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数学论文

一、数学技能的含义和功能

技能是成功完成某项任务的一种行动或心理活动方式。它是通过有目的、有计划的练习而形成的一个几乎自动化的、复杂的、相对完善的动作系统。数学技能是成功完成某项数学任务的动作或智力活动。通常表现为完成某一数学任务时一系列动作的协调和活动的自动化。这种协调动作和自动活动是在已有数学知识和经验的基础上经过反复实践形成的。比如你学习的乘法计算技巧乘数是两位数，是在掌握其算法的基础上，通过多次实际计算形成的。数学技能与数学知识和能力密切相关，有着本质的区别。它们的区别在于:技能是动作和动作方式的概括，反映动作本身和动作方式的熟练程度；知识是经验的总结，反映了人们对事物之间相互联系的规律性的认识；能力是保证活动顺利完成的一些稳定的心理特征的概括，体现了学习者在数学学习活动中所体现的个体特征。三者之间的关系，从数学技能的作用上可以清晰的体现出来。

数学技能在数学学习中的作用可以概括为以下几个方面:

第一，数学技能的形成有助于对数学知识的理解和掌握；

第二，数学技能的形成可以进一步巩固数学知识；

第三，数学技能的形成有助于解决数学问题；

第四，数学技能的形成能促进数学能力的发展；

第五，数学技能的形成有助于激发学生的学习兴趣；

第六，调动他们的学习积极性。

二，数学技能的分类

小学生的数学技能根据其自身的性质和特点可分为两种:操作技能(也称运动技能)和心智技能(也称智力技能)。

长度数学运算技巧。操作技能是指主要通过外部身体的运动或操作来实现数学任务活动模式动作的技能。它是由各种局部动作按照一定的程序组合而成的一种外部操作活动模式。比如学生以测量角度的度数、测量物体的长度、绘制几何图形为绘图工具所形成的技能，就是这样的外在操作技能。操作技能有一些明显不同于心智技能的特点:一是外显，即操作技能是一种外显的活动方式；二是客观性，即操作技能活动的对象是实物或肌肉；王不是极简主义者。就动作的结构而言，操作技能的每一个动作都必须执行，不能省略，不能合并。这是一个拓展活动项目。如果用圆规画圆，确定半径，确定圆心，用一只脚绕圆心旋转圆规，既不能省略，也不能组合，必须详细执行任务。

2.数学心理技能。数学心理技能是指成功完成数学任务的心理活动方式。它是借助内部言语进行的认知活动，包括感知、记忆、思维、想象等心理成分，思维是其主要活动成分。比如小学生口算、笔算、解方程、解应用题形成的技能，更多的是数学心算技能。数学心智技能也是通过后天的学习和训练形成的，不同于人类的本能。另外，数学心理技能是一种合法的心理活动方式。“所谓合法的活动方式，是指行动的要素及其顺序应当反映活动本身的客观规律的要求，而不是任意的。”这些特征反映了数学心理技能和数学运算技能的* *本质。数学心理技能作为一种以思维为主要活动成分的认知活动，也具有不同于数学运算技能的人格特征，主要体现在以下三个方面。

第一，诉讼对象的概念。数学心理技能的直接对象不是物理对象本身，而是这个对象在人们头脑中的主观形象。比如20年以内的退位减法口算，其心智活动的直接对象是“加减”概念或其他计算方法，而不是某种物化的对象。

第二，行动实施过程是隐性的。数学心理技能的动作是由内部言语完成的，动作的执行是在头脑内部进行的。主体的变化非常含蓄，很难从外部直接观察到。比如我们能直接知道的是学生外在语言反映出来的计算结果，而学生内在的心理活动在计算时是看不到的。

第三，动作结构简单。数学心算技能的动作不一定要完全像运算活动那样去做，也不一定要完全像外话那样去说。其活动过程是一个高度压缩和简化的自动化过程。因此，数学心理技能中的动作成分可以合并、省略和简化。比如，当学生熟练掌握20以内的进位加法口算时，根本意识不到“看大数”、“试凑数”、“除小数”、“凑十”等动作，整个计算过程被压缩成一个脱口而出的简单过程。

三、数学技能的形成过程

1.数学运算技能的形成过程。

作为一种显性的运算活动方式，数学运算技能的形成大致经历以下四个基本阶段。

(1)定向阶段的动作。这是运算技能形成的初始阶段，主要是学习者在头脑中建立起完成某一数学任务的运算活动的方向性形象。包括明确学习目标，激发学习动机，了解数学技能相关知识，知道技能的操作程序和动作要领，活动的最终结果。总结一下，这个阶段主要是了解“做什么”和“怎么做”。比如画一个角，这个阶段主要是了解一个角需要画多少度(也就是知道要做什么)和画一个角的步骤(也就是怎么做)，从而为画一个角的操作做一个具体的定向。行动定向的作用是初步建立头脑中运作的自我调节机制；通过对“做什么”和“怎么做”的理解，明确实施数学活动的程序和步骤，从而保证在操作中更好地把握其动作的活动方式。

