初中数学建模论文题目
一.提出问题
台阶和楼梯在我们的日常生活中很常见，每天都要走。好的台阶设计不仅可以节省上楼的时间，还可以最大限度地减少体力消耗。但不合理的设计会让人上楼费时费力，甚至有危险。于是我们不禁要问，如何设计台阶的长宽比才能达到最佳？(以下主要讨论上楼的过程，最后涉及下楼的讨论。)
作为解决问题的第一步，我们将首先证明这个最优设计的存在性。下面两张图片展示了两种不同类型的步骤。
当总高度、台阶宽度和物理消耗保持不变时，台阶的高度h足够小，那么台阶的数量就会足够大，最后上楼的时间t趋于无穷大。所以我们不会上楼。如果把H做得足够大，而人的腿部运动能力是有限的，那么每一步的功的增加必然会导致攀爬时间的积累和增长，这也是我们所不能接受的。由于各种状态的连续变化，我们可以得出这样一个结论:存在这样一个H，使得T为最小值。同样，当步长r很小时，人也不能静止不动。当R足够大时，时间t趋于无穷大。所以我们有充分的理由相信最优r和h是存在的。这里的分析只靠感性认识和几何直觉。下面，我们将从数学的角度给出一个尽可能合理的答案。
二。问题分析
符号表示:
m人体质量
重力加速度
l人小腿长度
V人的正常行走速度
上楼时的腿部力量
楼梯的总高度
h步高
r步长
p人体以高度h爬楼梯时最舒适的输出功率。
c人脚长。
要仔细全面地分析这个问题，我们可以把人上楼的整个过程进行分解，把上楼的每一步都设定为一个单元，那么我们就可以画出人体运动过程的草图。考虑到上楼是一个非常复杂的人的动态过程，为了抓住主要矛盾，简化问题，一些人为的假设将是必要的。
模型假设:1，脚的前端每走一步都接触B点。
2，一个人的全部重量可以看成一个质点并集中在O上(相当于集中在N上)，其他部位没有重量。
3.每一步走相同的距离(步宽)，不断向前。
4.人体上升的力量来自于支撑腿的力F，与H有关，F的大小是恒定的，在H固定的情况下始终保持ON方向。
5.上楼梯过程中做的功只是在DN段，人总是带着所谓最舒服的感觉(P不变)上楼。
6.步长大于或等于英尺长。
运动分解:爬楼梯可以看作两个运动过程。
1.(从M到N)人要想爬上台阶，重心前倾将是第一步。毕竟人是在前进的。为了在D点施加力，将M点移到N点是合理的..而且这个过程非常接近人在平地上行走时的状态(这里一视同仁，速度为V，V的方向近似水平)。为了简化计算，可以把这一段做的功做得小到可以忽略不计(因为我们的主要矛盾是上楼，这一段做的功的变化也相当于在平地上走5米和10米的差，在正常人眼里很小)
2.(N个点垂直直立，回到初始状态)这个过程所做的功就是F的贡献(这里腿的屈曲很像课堂上推铅球模型中的放球过程，因为当时的主要矛盾是球的初速度，所以可以近似地看成线性关系，但此时的重点是在这个屈曲过程上，所以假设自然与模型机理不同)。那么，根据生物课上学到的知识，我们可以知道，人的腿部的运动依赖于肌肉细胞的伸缩(伸缩方向只能是沿着腿部的方向)，所以可以把所有的肌肉看成一个力，方向始终是沿着腿部的方向，大小不变(实际上f是随角度变化的，为了简化问题可以设为常数)。考虑到人在2步过程中上升时所做的功实际上是非保守力所做的(不是w=mgh)，那么我们在爬同样2米的高度时，必须在10步和2步中做功就非常简单直观了。造成这种差异的根本原因在于腿部的承受能力与受力方向的夹角(也就是台阶越高，我们做的额外工作就越多)。因此，需要从数学的角度来衡量“腿功”这个概念，假设4将是必要的。其次，要衡量“舒适”和“疲劳”这两个概念。通常我们短距离疲劳的主要原因其实是腿部的运动强度太高，也就是功率P太大。这使得测量“舒适度”成为可能。
三。获取数据
行走速度的计算五:首先，所谓的“正常速度”是一个模糊的概念，但它是客观存在的。为了尽可能地得到人正常行走的速度，并要求误差尽可能小，这里采用多次测量的方法。你需要自己做实验。靠近房子的入口地面是用方砖铺成的，每块砖都是正方形，边长0.48米。这为距离的测量提供了方便。以最大自控能力的正常速度行走，规定当走过五块砖时，开始记录时间，并将该点设为距离零(以便去掉加速段)。最终得到11组数据。
距离(米)时间(秒)
1 2.4 2.03
2 2.88 2.42
3 3.36 2.78
4 3.84 3.22
5 4.32 3.57
6 4.8 3.97
7 5.28 4.47
8 5.76 4.81
9 6.24 5.19
