纳什均衡
《美丽心灵》是一部非常经典的电影，再现了伟大的数学天才约翰·纳什的传奇经历。电影本身以及背后的人物原型都深深打动了人们。这部电影在2002年获得了第59届金球奖的五个奖项和第74届奥斯卡金像奖的四个奖项。纳什是数学天才，他的“纳什均衡”是博弈论的理论支柱。同时，他也是诺贝尔经济学奖的获得者。但这并不是他的全部，只是他传奇人生中辉煌的一面。在讲纳什均衡之前，我们先来了解一下这位天才的传奇一生。纳什出生于美国西弗吉尼亚州，1928。他家庭条件极好。他的父亲是工程师，母亲是教师。纳什小时候性格孤僻，不愿意和同龄的孩子玩耍，喜欢独自在书中寻找快乐。当时纳什的数学成绩并不好，但还是表现出了一些天赋。比如纳什只需要几步就能完成老师用黑板公式就能证明的定理，这往往让老师感到尴尬。
从65438到0948，纳什同时被四所大学录取，包括普林斯顿和哈佛，最终纳什选择了普林斯顿。当时普林斯顿的学术氛围非常自由，出了爱因斯坦、冯·诺依曼等一批世界级大师，而且一直是数学研究领域的佼佼者，使其成为世界数学的中心。纳什在普林斯顿的家里，进步很大。
1950年，纳什发表博士论文《非合作博弈》。在继续研究这个问题后，同年他发表了另一篇论文《N人博弈中的均衡点》。这两篇论文也就几十页，中间是纳什画的一些图表。但就是这几十页，改变了博弈论的发展，甚至改变了我们的生活。他将博弈论的研究范围从合作博弈扩展到非合作博弈，应用领域也从经济领域扩展到几乎每一个领域。可以说，“纳什均衡”之后的博弈论已经成为所有行业和领域的通用工具。
在发表博士论文的那一年，纳什获得了数学博士学位。1957年，他与他的女学生艾丽夏结婚，并于次年获得了麻省理工学院的终身学位。此时的纳什意气风发，不到30岁就成为了著名的数学家。1958年，《财富》杂志做了一个评选，纳什被选为当时数学家中最杰出的明星。上帝喜欢和天才开玩笑。在职业生涯的巅峰，纳什遭遇了命运的残酷打击。他得了一种病，叫“偏执型精神分裂症”。这种精神分裂症伴随了他一生。他经常看到一些想象中的人物，开始打扮得很奇怪。他会在课堂上说一些没有意义的话，经常在黑板上乱写一些没人理解的东西。这使他无法正常教学，他不得不辞去麻省理工学院教授的职务。
纳什辞职后病情更加严重。他开始给政客写一些奇怪的信，他总是幻想自己身边有很多苏联间谍，他被安排去发现这些间谍的信息。精神和思维的分裂，让这个曾经的天才变成了疯子。
他的妻子艾丽夏被他的才华深深打动，但现在她不得不选择与日益暴躁和分裂的丈夫离婚，以保护她的孩子免受伤害。然而，他们的关系并没有就此结束，她一直在帮他恢复。1970年，纳什母亲去世，妹妹无力赡养。当纳什面临露宿街头的困境时，艾丽夏接纳了他，他们重新生活在一起。艾丽夏不仅在生活上无微不至地照顾纳什，还特意把家搬到僻静的普林斯顿，远离大城市的喧嚣。她希望曾经见证过纳什辉煌的普林斯顿大学，能够重振纳什的才华。
