【高中数学“课后思考题”的设计与思考】高中数学重点知识总结
一、“课后思考问题”的特点
高中数学“课后思考题”应满足以下主要特征。
1问题
因为数学“课后思考题”是以教师设计的一个或几个具有数学思维价值的问题为基础，学生通过自主探索，在解题过程中加深对所学知识的理解和掌握，所以问题是“课后思考题”的形式特征，也是最典型的特征。
2开放性
数学“课后思考题”的教学目标不局限于教学内容的完成，而是从学生的数学探索精神、求知欲望、研究兴趣、意志力培养等数学综合素质出发。教学目标的开放性决定了“课后思考题”内容组织和形式的多样化，也决定了“课后思考题”评价反馈方式和成果应用的多样化和个性化。开放性是“课后思考问题”的内容特征。
3.动机
数学“课后思考题”具有一定的数学思维价值。它不是对知识和技能的简单考查，而是引导学生走向新的目标，鼓励他们开展尝试和探究活动。有时是挑战性很强的小研究课题，能引起学生的兴趣和探究的欲望，所以动机是“课后思考题”的情感特征。
二、设计“课后思考问题”的策略和方法
高中数学新课程实验中有很多精彩的“课后思考题”，可以延伸和深化；或深远，指导探索；或者设置悬念，让人思考；或者联系实际，感受应用等等。以下是江苏教育出版社出版的高中数学教材，正在南京进行实验。摘要:本文以数学中的教学内容为例，探讨了在高中数学课堂教学中设置“课后思考问题”的策略和方法。
1扩展“课后思考问题”
教师在设置“课后思考题”时，可以从学生实际出发，根据学生的实际知识水平、认知能力和知识结构，以问题或探究题目的形式，适当延伸和拓展数学教学的内容，挖掘内涵，帮助学生加深对知识的理解和掌握。
例1《圆的方程(第二课)》(必修2)课后思考题:
(1)给定点M(x，y)与两个不动点O (0，0)和A (-2，0)的距离之比为2，点M的坐标应满足什么关系？你能告诉我出发点m的轨迹是什么吗？
(2)根据例题1(1)，完成以下2008年江苏省高考数学试题:
满足条件AB=2，AC = x/2ab AABC的最大面积是_ _ _ _ _。
这个思考问题延伸了教学内容，实际上引入了“阿波罗尼奥斯圆”和“阿波罗尼奥斯轨迹”。由于“阿波罗尼奥斯圈”在全国各地近几年的高考数学试卷中时有出现，结合高考数学试题可以有效激发学生的探究兴趣。
例2“三角函数的归纳公式(第1类)”(必考4):
(1)三角函数的归纳公式中，可以从任意两组公式2、3、4推导出另一组公式吗？
(2)角A和角β的终边之间有什么特殊的位置关系？可以探究一下他们三角函数之间的关系吗？
这道思考题延伸了要研究的内容，即三角函数归纳公式中隐含公式之间的关系。通过学生的课后探索，不仅可以掌握和使用公式，还可以再次体验这些研究三角函数归纳公式的方法，这也为学生进一步探索三角函数归纳公式提供了素材和空间。
例3几何级数的前N个和(第1课)课后思考题(必修5):
求序列:1？2+2?22+3?23+…+n？2n之和，
这个思维问题延伸和拓展了研究等比例数列求和公式的重要方法，即错位减法。在几何级数的前n项和公式的推导中，可以用错位减法直接得到公式，但在本题中，用错位减法构造了一个新的几何级数。所以，这个问题作为数学中的“课后思考问题”，具有方法拓展的价值。
2迁移应用的“课后思考题”
应用型“课后思考题”的迁移主要涉及数学知识和方法的恰当迁移和应用，包括用数学知识解决数学问题和实际问题。设置迁移性应用型“课后思考问题”，不仅可以提高学生解决问题的能力和水平，还可以培养学生的应用意识和创新意识。
例4“基本不等式AB ≤ A+B/2 (A ≥ 0，b≥0)”(必选5):
长方形的两条边分别是a和b。这个长方形的面积比周长大3。求这个矩形的面积范围。
在这道思考题中，由于A和B都是正数，列出方程ab=a+b+3后，基本不等式可以转化为一个关于ab的二次不等式。设置这道思考题的目的是提高学生运用基本不等式分析和解决问题的能力。
例5“函数的单调性(第1类)”(必考1):
适量的糖完全溶解在一碗水中。如果这碗水的质量是1kg，糖的质量是xkg，糖水的浓度是y，试写出y与x的函数关系，用函数的单调性解释“糖加得越多，糖水越甜”这一特征。
这道思考题是函数单调性的一个简单应用。因为与实际问题相关，所以可以激发学生学习“课后思考题”的兴趣，帮助学生进一步理解函数单调性的概念。
3前后呼应“课后思考问题”
“课后思考问题”可以从两个方面入手:一是呼应本节课的教学内容或方法，二是呼应下节课的教学内容或方法。
例6“椭圆的标准方程”(选修2-1)课后思考题:
(1)如果圆上一点的横坐标不变，纵坐标变成原来的一半，那么得到的曲线是椭圆吗？
(2)如何借助椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质？