10 6.72 5.53
11 7.2 6.05
下图是在matlab中拟合得到的。线性多项式为y = 0.012909+0.83186 x，所以正常行走速度为1.202m/s。
体重53 kg，小腿长0.47 m，脚长0.26 m，都可以精确测量。只有幂p是未知的，但是因为我们假设它的大小是不变的，所以在后续的模型求解中可以根据关系反解。
四。模型的建立
假设总步数为(如果有分数的话，可以近似视为每个短时间的取次数)。这个错误可以忽略)
设过程1的时间为，将关系代入可用过程1的总时间为
流程二的总时间为
其中函数是h，l，f和p，因为我们假设点m和n有大致相同的高度。那么它就是一个与x无关的函数。如果总时间
最小值，x必须是最小值。所以是可用的。我们得出的结论是，台阶的宽度应该设计成接近脚的宽度。由此得到下图a，以此为基础讨论H的变化。
因为我们首先假设f的大小是常数。如果F能带动人体向上运动，Fy至少要等于mg，所以我们在最省力的情况下取。此时我们已经分解了F，因此，在从N点移动到S点的过程中，F所需的功只需要对Fx Fy单独计算。
我们仔细分析运动过程，放大成B图。
当步高为h时在Fy方向工作:设NNm的长度为变量M，当Nm从n移动到s. M从0变化到h .计算
通过微分分析，当m改变△m时，
其中S(△m)为Om的垂直移动距离。
对m的积分
2.当步高为h时，在Fx方向工作:
微分元素分析，加上△m，我们得到
将△m除以两边，使△m→0。因此
其中S(m)是PmOm的长度。对m的积分
因为我们假设F是H的函数(H取常数定时)。所以拿着
总而言之，我们上楼的总时间
让我们从这个公式中确定t的最小值，并把参数
p待定。
以上计算都可以用maple来完成。计算过程如下
t:= m-& gt；sqrt(0.47^2-((2*0.47-h+m)/2)^2)；
diff(t(m)，m)；
e:= m-& gt；-sqrt(0.47^2-((2*0.47-h+m)/2)^2)*1/2/(.2209-(.4700000000-1/2*h+1/2*m)^2)^(1/2)*(-.4700000000+1/2*h-1/2*m)/0.47；
int(e(m)，m=0..h)；
wy:= h-& gt；(2*0.47*h-h^2/2)/(4*0.47)；
f:= h-& gt；(2 * 0.47 * 53 * 9.8)/(2 * 0.47-h)；
wx:= h-& gt；& gt.4999999999*h-.2659574468*h^2
由此，我们发现WX和WY做的工作基本相同。所以最后，总时间表示为
& gtf:= h-& gt；h*(1.2*(2*0.47*53*9.8)/(2*0.47-h)*(.4999999999*h-.2659574468*h^2+.5*h-.2659574468*h^2)+0.26*p)/(h*p*1.2)；
而且根据上面的结果，我们可以观察到人腿所做的功(Wx(h)+Wy(h))与实际有效功Mgh之间的关系。
系统随h变化的过程图。
红线是人腿做的总功，黄线是有效功Mgh。这种变化也符合我们的感受。比如随着H的增大，我们踩台阶会感觉越来越费力，H越大，这种变化越明显。
然后进行几组实验，确定p的近似值，选择不同的楼梯，以正常的速度从下往上走(不感到累)，记录经过的时间。根据假设和上式分别求出p，得到下表。
步数n步高h总高度h时间t幂p
1 20 0.17 3.4 18.11 142.34
2 18 0.15 2.7 14.83 140.49
3 25 0.14 3.5 18.92 133.09
4 16 0.18 2.88 15.06 144.31
5 20 0.16 3.2 16.87 146.18
6 22 0.17 3.74 18.87 152.94
7 20 0.15 3 15.79 148.92
8 18 0.16 2.88 14.91 149.79
9 16 0.17 2.72 15.10 134.85
实践证明，P随总高H和H的变化不大，说明我们之前的假设基本合理。这里取9次测量的平均值作为P，所以我们得到P=143.66。
我们在第一种情况下分析t。取H=3.4。
