型反映了我们描述的对象随时间的变化。我们对变量随时间求导，以反映其变化规律，预测其未来形态。比如在战争模型中，我们首先需要描述的是单位时间内双方实力的变化。我们通过分析哪些因素与这种变化有关，以及它们之间的具体关系，列出微分方程。然后通过简化方程得到两边的关系。这也是我们微分方程建模的步骤。