关于群表示理论的一点废话
讲义大致分为两部分，第一部分是有限群的表示，第二部分主要是紧群的表示。在教学实践中，我们用了七讲有限群，四讲紧群，最后一讲给出了SL2(R)表示的基本结果。我们稍后会记录详细的课程进度。
有限群部分主要讨论半单性、正则表示的分解(即有限群的Peter-Weyl定理)和诱导表示的构造。这些内容都是标准的。作为应用，我们研究了有限域上二阶矩阵群的表示。最后讨论Tadashi Tadashi的重构定理，即由表示范畴依次构造群。定理的证明虽然简单，但是这里的思维方式对学生来说是陌生的，所以在教学中，我们把重点放在定理说了什么，而不是怎么证明。整个第一部分内容可以作为本科生学习基础抽象代数后的短期课程或阅读课。这里力求简明扼要，用最短的篇幅和最直接的逻辑路线讲述有限群表示的基本内容。
在紧群部分，我们以Peter-Weyl定理为中心。由于学生对拓扑群不熟悉，这部分的叙述风格与第一部分略有不同。我们仍然力求简洁，但我们也尝试添加一些讨论(fèi)来帮助您理解。我们也强调例子。有些地方甚至直接讲例子，不讲一般理论。首先我们回顾一下傅立叶级数的相关理论，说明为什么是S1的表示理论。接下来是两个一般理论，主要是证明Peter-Weyl定理，讨论抽象紧群上的傅立叶级数理论。然后我们回到例子。用具体群苏(2)理解和深化前面的定理。最后，我们讨论了紧群的重构定理，作为有限群的同音异义定理的呼应，但在教学实践中没有讲授这个定理的证明。课程结束时，我们陈述了SL2(R)所代表的分类。大部分结论都没有被证明(也不可能在这么短的一节课内证明)。我们希望你能把这作为进一步学习的开始。
上一节我们收集了一些相对复杂的资料，都打包成习题。这些练习大家可以用课堂上学到的东西来理解，大部分也可以用课堂上学到的东西来做。当然，做不出来也没关系，已经很难了。保持慢慢思考也是好的。
我们的学生来自祖国的南北。大家都是为了* * *的梦想来到北京，在漫长的夏天享受着从代表界吹来的凉风。后来，北京越来越热。为了凉快一点，大家每天坐飞机甚至坐火箭去上课，就是为了让风更大一点。大部分学生都是大二或者大三。总的来说，他们学了一点抽象代数，测度论，复变函数。有些同学对群表示理论和泛函分析略有耳闻。我们用的结果基本都是群论的线性代数，在紧群的部分用了一些简单的泛函分析(就是方便说话)。只要你学过群论和线性代数，我们都欢迎学习表示论。总有一款适合你。
最后，我想提一个值得警惕的现象。学生往往对我干的表象理论工作不感兴趣，不愿意自己动手做计算。相反，他们非常热衷于没有内容的抽象废话。下面是一些典型的例子。先是觉得GL2(Fq)太具体太枯燥，然后看到范畴论在讲重构定理的时候是多么的热情。
再者，说到对一个群的傅立叶分析，普朗克公式认为这是纯粹的微积分。结果，当一个群代数是C*-代数时，眼前一亮。我不是说喜欢抽象的东西不好，而是说抽象的东西要有具体的例子支撑。抽象工具应该为特定的问题服务。我们现在看到的这些抽象数学，之所以擅长数学，并不是因为它复杂的抽象结构看起来很好，听起来很高大上，而是因为它可以帮助我们解决以前解决不了或者变得复杂的问题，或者让我们在更高的层面上洞察问题的本质。每个人都崇拜格罗滕迪克，他改写了代数几何的整个框架。但是我们必须认识到，格罗滕迪克为了解决代数几何中的一些具体问题，重新构建了抽象的框架，特别是和韦尔一起猜想这个问题是正的，这在理论和实践上都具有重要的意义。所以我们要记住，抽象必须服务于具体问题，而不是抽象。
我们一次上课一个半小时，一周三次，安排在周二周四周五上午。下午会有助教辅导和老师问答。课时将为* * *十八小时。学生们优秀的素质和惊人的勤奋使课程进展非常顺利。当我在普渡大学教书时，一些学生告诉我，你讲课像火箭一样。我觉得我在这里讲的进步可能不仅仅是火箭而是超级星际飞船。我认为在正常的教学实践中，把速度放慢一半或一半以上是可行的。还不如给学生补充大量的具体事例。一些预备知识或背景知识(我们都假设学生知道的)也要纳入正常的教学内容(代数模、范畴论、简单泛函分析等。).