本例中的问题(1)与教材中椭圆的定义不同。是一种变换的方法，但可以帮助学生从变换的角度理解椭圆，与本课的教学内容相呼应。本例第二题开始涉及椭圆的几何性质，与下节课的教学内容相呼应。
例7“平均变化率”(选修2-2)课后思考题:
运动质点的位移S和时间T满足s(t)=t2。如何描述质点在t=1时刻的运动速度？(位移单位为米，时间单位为秒)
本例中的思考题的作用是引导学生在课后思考如何从平均变化率到瞬时变化率来描述真题，也是为学生下节课学习瞬时变化率做铺垫。
4操作实验“课后思考问题”
运算实验的“课后思考问题”是设置一些运算实验活动，让学生在运算实验中加深对知识和方法的理解和感悟，从而加深理解，发展数学思维。
例8直线与平面的位置关系课后思考题(第二课)(必修2):
(1)如图1，请用一张三角形的纸做实验:将纸折过AABC的顶点A得到折痕AD，将折好的纸竖直放在桌面上，使BD和DC与桌面接触。①折痕广告是否垂直于桌面？
②如何让折痕广告垂直于桌面？
(2)能不能设计一个四个面都是直角三角形的四面体？
本例中,( 1)题要求学生操作，在操作过程中会不断分析调整，直到得到正确答案；问题(2)要求学生不断建构和尝试图形。在操作实验中，学生可以加深对一些常见图形的理解和掌握，进一步明确一些特殊图形中线与线、线与面、面与面的位置关系。
5质疑纠错“课后思考题”
利用学生解题中的常见错误设置“课后思考题”，可以引起学生的质疑和反思。这些“常见错误”是数学教学中的重要资源。
例9“直线的斜率(第1类)”(必修2):
以下判断是否正确？请说明理由。
(1)若直线1经过点P (3，2)和点Q(m，0)(m为实数)，则直线1的斜率为2/3-m；
(2)若通过C点(2，4)的直线1与线段AB相交，A点和B点的坐标分别为A(-3，-2)和B (3，3)，则直线1的斜率的范围为[-7，5/6]。
这个例子来自于学生学习这部分内容时最常见的错误，就是忽略了直线的斜率不存在的事实。通过学生课后的思考，让学生进一步理解和认识直线的斜率。
6 .获取信息化的“课后思考问题”
通过布置这类思考问题，教师可以让学生利用课余时间查阅各种书刊，或者上网，查找资料解决“课后思考问题”，有助于丰富学生学习和探索问题的途径。
例10“数制扩展”(可选1-2):
虚数是虚幻的吗？虚数在现实生活中有用吗？
要完成这道思考题，学生必须查阅各种书刊或网上。在解决这一思维问题的过程中，学生可以进一步了解数系的扩展过程，了解实际需求与数学的矛盾在数系扩展中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。
7基于微话题的“课后思考问题”
基于微话题的“课后思考问题”是指教师设计一些数学探究问题，要求学生围绕这些数学问题，通过自主探索和合作交流，解决与数学或生活经验相关的具有挑战性和综合性的问题，从而发展学生的解题能力。
例11《基本不等式的应用(第二类)》(必修5):
众所周知，当渠道的横截面积不变时，湿周越小，流量越大。有以下两种设计可供选择:
图2横截面为等腰△ABC，AB=BC，湿周l 1 = a b+BC；
图3横截面为等腰梯形ABCD，AB=CD，AD∨BC，∠Bad = 60°，湿周l2=AB+BC+CD。
如果AABC和梯形ABCD的面积都是s
(1)分别求l1和l2的最小值；
(2)以流量最大化为目标，给出最佳设计方案。这种“课后思考问题”与学生正在学习的数学内容密切相关，可以使学生经历从问题到函数的过程，然后通过学习和比较两个函数之间的关系，得出问题的解决方法，其中解决函数最大值问题的主要方法是利用基本不等式和正弦函数的有界性。这种“课后思考问题”突出了数学应用的价值，对改善学生的学习方式能起到积极的作用。
三、设置“课后思考题”的注意点
1对学生来说应该是实用的。
学生是完成数学“课后思考题”的主要执行者，这就决定了“课后思考题”的设置要符合学生的知识水平和能力水平，太容易太难就失去了有效性，要让学生“一跳就中”。同时要关注学生的差异，对不同的学生有灵活的要求，让每个学生都得到应有的发展。
2总体设计和规划
对于数学某一阶段的“课后思考题”的设计，教师要有一个整体的规划，根据学生的发展在不同时期有不同的重点和难点去突破，突出数学的核心概念和思维方法。
3应重视反馈评价
对学生完成数学“课后思考题”的评价，既要关注结果的对错，也要关注学生对数学“课后思考题”的态度，是否思考过，强调过程本身的价值。注重过程性评价也要求教师关注学生遇到的困难，指导学生如何克服。此外，教师要给学生更多展示的机会，对学生完成数学“课后思考题”的成绩表示赞赏，鼓励学生不要怕困难，树立自信心。
当然，教师在数学中设置“课后思考题”的方法和形式应该是不拘一格、多样化的。数学教学中的“课后思考题”也需要进一步丰富内涵，拓展外延，使之真正成为一种有效的教学方式，真正服务于学生的发展。
(编辑刘永清)