纳什被妻子坚定的信念和毫不动摇的爱深深感动，他下定决心与疾病作斗争。最后，在妻子和朋友的照顾下，纳什的病情在80年代奇迹般好转，最终康复。此时，他不仅可以与人交流，还可以继续从事自己喜欢的数学研究。在这场与疾病的斗争中，他的妻子艾丽夏起了关键作用。走出阴影后，纳什成为1985诺贝尔经济学奖的候选人，基于他对博弈论的研究对经济的影响。但是最后他因为几个原因没有得奖。一方面，博弈论的影响和贡献在当时没有得到充分的认识；另一方面，皇家瑞典学院对刚刚从疾病中康复的纳什并不放心。毕竟他患精神分裂症快30年了。诺贝尔奖获得者通常会在颁奖典礼上发表演讲，人们担心纳什的心智还没有完全恢复。
到了1994，博弈论在各个领域的成就有目共睹，机会再次逼近纳什。然而，当时纳什还没有头衔，皇家瑞典学院也不能提名他。这时候纳什的老同学，普林斯顿大学数理经济学家库恩出来了。他首先向诺贝尔奖评选委员会表明，纳什理应获得诺贝尔奖，以身体健康为由将他排除在诺贝尔奖之外将是一个非常糟糕的决定。同时，库恩为纳什赢得了普林斯顿大学数学系“访问研究合作者”的身份。这些努力没有白费，最终纳什站上了诺贝尔经济学奖的领奖台。
当时，美国经济学家约翰·哈尔萨尼和波恩大学的莱因哈德·塞尔滕教授也获得了诺贝尔经济学奖。他们都是在博弈论领域做出突出贡献的学者，这标志着博弈论得到了广泛的认可，成为经济学的重要组成部分。
经过几十年的发展，“纳什均衡”已经成为博弈论的核心，纳什甚至成为博弈论的代名词。看到博弈论蓬勃发展的今天，我真的无法想象没有约翰·纳什的博弈论世界会是什么样子。
第二节解放的博弈
我们一直在讲纳什在博弈论发展中的重要地位，但是感性的描述是无力的。下面我们就从博弈论的研究和应用范围来谈谈纳什的贡献，看看纳什均衡在博弈论中处于什么地位。
我们已经介绍过，博弈论是由匈牙利裔美国数学家冯·诺依曼创立的。在创立之初，博弈论的研究和应用范围非常狭窄，只是一种理论。65438年至0944年，随着《博弈论与经济行为》的出版，博弈论开始应用于经济学领域，现代博弈论的系统理论开始逐渐形成。
直到纳什在1950发现纳什均衡，博弈论的研究范围才局限于两人零和博弈。我们前面介绍了博弈论的分类。根据游戏的参与人数，可以分为双人游戏和多人游戏。根据博弈结果，可分为正和博弈、零和博弈和负和博弈；根据博弈双方或多方之间是否存在有约束力的协议，可以分为合作博弈和非合作博弈。
在纳什之前，博弈论的研究范围仅限于两人零和博弈，即只有两个玩家，他们之间有赢有输，总利润为零的博弈。
二人零和博弈是游戏和赌博中最常见的模式，博弈论是最早研究赌博和游戏的理论。生活中的两人零和游戏不是游戏和体育比赛那么简单。虽然是输赢游戏，但是输赢的范围还是可以计算和控制的。冯·诺依曼通过线性运算计算出各方利益的最大值和最小值，也就是博弈中亏损和盈利的范围。计算出的最大收益是我们在博弈中最希望看到的结果，而最小收益是我们最不希望看到的结果。这更符合一些人的思维，就是“抱最好的希望，做最坏的打算。”
虽然当时对二人零和博弈的研究非常超前和前卫，但作为一种理论，其覆盖面太小。这种游戏模式的局限性显而易见。它只能研究两个人参与的游戏。现实中游戏往往是多方博弈，现实复杂。博弈的结果不仅仅是一方得利，另一方吃亏，还有双方得利或者双方都不占便宜。这些情况都不在当时冯·诺依曼的研究范围之内。
这一切都被“纳什均衡”打破了。65438-0950，纳什写了论文《N人博弈中的均衡点》，其中提到了“纳什均衡”的概念及其解。当时纳什带着自己的观点去见博弈论的创始人冯诺依曼，受到了冷遇。在此之前，他受到爱因斯坦的冷遇。但这影响不了纳什均衡带来的轰动。