& gtf:= h-& gt；3.4*(1.2*(2*0.47*53*9.8)/(2*0.47-h)*(.4999999999*h-.2659574468*h^2+.5*h-.2659574468*h^2)+0.26*143.65)/(h*143.65*1.2)；
plot(f(h)，h=0.1..0.5);
从图像中我们观察到有这样一个H，总时间是最少的，也就是说给定某个H的上楼时间，我们就可以计算出H在这个幂p上用最小时间的理想高度，上图中，从0.19减少到0.24米的时间大约是0.2秒，这个时间的优化是如此之小(0.2秒)，可以不考虑(可以近似认为是常数)。时间快速缩减的周期是从0.1到0.19。所以为了让腿力尽可能小，我们不妨把H设为0.19米。
那么我们要问了，这个模型到底有多靠谱？因为v P是粗略测算的，我们就来分析这两个参数的敏感性。
plot3d(f(h，v)，h=0.1..0.5，v=1.1..1.3，轴=盒装)；
plot3d(f(h，p)，h=0.1..0.5，p=140..154，轴=盒装)；
从三维图形可以看出，该模型是比较可靠的。这里不用老师在课堂上用的敏感分析法，因为我只是想直观地展示解对参数的连续依赖性。只使用离散数据似乎不太直观。
到目前为止，经过计算，我的最佳步高应该是0.19米左右，也就是说，这个高度可以充分有效地使用我的正常力量，这样上楼的总时间是最短的，超过极限也不会觉得累。
对了，这里解释一下下楼的流程。在短距离内，下楼的过程可以近似看作是腿做零功，功完全由重力完成的过程。由于重力是保守力，下楼的时间应该与H近似无关。但是为什么长时间下楼会让我们觉得累呢？原因可能是下楼时的缓冲力。人毕竟不同于木块和小球，下落太快对腿部和身体的冲击会造成不适，所以腿部总要做一些功，使其下落缓慢，平稳落地。
我在这里引入缓冲时间这个变量，其中T是实际下楼总时间，L是步宽，V是水平行走速度。显然，它是缓冲(延迟)时间的总和。对于大多数正常人来说，在短距离下楼的过程中，在H的正常范围内(上面计算的范围)，可以近似视为0。那就只能讨论上楼的过程了。然而，它能永远被忽视吗？答案显然是否定的，比如H大的时候是H和H的函数(H的影响不可忽略)，一些特殊群体比如老人和残疾人会相当大，所以下楼的过程要分开考虑。
动词 （verb的缩写）模型的测试
由于上述数据的特殊性，模型过于专门化。毕竟我不是一个人在走。不过我是个正常人，即使考虑到很多人参数的不确定因素，变化也不会太大。
据调查，校园内所有台阶从0.16到0.2m不等，从科技楼前最低的台阶到四食堂前最高的台阶。宽度和脚的长度差不多，说明模型的结论勉强可以接受(虽然没那么准确)。这就相当于在一定程度上对模型进行了测试(因为台阶的高度可以根据实践进行适当调整，不合适的高度一定不能存在，或者在下次施工中进行修改或完善)。
进一步可以参考1999年6月1日生效的《建筑设计规范》GB 50096-1999的相关规定:“楼梯踏步宽度不应小于0.26m，踏步高度不应大于0.175m，坡度为33.94，接近舒适标准。”其中0.26一定是脚长，0.175是最佳身高。(这个结果可能是相关力学和统计学家的结果，应该是比较权威的数据。)
误差分析:通过以上检查可以看出，计算结果确实与实际有出入，计算出的H偏大。出现这种偏差的原因如下。
(1)人的体重差异
(2)身高和腿长的差异
(3)人类脚长的差异
(4)前倾速度(这里取为行走速度，但第一个过程只是前倾过程，其速度一定大于行走速度，不容易测量，所以误差一定是不可避免的)
(5)f随腿的运动而变化的函数并不精确知道(它会涉及复杂的人体动力学，由于知识有限，为了简化复杂，不得不假设其大小为常数。计算结果没有太大偏差，说明假设基本合理，但误差也是不可避免的)
(6)人的正常力量的差异，比如专业运动员和普通人所能承受的运动量一定是不同的。
因此，如果能准确知道上述数据，有理由相信计算结果的误差会很小。模型会更可靠。
不及物动词模型的重要性
通过对该模型的分析，找到了F v P c L M之间的近似关系。但是，这也提出了一个问题，建筑设计规范GB50096-1999中的规定是否过于片面？0.175m的数据一定是统计平均值。在一些特定的场合，必须进一步规定，比如中学建筑和大学建筑的台阶高度可以相等。但幼儿园、养老院、康复中心的步骤必须另行规定。否则，由于台阶高度不当，会发生危险。如果得到相关数据，就可以根据模型计算出最佳高度，从而扩展了建筑设计规范的内容。
结束