非线性有限元分析的Mooney-Rivlin超弹性模型
穆尼-里夫林是以两位力学家的姓氏命名的，分别是m .穆尼和R. S .里夫林。1940年，穆尼在著名的《应用物理杂志》上发表了题为《大弹性形变理论》的论文。八年后，1948，里夫林在伦敦皇家学会的《哲学汇刊》上发表了一篇名为《异质材料的大弹性变形》的文章。于是就有了今天的穆尼-里夫林模型，这个模型曾经主导了整个橡胶力学的研究。同时也为其他以应变张量不变量为核心的模型奠定了基础。另一类超弹性模型是以主拉伸为核心的模型，如Ogden模型，我们将在以后的文章中介绍。
65438年至0893年，穆尼出生于美国密苏里州堪萨斯城。24岁获得密苏里大学学士学位，30岁获得芝加哥大学博士学位。他是美国国家研究委员会的成员，也是西方电气公司和美国橡胶公司的物理学家。像我们之前介绍的Rivlin一样，Mooney博士将他一生的工作和研究都献给了高分子材料的力学。当然，穆尼比里夫林大20多岁。Rivlin博士在上一篇文章中有介绍，这里就不赘述了。
像其他超弹性模型一样，我们使用弹性应变能来表征力学性质。根据Mooney-Rivlin的顺序，有四种常见的类型:2参数、3参数、5参数和9参数应变能。
穆尼-里夫林2参数的弹性应变能为:
穆尼-里夫林3参数的弹性应变能为:
穆尼-里夫林5参数的弹性应变能为:
穆尼-里夫林9参数的弹性应变能为:
从上述四个弹性应变能公式可以看出:
1.高阶应变能模型可以模拟更复杂的应力应变曲线，但也意味着更多的计算、实验和参数拟合。同时增加了非线性求解器的负担，可能导致收敛更加困难。
2.穆尼-里夫林模型是多项式模型的一种特殊形式。当N=1时，多项式模型降为两参数Mooney-Rivlin，当N=2时，多项式模型降为五参数Mooney-riv Lin；当N=3时，多项式模型简化为9参数Mooney-Rivlin。
3.2在参数模型中，当参数C01为零时，简化为Neo-Hookean模型(C10的系数为2倍)。非零C01项使单轴拉伸下的变形预测更加准确，但模型不能准确模拟多轴应力数据。或者从某一变形试验中获得的数据不能用于预测其他类型的变形。
4.2参数模型的剪切模量为常系数\mu=2(C10+C01)，不适合模拟炭黑填充硫化橡胶。C10和C01都是正定常数。对于大多数橡胶，当c 10/c 01≈0.1 ~ 0.2时，在150%的应变范围内可以得到一个合理的近似值。
5.三个或更多的Mooney-Rivlin模型可以描述非稳态剪切模量。但引入高阶项后需要仔细计算，因为可能会产生不稳定的应变能值，得到超出试验范围的非物理结果。
这四个函数的Mooney-Rivlin模型实际模拟应该用哪一个？常根据材料实验的应力应变曲线来确定。比如单曲率(无拐点)的应力应变曲线，可以用2个或3个参数。双曲率(包括一个拐点)可以使用5个参数。可以选择三曲率(包括两个拐点)作为9参数模型。
同时，为了产生有效和正确的超弹性材料特性，Mooney-Rivlin参数必须满足特定的正定要求。如果不能满足这些约束，解决方案可能不会收敛。对于不同参数的Mooney-Rivlin，如图所示满足正参数约束要求。
总的来说，穆尼-里夫林模型得到了广泛的认可和应用。尤其是在小应变范围内(0~100%拉伸，30%压缩)，更能表征橡胶材料的力学行为。不同参数的机型也为用户提供了更多不同工况的选择。然而，穆尼-里夫林也有一些局限性:
1.不适用于变形超过150%的工况。
2.由于参数较多，高阶Mooney-Rivlin参数从手册或文献中获取相对困难，需要对实验数据进行曲线拟合才能获得。
3.它不适用于分析可压缩的超弹性材料，如泡沫材料。
4.输入数据范围外的实验数据预测误差较大。
在本例中，我们将使用五参数Mooney-Rivlin来分析橡胶材料的压缩状态。
定义穆尼-里夫林超弹性材料
这里我们模拟橡胶材料，输入参数为:C10 =-0.55 MPa，C01 = 0.7 MPa，C20 = 1.7 MPa，C11 = 2.5 MPa，C02 =-0.9 MPa，D65438。
建立一个模型
建立一个直径为10 mm，高度为10mm的圆柱体，划分网格。固定底部约束。并对顶面施加5mm的向下位移。
找到解决办法
由于强非线性，我们设置了30个子步。然后单击求解按钮。
检查结果
等效应力分布如图所示。可以发现，在等步长位移的情况下，应力呈非线性增加。
这里有一个操作视频，供你参考。