从纳什的论文题目《N人博弈中的均衡点》可以看出，纳什主要研究的是多人参与和非零和博弈问题。在他之前没有人研究过这些问题，或者说没有人能找到一个适合各方的平衡点。就像找到两条线的交点很容易，如果有的话，找到几条线的交点就很难了。找到多方的平衡点是这个问题的关键。没有这个平衡点，对这个问题的研究就变得毫无意义，更谈不上对实践活动有什么指导作用。纳什的伟大之处在于，他提出了解决这个难题的方法。关键是“纳什均衡”，它把博弈论的研究范围从“小巷”引向了一个广阔的世界，为占博弈情境大多数的多人非零和博弈找到了意义。纳什的论文《N人博弈中的均衡点》如雷般震撼了人们。他把一件看似不可能的事情变成了现实，那就是他证明了非合作多人游戏存在均衡，并给出了这个均衡的解。纳什均衡的提出彻底改变了人们以往对竞争、市场和博弈论的看法，使人们理解了市场竞争中的均衡与博弈均衡的关系。
“纳什均衡”的提出为非合作博弈论的发展奠定了基础，之后博弈论的发展主要沿着这条线。长期以来，博弈论领域的主要成果是对纳什均衡的解释或扩展。甚至有人开玩笑说，如果每个人引用纳什均衡都要付给纳什一块钱，他早就成首富了。
纳什不仅在非合作博弈领域，而且在合作博弈领域都做出了杰出的贡献。合作博弈是冯·诺依曼在《博弈论与经济模型》一书中建立的。非合作博弈的关键是如何争取利益最大化，而合作博弈的关键是如何分配利益，其中相互协商很重要，也就是双方的“讨价还价”。但是冯·诺依曼并没有给出这个“讨价还价”的解决方案，或者说没有找到这个问题的解决方案。纳什研究了这个问题，提出了解决“讨价还价”问题的方法。他进一步扩大了范围，将合作博弈视为某种意义上的非合作博弈，因为利益分配中的讨价还价问题最终是为自己争取最大利益。
此外，纳什还研究博弈论的行为实验。他曾提出，简单的“囚徒困境”是一步到位的策略。如果让参与者反复实验，就会变成多步策略。在单步策略下，囚徒之间不存在合谋，但在多步策略模式下，可能会发生合谋。这种预见后来得到了验证，重复博弈模型在政治和经济中发挥了重要作用。
纳什对博弈论的贡献对现实的影响越来越大。上世纪90年代，美国政府和新西兰政府几乎同时举行拍卖。美国政府邀请了经济学家和博弈论专家来分析和设计这次拍卖。参考因素是让政府获得更多的利益，同时让商家获得最大的利用率和利益，在政府和商家之间找到一个平衡点。最后的结局是皆大欢喜，拍卖非常成功，政府获得暴利，商家也各得其所。然而，在新西兰举行的拍卖却非常惨淡。关键原因是机制设计有问题。最终大家都追捧热门商品，导致最终价格远高于其本身价值。而有些商品却无人问津，甚至有些商品只有一个人拍卖，而且是以很低的成交价拍走的。
正是因为对现实的影响力越来越大，65438-0994年的诺贝尔经济学奖颁给了纳什等三位博弈论专家。
最后，我们来总结一下纳什在博弈论中的地位。中国有句谚语“天不生仲尼，地久天长”。意思是上帝没有把孔子送到人间，人永远活在黑暗里。如果这样说纳什与博弈论的关系，那就言过其实了。但纳什对博弈论的开拓性发展是任何人都无法比拟的。在他之前，博弈论就像一条狭窄的小巷，而纳什推倒了小巷两边的墙壁，把人们的视野拓展到了无边无际的天空。