本课程内容作为数学专业大三或大四上学期36学时或48学时的选修课是合理的。总结起来，讲座的进度大致如下:
1.有限群表示的定义，半单性，正则表示定理的陈述。
2.特征的定义、正交性、右正则表示的分解和不可约表示维数。
3.矩阵系数，正则表示的分解；两个定理:维数可除群的阶的不可约表示，伯恩赛德可解性定理。
4.归纳表示，弗罗贝纽斯互易定律，麦基子群定理。
5.GL2 (FQ)群的结构用抛物线归纳法表示。
6.点表示，用Weil表示结构性的点表示(我们省略分裂的情况，跳过定理4.4.2后的迹的计算)。
7.有限群的Tadao定理。
8.希尔伯特空间，圆表示和傅立叶级数。
9.紧群表示和不可约表示的基本事实都是有限的(我们跳过了证明)，还有Peter-Weyl定理(我们强调了定理的陈述，告诉学生如果没学过紧算子，这个证明可以跳过)。彼得-韦耳定理的证明用了大约半个小时。
10.紧群上的调和分析。我们着重讨论了用Peter-Weyl定理构造L2(G)的标准正交基。
11的表示与调和分析。苏②。我们跳过了Weyl积分公式的证明，没有过多讨论轨道积分的性质。也就是说，我们在事实的基础上证明了普朗克公式，强调了它的重要性，结束了。
12.SL2 (r)的离散序列表示和酉主序列表示的构造，普朗克公式的陈述。
下面谈谈对学习的一些看法。首先，对于有兴趣学习数学的同学来说，学习新事物到一定程度后第一次理解所有东西是不现实的(取决于每个人的天赋，但一般以实变函数抽象代数为界)。其次，正是在这个阶段，对学习的要求有了很大的提高。一般来说，它要求我们在短时间内理解一门学科的核心内容。
问题来了。你什么意思，学会了？我想强调的是，至少，我认为证明定理甚至记住它并不等同于真正意义上的理解是非常重要的。我认为，学习最重要的是建立正确的直觉，这是学习的标志。什么是正确的直觉？我认为它的意思是，当你看到一个定理的定义时，你可以本能地在脑海中建立以下东西:最能反映问题本质的最有代表性的例子，定义或定理的合理性(为什么这样定义而不是那样定义)，定义和定理的必要性(为什么这样定义或为什么这样作出)，定理为什么是对的(有什么哲学上的理由来解释定理)等等。
我们举个小例子。看到“黎曼函数可积分当且仅当函数的间断点集是零测量集”这一定理，我们会想到什么？以下是几个重要的方面:(1)零测度集是指集合中的点不多，但这个条件比可数性稍弱；(2)黎曼可积性说明函数的连续性不能太差。这个定理给出了“不太坏”的确切含义，所以应该是对的。(3)黎曼函数是在所有有理点都不连续且无理的函数，所以可以积分。你可能会想到很多其他的东西，但我想说的是，和这些东西相比，定理本身的证明就没那么重要了。建立正确的直觉无疑是困难的。克服这些困难，最终完成正确直觉的建立，需要大量的积累。积累的不仅是知识，还有实例。从某种意义上说，例子相当于直觉，直觉是例子的内在本质，例子是直觉的外在表象。当我们头脑中的例子不足时，直觉就很难成立。所以我们要反复学习，自己研究例子。每个人都要自己做例题，看别人做例题，永远是别人的例题，而不是自己的。这就像看别人游泳，自己永远学不会。只有下水或者喝几口水，才能学会游泳。第一次不懂也没关系。即使前几次不懂，想不通也没关系。不要怀疑自己。你缺的只是实例和经验的积累。例子当然是相对的。今天抽象的东西，明天就会变成更抽象内容的例子。就像矩阵可以作为线性方程组的抽象，而矩阵本身就是一个更一般的算子的具体例子。有一种很玄学的东西叫数学成熟。我觉得你头脑中例子的丰富程度也可以看作是数学成熟的一个重要方面。
在学习的过程中，我们往往是依靠事例前进的。当我们碰到一个定义或者定理的时候，首先要给自己举一个例子，看能不能举一个不那么普通的例子。正反两方面的例子都需要。例子太多了，我们自然会有感觉。比如学习群体，我们首先问自己，我们脑子里有多少具体群体的例子？我们对这些例子了解多少？比如我们会遇到一个经典的结果:最小的非交换单群是A5。我们的第一反应，为什么？先试试吧。我们试试订单小于60的几组。然后我们发现，如果你尝试任何一个例子，总有一些原因使它不是一个非对易单群。在试错的过程中，你会遇到Sylow定理，关于p-群的结果，以及其他各种小结论。当你尝试了足够多的例子，你觉得你可以从心理上接受“最小的简单群是A5”。虽然你没有看证明，但其实你已经基本“理解”了这个结论，因为你已经大致知道为什么其他组不行了。比如学习伽罗瓦理论后，我们首先看到了伽罗瓦理论的主要定理。这个时候，我们自己试试吧。我们拿一个方程来计算伽罗瓦群(比如x3+x+1的伽罗瓦群，能算出来吗？)，还是直接写个域扩展，问是不是伽罗瓦扩展？你能写下所有的中间字段吗？