(2)动作的分解阶段。这是操作技能进入实践学习的初始阶段。方法是将某一数学技能的整套动作分解成若干单个动作，学生在老师的示范下依次模仿练习，从而掌握局部动作的活动模式。如果用圆规按照给定的半径画圆，整个操作过程在这个阶段可以分解为三个局部动作:①打开圆规的两脚，按照给定的半径设定两脚之间的距离；(2)用针尖固定一只脚在一点上，确定圆心；③用铅笔尖绕圆心旋转脚，画圆。依次练习这三个连续的局部动作，就能掌握画圆的要领。这个阶段学生学习的方式主要是模仿，一方面是根据老师的示范模仿；另一方面，也可以根据相关操作规则的文字描述进行模仿，比如根据几何作图规则模仿每个动作活动方式的表情。模仿不一定是被动的、机械的，“模仿可以是有意的、无意的；它可以是再生的，也可以是创造性的。”②模仿是数学运算技能形成不可或缺的条件。

(3)行动的整合阶段。在这个阶段，前面掌握的所有局部动作按照一定的顺序连接起来，形成连贯协调的操作程序，并被固定下来。如果画个圈，就可以把这个阶段的三个步骤整合起来，形成一个完整的操作系统。此时，由于局部动作还处于连接阶段，很难保持动作的稳定性和准确性，动作系统中的某些环节甚至可能在连接时出现停顿。但总的来说，现阶段动作之间的相互干扰已经逐渐消除，操作过程中的冗余动作也明显减少，形成了完整有序的动作体系。

(4)动作的熟练阶段。这是作战技能形成的最后阶段。在这一阶段，通过实践形成的数学活动模式能够适应各种变化，其运行表现出高度完善的特点。动作之间相互干扰、不协调的现象完全消除，动作高度正确稳定，整套动作在任何情况下都能顺利完成。如果这个时候画一个圆，就可以在没有意志控制的情况下顺利完成整套动作，完全可以保证其正确性。以上分析表明，数学运算技能的形成要经历“定向→分解→整合→熟练”的发展过程。在这个过程中，每个发展阶段都有自己的任务:定向阶段的主要任务是掌握操作的结构体系和每一步操作的要领；分解阶段的主要任务是分解活动的操作系列，逐一模仿练习；整合阶段的主要任务是建立行动之间的联系，使活动协调统一；熟练度阶段的任务主要是使整个操作过程高度完善和自动化。

2.数学心理技能的形成过程。

关于数学心理技能形成过程的研究，人们一般采用前苏联心理学家加里·佩灵的研究成果。加里·仟玖零认为，心理活动是一个从外部物质活动到内部心理活动的转化过程，即一个内化过程。据此，这里我们把小学生数学心理技能的形成过程概括为以下四个阶段。

(1)活动的认知阶段。这是数学心理活动的认知准备阶段，主要是让学生了解和记忆与活动和任务相关的知识，明确活动的过程和结果，在头脑中形成活动本身及其结果的表象。比如学习除数为小数的除法计算技巧，这一步就是让学生回忆和记忆除数为整数的除数商不变性和分数除法定律的知识，并在此基础上明确计算程序和每一步的具体方法，从而在头脑中形成除数就是分数除法计算过程的表象。认知阶段实际上是一种心理活动的定向阶段。通过这一阶段，学习者可以初步建立数学心理活动的自我调节机制，为后续的认知活动提供内控条件。这个阶段的主要任务是在你的头脑中确定心智技能的活动程序，并使这个程序的动作结构清晰地反映在你的头脑中。

(2)示范和模仿阶段。这是数学心理活动模式具体实施过程的开始。在这个阶段，学生以一种显性的操作模式，将头脑中已经初步建立的活动程序计划付诸实践。但这种执行通常是在老师的指导和示范下进行的，老师的示范通常是通过语言指导和操作提示相结合的方式进行的，即在语言指导的同时呈现活动过程中的一些步骤。比如当计算乘数是两位数的乘法时，一方面按照运算规则引导运算步骤；另一方面，在表达运算规则的同时，重点演示乘数乘以第十位的数所得到的部分积的对位，让学生在教师的帮助和指导下，顺利掌握两位数乘以多位数的活动方式。在这个阶段，学生活动的实施水平还比较低，通常停留在物质活动和物化活动的层面。“所谓物质活动，是指行动的对象是实际的东西，所谓物化活动，是指活动不是借助于实际的东西本身，而是借助于它的替代品如模拟教具、学习工具，甚至是图片、图表、文字等来进行的。”(3)如解决复合应用题，在这一步，学生通常用线图分析问题中数量关系的智力活动。

(3)有意识的言语阶段。在这个阶段，智力活动离开了活动的物质和物化对象，逐渐转向心灵内部。学生通过自己的口头指导进行智力活动，通常表现为一边操作一边喃喃自语。比如两位数加两位数的笔算，在这一步，学生往往边算边读:同位数对位，从个位数开始，从十位数到十位数成1。显然，此时的计算过程伴随着算法运算规则的重复。在这个阶段，学生有声的外部言语活动会逐渐过渡到无声的外部言语活动，比如两位数加两位数的笔算。在这个阶段的后期，学生往往通过冥想法则规定的运算步骤进行计算。这个活动层次的出现，标志着学生的活动开始向智力活动转化。

(4)无意识内部言语阶段。这是数学心理技能形成的最后阶段。在这个阶段，学生智力活动的过程得到了高度的压缩和简化，整个活动过程达到了完全自动化的程度。不关注活动的操作规则，他们的操作程序也能顺利完成。如果用简单的方法计算45+99× 99+54，在这个阶段，学生可以直接把45和54的加数组合起来，而不用回忆结合律、乘法分配律等加法交换律的运算规律，然后用乘法分配律进行计算，即原来的公式= (45+54)+99× 99 = 99× (1。在这个阶段，学生的活动完全基于自己内心的话语，他们总是以一种非常简化的形式思考。活动的中间过程往往简单到连他们自己都察觉不到。整个活动过程基本上是一个自动化的过程。

第四，数学技能的学习方法

1.数学运算技能的学习方法。学习数学运算技能的基本方法是模仿练习和程序练习。前者是指学生根据老师的示范动作或教材中的示意图模仿练习，以掌握操作的基本要领，并在头脑中形成操作过程的动作表象的一种学习方法。用工具测量角度、测量物体长度、绘制几何图形、推导几何图形面积和体积计算公式过程中的图形变换等技巧，一般都可以通过模仿练习掌握。例如，在推导平行四边形面积的计算公式时，可以通过模仿课本插图的操作过程来练习和掌握将平行四边形转化为矩形的操作技巧(如图)。小学生的学习更多的是模仿老师的示范动作，所以老师的示范对于小学生数学动作技能的形成尤为重要。教师应充分利用示范与讲解相结合，整体示范与分步示范相结合，使学生准确掌握操作要领，形成正确的动作表征。所谓程序练习法，就是运用程序教学的原理，把要学习的数学动作技能按照活动程序分解成若干个局部动作，逐一练习，最后把这些局部动作整合成一个整体，形成一个程序化的活动过程。这种方法可以用来学习用量角器测量角度的度数，用三角形画垂直线和平行线，画长方形等技巧。这样学习数学运动技能，在分解动作时注意重点，重点解决那些难以掌握的局部动作，可以有效提高学习效率。

2.数学心理技能的学习方法。学生的心智技能主要是通过样例学习和试学习获得的。案例学习是指根据课本提供的例子，一步步展示数学技能的思维操作程序，然后按照这个程序一步步掌握技能的心智活动。几乎所有的教材都提供了整数、小数、分数四种计算的例题。学习时，只需要根据例题有条不紊地计算，就能掌握计算方法。例如，对于被除数和除数末尾带零的除法的简单算法，教材安排了以下例子。学习时，只需明确例题所反映的计算程序和方法，就能掌握被除数和除数末尾带零的除法的简单计算技巧。尝试学习法是指学生主要在自己的学习中尝试探索解决问题的方法和途径，在不断纠错的过程中找出解决问题的操作程序，从而获得数学技能。这是一种基于探究的发现学习方法，可以用来掌握归纳运算规则和性质，利用它们进行简单计算，解决复杂应用问题，求一些复杂组合图形的面积或体积的技巧。这种方法广泛应用于探究性较强的变式解题研究中，如用简单的方法计算1001÷12.5。由于学生掌握了除法商的不变性，在实践中可以实现将除数和被除数分别乘以8使除数变成100的简单计算。试学法虽然有利于培养学生的探索精神和解决问题的能力，但耗时太多。在学习的时候，最好和例题学习法结合起来，两种学习方法相辅相成，这样数学技能的学习会更有收获。