古人云:一本书读一百遍，其意不言而喻。但这是一本古书。不知道你看了一百遍能不能秒懂。
读一百遍学数学可能没用，但算一百遍例题绝对有好处。
另一方面，我们说要快速掌握一门学问的核心内容。怎样才能快速掌握一门学问的核心内容？最简单的回答:让懂行的人告诉你。向别人学习，尤其是骨干内容，是最高效的方法。对于这门课，我尽力做一个博学的人，用简洁直接的方式描述表征理论(在我看来)最重要的内容。稍微复杂一点的答案:薄读书。华告诉我们，读书要先厚，再读书。读厚的过程是直观的算例过程，读薄的过程是对主要内容的把握过程。我们前面说的是读厚书的过程。怎么读薄书？一个简单的练习就是给你一个小时来谈论一个主题的主要内容。最重要的研究对象是什么？最重要最本质的定理是什么？为什么这个定理是对的(注意这不是证明而是哲学)？这个时候我们就要去粗取精，直捣黄龙。所有问题只服务于核心。我不能帮你把这本书读厚。如上所述，这需要你自己疯狂的努力。希望这门课能为瘦读书的过程做出一点小小的贡献。
我远不是一个优秀的数学家，也不是一个优秀的数学老师(我要在这里邀请我的老师和其他弟子，我常常因为自己水平有限而为自己的遗产感到羞愧)，这使得我对很多问题的理解或许并不是最优的。我的文学素养也很有限，写出来的东西不一定有意义，也不一定能表达出我内心最本质的想法。
总之语文和数学都没学好。不过没关系。这个世界上的人远比我有见识，有修养。他们写了许多值得一读的东西。以下是这两本书的序言:
1.分析中的问题和定理。这是经典中的经典。习题永存，一本书永存。书的序言让人想死。
2.吴宏喜，黎曼几何导论。我不是几何学家，无法评价这本书的内容，但序言已经让我看了不下十遍。在我极其有限的阅读范围内，它是中国数学书最好的序言。
最后，我邀请两本关于表现的教科书。
1.塞尔。有限群表示。
2.富尔顿，哈里斯。表象理论。
这两本书真的是读厚书和读薄书的经典教案。塞尔的书很薄，很简洁，三言两语就直奔主题。我最佩服Serre写书，我几乎想直接把膝盖给他老人家。Serre写砍瓜菜之类的书证定理，逻辑结构包装精美。各种困难仿佛瞬间烟消云散。当然，这本书太干了，如果你快速阅读的话，很容易窒息。富尔顿和哈里斯的书很厚，但没有内容。罗里胡言乱语了一大堆。这是一本读厚书的经典:里面全是例子！都是例子！都是例子！榜样带你起飞！
很多同学都在问学完这门课接下来学什么。这个当然要看你下一步想做什么了。但总之，有些东西还是标准材料，值得每个数学家去掌握。这方面恐怕主要有两个:紧李群的最高权表示理论和复半单李代数的分类与表示。你可以参考的阅读材料有:
1.李代数和表示理论导论。简洁。
2.knapp，李群超越简介。内容简单(Luū)扎实(suū)，也写得很清楚。
3.塞潘斯基，紧李群。内容很初级，作为教材很不错。
非紧李群表示的介绍也可以在Knapp的书《半单群的表示理论:
基于示例的概述。这本书接近800页，内容包罗万象。当然，它只是一扇门。这方面现在已经成为一个热门的研究方向。建议你直接看论文，有了基本感觉之后再找题目做。
两横一纵都是干货！
对于数论者来说，p-adic群的表示也是非常重要的。基本内容大多是从GL2学来的。标准教材不是Jacquet-Langlands就是Bump。当然，更普遍更深刻的教材是1992年伯恩斯坦在哈佛的讲义。
1.Jacquet，Langlands，GL (2)上的自同构形式。这本书或其作者非常有名，以至于每个人都称这本书为Jacquet-Langlands。
2.凹凸，自动表格和演示。这本书是标准教科书。一般称为凹凸。这本书错误很多，勉强可以承受。
3.伯恩斯坦，关于P-adic集团演讲的讲稿可以在伯恩斯坦的主页上找到。我们说要向大师学习，这就是大师。伯恩斯坦的一切都值得学习。Jacquet-Langlands和Bump是自控表象的教材。这当然是数论中最重要的部分之一。学习。
自制力强的话，读一本就好。另外，你可以参考
1.顾德明，关于雅克-朗兰兹理论的注释。这本书之前没有出版，但是在IAS上印了，最近终于由高教社出版了。它比原书Jacquet-Langlands内容更少，更容易阅读。
2.Gelbart，Adele群上的自同构形式。这本书长期以来一直是标准教材，流传甚广。但是小错误很多，排版印刷质量也很堪忧。读起来很酸(至少我学的时候有这种感觉)。
表象理论是一门大知识，我只能提一些我比较熟悉的部分。例子比较多，比如几何表象理论，量子群，范畴化等等。表示论还与几何拓扑、数学物理等密切相关。这些都是我不了解的，也无法跟你深入解释的。对于表象理论的概述，你可以仔细看看中国科学院数学学院院长Xi南华院士在暑期学校所做的高屋建瓴。
有点废话，上图。